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江苏省盐城市时杨中学2009-2010学年度第一学期期中考试高三年级数学试题


江苏省盐城市时杨中学 2009-2010 学年度第一学期期中考试

高三年级数学试题 年级数学试题
2009 年 11 月

小题, 一.填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 填空题(
1 . 设 集 合 M={ - 1 , 1 } , N={x|
∩ N=

1 < 2 x +1 < 4 , x ∈ Z } , 则 M 2



2.设 y = x cos x ,则 y ′ = ________________。 3.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2 S n = S n +1 + S n + 2 ,则公比 q= 。

4.关于 x 的一元二次方程 5 x 2 ? ax ? 1 = 0 有两个不同的实根,一根位于区间
(?1,0) ,另一根位于区间 (1,2) ,则实数 a 的取值范围为



5.已知 sin(

π
3

+α) =

1 π ,且 α ∈ (? ,0) 则 sin α = ________。 3 2

6. 已知函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为[0, 则函数 y = f ( x) 的定义域为 3],



7.已知 log14 7 = a, log14 5 = b, 则用 a, b 表示 log 35 28 =



8.若 f ( x) 为偶函数且在( ? ∞,0 )上是减函数,又 f (?2) = 0 ,则 x ? f ( x) < 0 的 解集为____________. 9 . ( 文 科 做 ) 已 知 向 量 a 和 b 的 夹 角 是 120 ° , 且 | a |= 2 , | b |= 5 , 则
(2a ? b ) ? a =



(理科做)已知数列 {an } 满足 a1 = 1,a n = n(a n +1 ? a n) ,则数列 {a n } 的通项公式

an =

。 。

1 1 10.给定映射 f : ( x, y ) → (2 x + y, xy ) ,点( ,? )的原象是 6 6

11. 已知曲线 y = e x 在点 P 处的切线经过原点, 则此切线的方程为



12. 等差数列 {an } 满足 3a4 = 7 a7 , a1 > 0 , 且 当前 n 项和 Sn 最大时,n =



13.函数 y =

2x 的值域为 2x +1



3 3 θ θ 14.已知 cos θ = ? , 且π < θ < π , 则 sin + cos 的值为_______。 5 2 2 2

二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过 解答题( 小题, 解答应写出文字说明、 解答题 ............. 程或演算步骤.) ......
15. (本题满分 14 分)记函数 f(x)= 2 ?
-a-1) a-x)(a<1)的定义域为 B. (2 ] (1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围.
x+3 的定义域为 A,g(x)=lg[ x ( x +1

* 16. (本题满分 14 分)数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0(n∈N ). N

(1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn=
1 * (n∈N ) Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数 m,使得任 N , n(12 ? a n )

意的 n 均有 Sn>

m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由. 32

17. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) = x3 + (1 ? a ) x 2 ? a (a + 2) x + b (a, b ∈ R) . (1)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...
π? ? 18. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) = sin 2 ω x + 3 sin ω x sin ? ω x + ? ( ω > 0 ) 2? ?

的最小正周期为 π . (1)求 ω 的值;
? 2π ? (2)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? 3?

2 19. (本题满分 16 分)若 f(x)=x -x+b,且 f(log2a)=b,log2[f(a) ]=2 (a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1)且 log2[f(x) ]<f(1)?

20 . 本 题 满 分 16 分 ) 已 知 数 列 {an } 中 , a1 = 1 , a2 = 2 , 且 ( an +1 = (1 + q )an ? qan ?1 (n ≥ 2,q ≠ 0) .
(1)设 bn = an +1 ? an (n ∈ N* ) ,证明 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ∈ N* , an 是 an + 3 与 an + 6 的等差中项.

附加题部分(选物理的考生做) 附加题部分(选物理的考生做)
1 .( 本 题 10 分 ) 极 坐 标 方 程 4 ρ sin 2 是 。

θ
2

=5 化为直角坐标方程

2(本题 10 分)自极点 O 向直线 l 作垂线,垂足是 H (2, 程为 。

π
3

),则直线 l 的极坐标方

? x = ?2 + cos θ 3(本题 10 分)设 P(x,y)是曲线 C: ? ? y = sin θ 意一点,求
y 的取值范围。 x

(θ为参数, ≤ θ ≤ 2π ) 上任 0

?x? 4(本题 10 分)已知矩阵 A = [ f (x)] , B = [x 1 ? x ] , C = ? ? , ? 2a ? 若 A = BC BC,求函数 f ( x ) 在[1,2] 上的最小值.

数学参考答案
1—5

{? 1}

? x sin x + cos x

?2

(4 ,

19 ) 2

1? 2 6 6

6 — 10 [?1 , 8]
1 1 1 2 ( ,? ) 或 ( ? , ) 3 2 4 3

2?a a+b

(?∞ , ? 2) ∪ (0 , 2)

13 ( 文 ) n ( 理 )

11—14

y = ex

9

(0 , 1)

5 5

15.解析: 15.解析: 解析 (1)由 2-

x+3 x ?1 ≥0,得 ≥0, x +1 x +1

∴x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞). …………………………… 6分 (2)由(x-a-1) a-x)>0,得(x-a-1) x-2a)<0. (2 ( ∵a<1,∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1). ……………………………………………9 分 ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a≤-2. 而 a<1,∴ ≤a<1 或 a≤-2. …………………………………………………… 2 12 分 故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1). ………………14 2 分 * 解析: (1)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N ). 16.解析: N ∴{an}是等差数列.设公差为 d, 又 a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2.∴an=-2n+10. ………………………4 分 (2)bn=
1 2 1 n 1 1 = n(12 ? a n ) 2n(n + 1)

1 2

1

1

1 ) ……………………………………………………………6 分 , n +1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=b1+b2+…+bn= [ (1- )+( - )+…+( - ) ] 2 2 2 3 n n +1

= ( -

= (1-

1 2

1 n )= .…………………………………………………9 分 n +1 2(n + 1)
m 总成立. 32

假设存在整数 m 满足 Sn> 又 Sn+1-Sn=

n +1 n - 2( n + 2) 2(n + 1)

= 分

1 >0,……………………………………………………………12 2(n + 2)(n + 1)

∴数列{Sn}是单调递增的.∴S1= 为 Sn 的最小值,故 ∈N*, N

1 4

m 1 < ,即 m<8.又 m 32 4

∴适合条件的 m 的最大值为 7. ……………………………………………………14 分 (1)由题意得 f ′( x) = 3 x 2 + 2(1 ? a ) x ? a (a + 2) 17.解析: .解析: f ( 0) = b = 0 ? 又? ,解得 b = 0 , a = ?3 或 a = 1 ………………6 分 ? f ′(0) = ?a (a + 2) = ?3 (2)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ′(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数, 又能取到小于 0 的实数……… 10 分 即函数 f ′(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有
f ′(?1) f ′(1) < 0 ,

即: [3 + 2(1 ? a ) ? a (a + 2)][3 ? 2(1 ? a ) ? a (a + 2)] < 0

整理得: (a + 5)(a + 1)(a ? 1) 2 < 0 ,解得 ? 5 < a < ?1 …………………………15 分 (1) f ( x) = 18.解析: .解析:
1 ? cos 2ω x 3 + sin 2ω x 2 2

=

3 1 1 π? 1 ? sin 2ω x ? cos 2ω x + = sin ? 2ω x ? ? + . 2 2 2 6? 2 ?
2π = π, 解得 ω = 1 . …………… 2ω

因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π , ω > 0 , 且 所以

7分
π? 1 ? (2)由(Ⅰ)得 f ( x) = sin ? 2 x ? ? + . 6? 2 ?

因为 0 ≤ x ≤

2π π π 7π 1 π? ? ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ ,所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 . 3 6 6 6 2 6? ?

π? 1 3 ? ? 3? 因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? + ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? ……………………15 6? 2 2 ? ? 2?



19.解析: 解析: (1)∵f(x)=x -x+b,∴f(log2a)=log2 a-log2a+b.
由已知有 log2 a-log2a+b=b,∴(log2a-1)log2a=0. ……………………… 3分 ∵a≠1, ∴log2a=1.∴a=2. ……………………………………………………… 5分 又 log2[f(a) ]=2,∴f(a)=4. ∴a -a+b=4,b=4-a +a=2. …………………………………………………………8 分 故 f(x)=x -x+2,从而 f(log2x)=log2 x-log2x+2=(log2x- ) + . ∴当 log2x= 即 x= 2 时,f(log2x)有最小值 .………………………………… 2 4 12 分 (2)由题意 ? 16 分
?log 2 2 x ? log 2 x + 2 > 2 ? ?log 2 ( x 2 ? x + 2) < 2 ?
2 2 2 2 2

2

2

1 2

2

7 4

1

7

? x > 2或0 < x < 1 ?? ? 0< x <1. ……………… ?? 1 < x < 2

20.解析: (1)证明:由题设 an +1 = (1 + q )an ? qan ?1 (n ≥ 2) ,得 20.解析: an +1 ? an = q (an ? an ?1 ) ,
即 bn = qbn ?1,n ≥ 2 . 又 b1 = a2 ? a1 = 1 , q ≠ 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列.…………5 分

(2)解:由(Ⅰ) , a2 ? a1 = 1 , a3 ? a2 = q , ……
an ? an ?1 = q n ? 2 (n ≥ 2) . 将以上各式相加,得 an ? a1 = 1 + q + … + q n ? 2 (n ≥ 2) .所以当 n ≥ 2 时,

? 1 ? q n ?1 ,q ≠ 1, ?1 + an = ? 1? q ?n, q = 1. ?
上式对 n = 1 显然成立.………………………………10 分 (3)解:由(Ⅱ) ,当 q = 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ≠ 1 . 由 a3 ? a6 = a9 ? a3 可得 q 5 ? q 2 = q 2 ? q 8 ,由 q ≠ 0 得

q3 ? 1 = 1 ? q6 ,



整理得 (q 3 ) 2 + q 3 ? 2 = 0 ,解得 q 3 = ?2 或 q 3 = 1 (舍去) .于是

q=? 2.
3

另一方面,

an ? an +3

q n + 2 ? q n ?1 q n ?1 3 = = (q ? 1) , 1? q 1? q q n ?1 ? q n +5 q n ?1 = (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q

an + 6 ? an =
由①可得

an ? an +3 = an + 6 ? an,n ∈ N* .
所以对任意的 n ∈ N* ,an 是 an + 3 与 an + 6 的等差中项. ………………………………… 16 分

附加题部分(选物理的考生做) 附加题部分(选物理的考生做)
1 .( 本 题 10 分 ) 极 坐 标 方 程 4 ρ sin 2 是 。 y 2 = 5x +
25 4

θ
2

=5 化 为 直 角 坐 标 方 程

2(本题 10 分)自极点 O 向直线 l 作垂线,垂足是 H (2, 方程为 。

π
3

),则直线 l 的极坐标

π ρcos(θ ? ) = 2 或
3

ρcosθ + 3ρ sin θ ? 4 = 0
(θ为参数, ≤ θ ≤ 2π ) 上任 0

? x = ?2 + cos θ 3(本题 10 分)设 P(x,y)是曲线 C: ? ? y = sin θ 意一点,求 y 的取值范围。 x

解析:曲线 C 的方程可化为 ( x + 2) 2 + y 2 = 1 ,…………………………3 分 可见曲线 C 是以点 C (?2,0) 为圆心半径为 1 的圆…………………………4 分 设点 P ( x, y ) 为曲线 C 上一动点, 则
y = kOP ,即 O 、 P 两点连线的斜率…………………………6 分 x

当 P 的坐标为 (?

3 3 3 y , , ) 时, 有最小值为 ? x 2 2 3 3 3 3 y ,…………………………9 分 ,? ) 时, 有最大值为 x 2 2 3

当 P 的坐标为 (?

所以

y 3 3 的取值范围是 [? , ] …………………………10 分 x 3 3

?x? 4(本题 10 分)已知矩阵 A = [ f (x)] , B = [x 1 ? x ] , C = ? ? , ? 2a ? 若 A=BC,求函数 f ( x ) 在[1,2] 上的最小值.

?x? 解析: ∵BC= [x 1 ? x ] ? ? = x 2 + 2a (1 ? x ) , A = [ f (x)] ? 2a ?

[

]

又∵ A=BC

f ( x) = x 2 ? 2ax + 2a = ( x ? a ) 2 + 2a ? a 2 ,∵x∈[1,2] ……………5 分 当 x≥2时,函数 f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (2) = 4 ? 2a . 当 1≤x<2 时,函数 f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (a ) = 2a ? a 2 . 当 x<1 时,函数 f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (1) = 1 …………………8 分

? 4 ? 2a ? ∴ f ( x ) = ?2 a ? a 2 ? 1 ?

( x ≥ 2) (1 ≤ x < 2) ……………………………………10 分 ( x < 1)


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