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龙文区民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

龙文区民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 在区间 ? 0, m ? 上的最大值为 5,最小值为 1,则 m 的取值范围是(
2

座号_____

姓名__________

分数__________
) D. ? 0, 2?

A. [2, ??) A.1 B.0 C.﹣1

B. ? 2, 4? D.0 或﹣1

C. ( ??, 2] )

2. 设 a∈R,且(a﹣i)?2i(i 为虚数单位)为正实数,则 a 等于(

  3. 已知直线 l1 经过 A(﹣3,4),B(﹣8,﹣1)两点,直线 l2 的倾斜角为 135°,那么 l1 与 l2( A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 4. 已知函数 f(x)= A.﹣3≤a<0 B.﹣3≤a≤﹣2   A. ?1, ?? ? C.a≤﹣2 D.a<0
2



是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是(



5. 已知集合 A ? y | y ? ? x ? 5 , B ? x | y ? B. ?1,3? C. ? 3,5? D. ?3,5?

?

?

?

x ?3 , A? B ?(

?



【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识,意在考查基本运算能力. 6. 设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α; 其中正确命题的序号是( ) D.①③ A.①②③④ B.①②③ C.②④ 7. 已知函数 f(x)=2x﹣

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),若 x1,x0,x2 成等差 )

数列,f′(x)是 f(x)的导函数,则( A.f′(x0)<0 B.f′(x0)=0

C.f′(x0)>0 D.f′(x0)的符号无法确定     8. 已知函数 y=f(x)对任意实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x) ,且函数 f(x)在[1,+∞)上为单调函数.若数 列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6)=f(a23),则{an}的前 28 项之和 S28=( A.7 9. 在二项式 B.14 C.28 D.56 ) )

的展开式中,含 x4 的项的系数是(

第 1 页,共 15 页

A.﹣10

B.10

C.﹣5

D.5

  3 x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C: 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 上任意 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点, P 为直线 n: 10. 已知直线 m: 一点,则 ?PAB 的面积为( A. 2 3 B. ) C. 3 3 ) D.(3,0) ) D. 4 3

3 3 2

11.函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定过点( A.(0,1) B.(0,3)

C.(1,0)

  12.设集合 A={x|﹣2<x<4},B={﹣2,1,2,4},则 A∩B=( A.{1,2} B.{﹣1,4} C.{﹣1,2} D.{2,4}

二、填空题
13.如图是一个正方体的展开图,在原正方体中直线 AB 与 CD 的位置关系是      .

14.在矩形 ABCD 中,

=(1,﹣3),

,则实数 k=  .

15.抛物线 y2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为      .   16.函数 y=sin2x﹣2sinx 的值域是 y∈      . 17.命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是      . 18.已知 α 为钝角,sin(   +α)= ,则 sin( ﹣α)=      .

三、解答题
19.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的极坐 标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin (1)设 t 为参数,若 x ? ?2 ?
2

? ? 2 p cos ? ( p ? 0) .

2 t ,求直线 l 的参数方程; 2 2 (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P, Q ,设 M ( ?2, ?4) ,且 | PQ | ?| MP | ? | MQ | ,求实数 p 的值.

第 2 页,共 15 页

20.如图所示,在边长为

的正方形 ABCD 中,以 A 为圆心画一个扇形,以 O 为圆心画一个圆,M,N,

K 为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆 O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积.

21.(本小题满分 12 分)某校为了解高一新生对文理科的选择,对 1 000 名高一新生发放文理科选择调查表, 统计知,有 600 名学生选择理科,400 名学生选择文科.分别从选择理科和文科的学生随机各抽取 20 名学生 的数学成绩得如下累计表: 分数段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (1)从统计表分析,比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况,并绘制理科数学成绩的频 率分布直方图. 正 正 正 理科人数 文科人数

第 3 页,共 15 页

(2)根据你绘制的频率分布直方图,估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分.

22.已知函数 f(x)=|x﹣5|+|x﹣3|. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值 m; (Ⅱ)若正实数 a,b 足 + =     ,求证: + ≥m.

23.在直角坐标系 xOy 中,已知一动圆经过点 (2, 0) 且在 y 轴上截得的弦长为 4,设动圆圆心的轨 迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程;111] (2)过点 (1, 0) 作互相垂直的两条直线,,与曲线 C 交于 A , B 两点与曲线 C 交于 E , F 两点, 线段 AB , EF 的中点分别为 M , N ,求证:直线 MN 过定点 P ,并求出定点 P 的坐标.

第 4 页,共 15 页

24.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

4 . an ?1 ? an

?

? 1 ? 的前 n 项和 S n . ? an ?1 ? an ?

第 5 页,共 15 页

龙文区民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】 试题分析 : 画出函数图象如下图所示,要取得最小值为,由图可知 m 需从开始,要取得最大值为,由图可知 m 的右端点为,故 m 的取值范围是 ? 2, 4? .

考点:二次函数图象与性质. 2. 【答案】B 【解析】解:∵(a﹣i)?2i=2ai+2 为正实数, ∴2a=0, 解得 a=0. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题.   3. 【答案】A 【解析】解:由题意可得直线 l1 的斜率 k1= 又∵直线 l2 的倾斜角为 135°,∴其斜率 k2=tan135°=﹣1, 显然满足 k1?k2=﹣1,∴l1 与 l2 垂直 故选 A =1,

第 6 页,共 15 页

  4. 【答案】B

【解析】解:∵函数 设 g(x)=﹣x2﹣ax﹣5(x≤1),h(x)= (x>1)

是 R 上的增函数

由分段函数的性质可知,函数 g(x)=﹣x2﹣ax﹣5 在(﹣∞,1]单调递增,函数 h(x)= 在(1,+∞)单调递增, 且 g(1)≤h(1)



∴ 解可得,﹣3≤a≤﹣2 故选 B   5. 【答案】D

【解析】? A ? ? y | y ? 5? , B ? x | y ? 6. 【答案】B

?

x ? 3 ? ? x | x ? 3? , ? A ? B ? ?3,5? ,故选 D.

?

【解析】解:由 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面: 在①中:若 m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得 m⊥n,故①正确; 在②中:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, ∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得 m⊥γ,故②正确; 在③中:若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故③正确; 在④中:若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,故④错误. 故选:B.   7. 【答案】 A 【解析】解:∵函数 f(x)=2x﹣ ∴ , +cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),

第 7 页,共 15 页

∴存在 x1<a<x2,f'(a)=0, ∴ ,∴ ,解得 a= ,

假设 x1,x2 在 a 的邻域内,即 x2﹣x1≈0. ∵ ∴ , ,

∴f(x)的图象在 a 的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正, ∴x0>a, 又∵x>x0,又∵x>x0 时,f''(x)递减, ∴ 故选:A. 【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运 用.   8. 【答案】C 【解析】解:∵函数 y=f(x)对任意实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x),且函数 f(x)在[1,+∞)上为单调函数. ∴函数 f(x)关于直线 x=1 对称, ∵数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6)=f(a23), ∴a6+a23=2. 则{an}的前 28 项之和 S28= 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前 n 项和公式、函数的对称性,考查了推理能力与计算能力 ,属于中档题.   9. 【答案】B 【解析】解:对于 对于 10﹣3r=4, ∴r=2, 则 x4 的项的系数是 C52(﹣1)2=10 故选项为 B 【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.  
第 8 页,共 15 页



=14(a6+a23)=28.



10.【答案】

C
2 2

【解析】解析:本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算. 圆心 C 到直线 m 的距离 d ? 1 , | AB |? 2 r ? d ? 2 3 ,两平行直线 m、n 之间的距离为 d ? ? 3 ,∴ ?PAB 的面积为

1 | AB | ?d ? ? 3 3 ,选 C. 2

11.【答案】B 【解析】解:由于函数 y=ax (a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,1),故函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定 过点(0,3), 故选 B. 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.   12.【答案】A 【解析】解:集合 A={x|﹣2<x<4},B={﹣2,1,2,4},则 A∩B={1,2}. 故选:A. 【点评】本题考查交集的运算法则的应用,是基础题.  

二、填空题
13.【答案】 异面 . 【解析】解:把展开图还原原正方体如图,

在原正方体中直线 AB 与 CD 的位置关系是异面. 故答案为:异面.   14.【答案】 4 .

第 9 页,共 15 页

【解析】解:如图所示,

在矩形 ABCD 中, ∴ ∴ = ? ﹣

=(1,﹣3),



=(k﹣1,﹣2+3)=(k﹣1,1),

=1×(k﹣1)+(﹣3)×1=0,

解得 k=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题,是基础题目.   15.【答案】 ( 1,±2 ) . 【解析】解:设点 P 坐标为( a2,a) 依题意可知抛物线的准线方程为 x=﹣2 a2+2= ,求得 a=±2 )

∴点 P 的坐标为( 1,±2 故答案为:( 1,±2 ).

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题.   16.【答案】 [﹣1,3] .

【解析】解:∵函数 y=sin2x﹣2sinx=(sinx﹣1)2﹣1,﹣1≤sinx≤1, ∴0≤(sinx﹣1)2≤4,∴﹣1≤(sinx﹣1)2﹣1≤3. ∴函数 y=sin2x﹣2sinx 的值域是 y∈[﹣1,3]. 故答案为[﹣1,3]. 【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键.   17.【答案】   . 【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题所以,命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是: .

第 10 页,共 15 页

故答案为:   18.【答案】 ﹣  . +α)= , ﹣( +α)]



【解析】解:∵sin( ∴cos( =sin( ﹣α)=cos[ +α)= ,

∵α 为钝角,即 ∴ ∴sin( ∴sin( =﹣ =﹣ , . < ﹣

<α<π, ,

﹣α)<0, ﹣α)=﹣

故答案为:﹣

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值,注意不同角之间的关系,正确选择公式,运用平方关系时,必 须注意角的范围,以确定函数值的符号.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程 的几何意义的应用,意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力,以及方程思想、转化思想的应 用.

第 11 页,共 15 页

20.【答案】 【解析】解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h, 由已知条件 解得 , , , ,

∴S=πrl+πr2=10π, ∴   21.【答案】 【解析】解:(1)从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩,反映 了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响,频率分布直方图如下.

第 12 页,共 15 页

(2)从频率分布直方图知,数学成绩有 50%小于或等于 80 分,50%大于或等于 80 分,所以中位数为 80 分. 平均分为(55×0.005+65×0.015+75×0.030+85×0.030+95×0.020)×10=79.5, 即估计选择理科的学生的平均分为 79.5 分. 22.【答案】 【解析】(Ⅰ)解:∵f(x)=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2,…(2 分) 当且仅当 x∈[3,5]时取最小值 2,…(3 分) ∴m=2.…(4 分) (Ⅱ)证明:∵( ∴( ∴ + + )× ≥( + )[ ] ≥( )2=3,

)2,

≥2.…(7 分)

【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.   2 23.【答案】(1) y ? 4 x ;(2)证明见解析; (3, 0) . 【解析】

(2)易知直线,的斜率存在且不为 0,设直线的斜率为, A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

第 13 页,共 15 页

则直线: y ? k ( x ? 1) , M (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

? y 2 ? 4 x, 2 2 2 2 由? 得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 , ? y ? k ( x ? 1), ? ? (2k 2 ? 4) 2 ? 4k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,

考点:曲线的轨迹方程;直线与抛物线的位置关系. 【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题 : (1)当 f ( x) 不含参数时,可通过解不等式 f ( x) ? 0( f ( x) ? 0)
' '

直接得到单调递增(或递减)区间.(2)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件

f ' ( x) ? 0( f ' ( x) ? 0), x ? (a, b) 恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解) ,应注意
参数的取值是 f ( x) 不恒等于的参数的范围. 24.【答案】(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? an ?
2

'

4 2 2 2 得 an ?1 ? an ? 4 ,∴ ?an ? 是等差数列,公差为 4,首项为 4, (3 分) an ?1 ? an

∴ an ? 4 ? 4( n ? 1) ? 4n ,由 an ? 0 得 an ? 2 n . (6 分) (Ⅱ)∵

1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) , (9 分) an ?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2

∴数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和为 ? an ?1 ? an ?

第 14 页,共 15 页

1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) . (12 分) 2 2 2 2

第 15 页,共 15 页


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