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新高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式优化练习新人教A版选修4_5

新高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式 2 基本不等式优 化练习新人教 A 版选修 4_5
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.下列不等式中,正确的个数是( ①若 a,b∈R,则
2

)

a+b
2

≥ ab; 1 1 ≥2; ≥2; ≥ ab. B.1 D.3
2

②若 x∈R,则 x +2+ ③若 x∈R,则 x +1+
2

x2+2 x2+1

④若 a,b 为正实数,则 A.0 C.2

a+ b
2

解析:显然①不正确;③正确;对②虽然 x +2= 正确;④不正确,如 a=1,b=4. 答案:C 2.已知 x<0,则 y=x+ A.4 C.3 解析:∵y=x+ 4 4

1

x2+2

无解,但 x +2+

2

1

x2+2

>2 成立,故②

x-1

的最大值为(

) B.-4 D.-3

x-1

=(x-1+

4

x-1

)+1

4 =-[(1-x)+ ]+1, 1-x ∵x<0,∴1-x>0, ∴(1-x)+ 4 ≥2 4=4, 1-x

4 当且仅当 1-x= ,即 1-x=2,x=-1 时取等号, 1-x 4 -[(1-x)+ ]≤-4 即 y≤-3,故选 D. 1-x 答案:D

1/6

1 4 3.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是(

a b

)

A.

7 2

B.4 D.5

9 C. 2 解析:∵a+b=2,∴

a+b
2

=1, 2a

1 4 ?1 4??a+b? 5 ?2a b ? 5 ∴ + =? + ?? ?= +? + ?≥ +2 a b ?a b?? 2 ? 2 ? b 2a? 2 “=”成立), 1 4 9 故 y= + 的最小值为 . a b 2 答案:C 4.设 a,b,c∈R+,则“abc=1”是“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 a=b=c=2 时,有 1 1 1 1

b

b 9 2a b · = (当且仅当 = , 即 b=2a 时, 2a 2 b 2a

a



1

b



1

c

≤a+b+c”的(

)

a c



1

b



1

c

≤a+b+c,但 abc≠1,所以必要性不成立;当

abc = 1 时 ,

a
2



b



1



bc+ ac+ ab = bc + ac + ab , a + b + c = abc

a+b + b+c + a+c
1 1 1

≥ ab + bc + ac ,所以充分性成立,故“abc =1”是



a



b



c

≤a+b+c”的充分不必要条件.

答案:A 5.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的 运费 y2 与仓库到车间的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )

A.5 千米处 C.3 千米处

B.4 千米处 D.2 千米处

20 解析:设仓库到车站的距离为 x,由已知得,y1= ,y2=0.8x.

x

2/6

20 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ ≥2

x

20 0.8x· =8.

x

20 当且仅当 0.8x= ,

x

即 x=5 时等号成立,故选 A. 答案:A 6.函数 y= 3x (x<0)的值域是________. x +x+1
2

解析:∵y=

3x = x2+x+1

3 1 x+1+



3 =-3, -2+1

x

当且仅当 x=-1 时取等号. ∴函数的值域为[-3,+∞). 答案:[-3,+∞) 7.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. 解析:令 ab=t(t>0),由 ab=a+b+3≥2 ab+3,则 t ≥2t+3,所以 t≥3 或 t≤-1(舍 去),所以 ab≥3,ab≥9,当 a=b=3 时取等号. 答案:[9,+∞) 8.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费 用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 为____________吨. 400 解析:每年购买次数为 次.
2

x

400 所以总费用= ·4+4x≥2 6 400=160.

x

1 600 当且仅当 =4x,即 x=20 时等号成立.

x

答案:20 3 9.(1)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; 2 (2)设 x,y∈R+,且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值. 3 解析:(1)∵0<x< ,∴3-2x>0, 2 2x+ ∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[ -2x 2 9 2 ]= , 2

3 当且仅当 2x=3-2x,即 x= 时,等号成立. 4

3/6

9 ∴y=4x(3-2x)的最大值为 . 2 (2)由 2x+8y-xy=0 得,y= ∴x+y=x+ =(x-8)+ ≥2 =18, 当且仅当 x-8= 16 2x =(x-8)+ x-8 2x , x-8

x- +16 +8 x-8

16 +10 x-8 16

x-

x-

+10

x-8

,即 x=12 时,等号成立,

∴x+y 的最小值为 18. 10.已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:

a+ +

1 2

b+ ≤2.

1 2

证明:∵

1 a+ = 2

1 1+a+ 2 1 3 a ? ? 1·?a+ ?≤ = + , 2 4 2 ? 2?

b+ =


1 2

1 1+b+ 2 3 b ? 1? 1·?b+ ?≤ = + , 2 4 2 ? 2?

a+ +

1 2

b+ ≤ + (a+b)=2(当且仅当 a=b= 时取等号).
[B 组 能力提升]

1 3 2 2

1 2

1 2

1.设 x、y 为正实数,且 xy-(x+y)=1,则( A.x+y≥2( 2+1) C.x+y≤( 2+1)
2

)

B.x+y≤2( 2+1) D.x+y≥( 2+1)
2

解析:x>0,y>0,xy-(x+y)=1? xy=1+(x+y)? 1+(x+y)≤( 1). 答案:A

x+y
2

) ? x+y≥2( 2+

2

2.设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 取得最小值时,x+2y-z 的最大值 为( A.0 ) B. 9 8

2

2

z xy

4/6

C.2 解析:z=x -3xy+4y (x,y,z∈R+), ∴ =
2 2

D.

9 4

z x2-3xy+4y2 x 4y = + -3≥2 xy xy y x

x 4y · -3=1. y x

当且仅当 =

x 4y 2 2 2 2 2 2 ,即 x=2y 时“=”成立,此时 z=x -3xy+4y =4y -6y +4y =2y , y x
2 2 2

∴x+2y-z=2y+2y-2y =-2y +4y=-2(y-1) +2, ∴当 y=1 时,x+2y-z 取得最大值 2. 答案:C 3.已知点 M(x,y)在第一象限,且满足 2x+3y=6.则 log 3 x+log 3 y 的最大值是________.
2 2

解析:∵M(x,y)在第一象限, ∴x>0,y>0,且 2x+3y=6. ∴log 3 x+log 3 y=log 3 (xy),
2 2 2

xy= (2x·3y)≤ ×(

1 6

1 6

2x+3y 2 3 )= , 2 2

3 ∴log 3 (xy)≤log 3 =1, 2 2 2 3 当且仅当 2x=3y=3,即 x= ,y=1 时, 2 log 3 x+log 3 y 的最大值为 1.
2 2

答案:1
2? ? 2 1? ?1 4.设 x,y∈R,且 xy≠0,则?x + 2?·? 2+4y ?的最小值为________.

?

y ? ?x

?

1 1 1 2 2 2 2 解析:(x + 2)( 2+4y )=1+4+4x y + 2 2≥1+4+2

y

x

xy

4x y ·

2 2

1

x2y2

=9,

当且仅当 4x y = 答案:9

2 2

1

xy

2 2

时等号成立,即|xy|=

2 时等号成立. 2

5.已知 a,b,x,y∈R+,x,y 为变数,a,b 为常数,且 a+b=10, + =1,x+y 的最 小值为 18,求 a,b. 解析:∵x+y=(x+y)( + )=a+b+ + ≥a+b+2 ab=( a+ b) ,

a b x y

a b x y

bx ay y x

2

5/6

当且仅当 = 时取等号. 又(x+y)min=( a+ b) =18, 即 a+b+2 ab=18 ① 又 a+b=10 ② 由①②可得?
?a=2 ? ? ?b=8
2

bx ay y x

或?

?a=8 ? ? ?b=2.

1 4 6.设 x>0,y>0 且 x+y=4,要使不等式 + ≥m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

x y

解析:由 x>0,y>0,且 x+y=4,得

x+y
4

=1,

1 4 x+y 1 4 1 y 4x ∴ + = ·( + )= (1+ + +4) x y 4 x y 4 x y 1 y 4x 1 = (5+ + )≥ (5+2 4 x y 4 当且仅当 =

y 4x 9 · )= , x y 4

y 4x 时等号成立, x y

即 y=2x(∵x>0,y>0,∴y=-2x 舍去), 4 8 此时,结合 x+y=4,解得 x= ,y= . 3 3 1 4 9 + 的最小值为 . x y 4 9 9 ∴ ≥m,即 m≤ . 4 4

6/6


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