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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)(yu)


珠海市斗门第一中学

于发智

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)
教材分析 本节课《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》是人教版普通高中课程标准试验教科 书(选修 2-3)第一章第一节的内容,是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重 的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器,是人们思考问题的 最根本方法. 学情分析 高二学生已具备一定的数学知识和方法,能很容易的接受两个原理的内容,并应用原理解 决一些简单的实际问题,这些形成了学生思维的“最近发展区”.虽然学生已经具备了一定的 归纳、类比能力,但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.另外,学生的求知欲 强,参与意识,自主探索意识明显增强,对能够引起认知冲突,表现自身价值的学习素材特别 感兴趣。但在合作交流意识欠缺,有待加强. 目标分析 ⑴知识与技能 ①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容 ②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题. ⑵过程与方法 ①通过具体问题情境总结出两个计数原理,并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学 会应用 ②通过“学生自主探究、合作探究,师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理,并应 用它们解决实际问题 ⑶情感、态度、价值观 树立学生积极合作的意识,增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣. 教学重难点分析 教学重点:分类计数原理与分步计数原理的掌握 教学难点:根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题. 教法、学法分析 教法分析: ①启发探究法:这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点;有利 于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性。 ②分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性。 学法分析:本节课要求学生自主探究,学会用类比的思想解决问题,树立学生的合作交流意识. 教学过程 基础自测 1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同 的配法有_______种. 答案 12 2.从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会,则不同的选法有_____种. 答案 5 3.一个乒乓球队里有男队员 5 人,女队员 4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共 有_______种不同的选法. 答案 20 4.将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子, 其中每个盒子都不空的放法共有_______ 种.答案 36 5.有一项活动需在 3 名老师,8 名男同学和 5 名女同学中选人参加, (1)若只需一人参加,有多少种不同的选法? (2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同的选法?
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(3)若只需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同的选法? 解 (1)“完成这件事”只需从老师、学生中选 1 人即可,共有 3+8+5=16 种. (2)“完成这件事”需选 2 人,老师、学生各 1 人,分两步进行:选老师有 3 种方法,选学生 有 8+5=13 种方法,共有 3×13=39 种方法. (3)“完成这件事”需选 3 人,老师、男同学、女同学各一人,可分三步进行,选老师有 3 种 方法,选男同学有 8 种方法,选女同学有 5 种方法,共有 3×8×5=120 种方法.

(一)两个计数原理内容 1、分类计数原理: 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不 同的方法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1 +m2 +??+mn 种不同的方法. 2、分步计数原理: 完成一件事,需要分 n 个步骤,做第 1 步骤有 m1 种不同的方法,做第 2 步骤有 m2 种不同的 方法??做第 n 步骤有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2 ×??×mn 种不同 的方法. 用两个计数原理解决计数问题的思维步骤 1、明确要完成什么事 2、判断分类还是分步 3、计算总方法数 (二)例题分析 【例 1】 已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2}, A ? M ,则满足条件的 集合 A 的个数是多少? 解 :满足条件的集合 A 的个数是 2 ? 64 .
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分类时,首先要确定一个恰当的分类标准,然后进行分类;其次分类时要注意完成这件事 情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不 同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理. 【训练 1】 如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八 边形有公共边的三角形有________个. 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类: 第一类,有一条公共边的三角形共有 8×4=32(个); 第二类,有两条公共边的三角形共有 8(个). 由分类加法计数原理知,共有 32+8=40(个).答案 生到某厂进行社会实践活动. (1)任选 1 个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (3)选 2 个班的学生参加社会实践,要求这 2 个班不同年级,有多少种不同的选法? 解 (1)分三类:第一类从高一年级选 1 个班,有 6 种不同方法;第二类从高二年级选一个班, 有 7 种不同方法;第三类从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法.由分类计数原理, 共有 6+7+8=21 种不同的选法.
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【例 2】某校高中部,高一有 6 个班,高二有 7 个班,高三有 8 个班,学校利用星期六组织学

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(2)每种选法分三步:第一步从高一年级选一个班,有 6 种不同方法;第二步从高二年级选 1 个班,有 7 种不同方法;第三步从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法.由分步计 数原理,共有 6×7×8=336 种不同的选法. (3)分三类,每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班,有 6×7 种不同方法; 第二类从高一、高三两个年级各选 1 个班,有 6×8 种不同方法;第三类从高二、 高三年级各选一个班, 有 7×8 种不同的方法,故共有 6×7+6×8+7×8=146 种不同 选法.

此类问题,首先将完成这件事的过程分步,然后再找出每一步中的方法有多少种,求其 积.注意:各步之间相互联系,依次都完成后,才能做完这件事.简单说使用分步计数原理的 原则是步与步之间的方法“相互独立,逐步完成”. 【训练 2】 由数字 1,2,3,4, (1)可组成多少个 3 位数; (2)可组成多少个没有重复数字的 3 位数; (3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字. 解 (1)百位数共有 4 种排法;十位数共有 4 种排法;个位数共有 4 种排法,根据分步计数原理 共可组成 43=64 个 3 位数. (2)百位上共有 4 种排法;十位上共有 3 种排法;个位上共有 2 种排法,由分步计数原理共可排 成没有重复数字的 3 位数 4×3×2=24(个). (3)排出的三位数分别是 432、431、421、321,共 4 个. 【例 3】 如图,用 5 种不同的颜色给图中 A、B、C、D 四个区域涂色,规定每个区域只涂一种 颜色,相邻区域颜色不同,求有多少种不同的涂色方法? [审题视点] 根据乘法原理逐块涂色, 要注意在不相邻的区域内可使用同一 种颜色. 解 法一 如题图分四个步骤来完成涂色这件事:

涂 A 有 5 种涂法; 涂 B 有 4 种方法; 涂 C 有 3 种方法; 涂 D 有 3 种方法(还可以使用涂 A 的颜色). 根据分步计数原理共有 5×4×3×3=180 种涂色方法. 法二 由于 A、B、C 两两相邻,因此三个区域的颜色互不相同,共有 A3 5=60 种涂法;又 D 与 B、 C 相邻、因此 D 有 3 种涂法;由分步计数原理知共有 60×3=180 种涂法. 涂色问题的实质是分类与分步,一般是整体分步,分步过程中若出现某一步需分情 况说明时还要进行分类.涂色问题通常没有固定的方法可循,只能按照题目的实际 情况,结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理. 【训练 3】 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色 使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
王新敞
奎屯 新疆

)

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② ① ③ 图一



① ③ ② 图二 ④ ②

① ③ ④

图三

若变为图二,图三呢? 如何解决涂色问题 【问题研究】 涂色问题是由两个基本原理的综合运用所产生的一类问题,这类问题是计数原理 应用的典型问题,由于涂色本身就是策略的一个运用过程,能较好地考查考生的思 维连贯性与敏捷性,加之涂色问题的趣味性,自然成为新课标高考的命题热点. 【解决方案】 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色,具 体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法. 【示例】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内,每格涂一种颜色, 相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 颜色可以反复使用,即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色,首先确定第 一个小方格的涂法,再考虑其相邻的两个小方格的涂法. [解答示范] 如图所示,将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4,第 1 个小方格可以从 5 种颜色中 任取一种颜色涂上,有 5 种不同的涂法. ①当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时,有 A2 4=12 种不同的涂法,第 4 个小方格 有 3 种不同的涂法. 由分步计数原理可知, 有 5×12×3=180 种不同的 涂法; ②当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时,有 4 种涂法,由于相邻西格不同色,因此,第 4 个 小方格也有 4 种不同的涂法, 由分步计数原理可知. 有 5×4×4=80 种不同的涂法. 由分类加法计数原理可得,共有 180+80=260 种不同的涂法. 在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用,当颜色允许重复使用时,要充分利 用两个计数原理分析解决问题. (三)巩固练习 1、某人有 4 条不同颜色的领带和 6 件不同款式的衬衣,问可以有多少种不同的搭配方法? 2、有一个班级共有 46 名学生,其中男生有 21 名. (1)现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会,有多少种不同的选派方法? (2)若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代会,有多少种不同的选派方法? 思考:有 0、1、2、3、4、5 六个数字. (1)可以组成多少个不同的三位数? (2)可以组成多少个无重复数字的三位数? (3)可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数? (四)课堂总结 你在本节课学到了什么? 一个中心问题:计数问题 两个基本原理:1、分类计数原理; 2、分步计数原理. 三个思维关键: 1、明确完成一件事的含义;
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2、分清分类(类类独立)与分步(步步关联) ; 3、分类、分步标准明确,分类不重不漏,分步步骤完整. (五)板书设计: 两个基本计数原理 1、分类计数原理:

例 1.

N=m1 +m2 +??+mn
2、分类计数原理: 例 2. 小结: (六)作业布置 1.在平面直角坐标系内,点 P(a,b)的坐标满足 a≠b,且 a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点 P 到原点的距离|OP|≥5.求这样的点 P 的个数. 解 按点 P 的坐标 a 将其分为 6 类: (1)若 a=1,则 b=5 或 6,有 2 个点; (2)若 a=2,则 b=5 或 6,有 2 个点;

N=m1×m2 ×??×mn

(3)若 a=3,则 b=5 或 6 或 4,有 3 个点; (4)若 a=4,则 b=3 或 5 或 6,有 3 个点; (5)若 a=5,则 b=1,2,3,4,6,有 5 个点; ∴共有 2+2+3+3+5+5=20(个)点. 2. 将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同 一种作物,不同的种植方法共有多少种? 解 设由左到右五块田中要种 a,b,c 三种作物,不妨先设第一 块种 a,则第二块可种 b,c,有两种选法.同理,如果第二块种 b,则第三块可种 a 和 c,也有两种选 法,由分步计数原理共有 1×2×2×2×2=16.其中要去掉 ababa 和 acaca 两种方法. 故 a 种作物种在第一块田中时的种法数有 16-2=14(种). 同理 b 种或 c 种作物种在第一块田中时的种法数也都为 14 种. 所以符合要求的种植方法共有 3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种). (七)教学反思: 分类加法计数原理比较好掌握,分类乘法计数原理不太好理解.有些题不知道是用加法原理 还是用乘法原理.例题书上都有,看过书后,教师讲课感觉不到新鲜.还有部分不会做题的学生通 过看书也能得到答案,不能反映他们的真实水平. 1、学生主体观 课堂教学过程是在教学目标的指引下,由师生共同动态“生成”的.其中,学生的反馈是 重要的,它决定了教学的进程.聆听学生是教师的必备技能,不要将学生作为“答案发生器” , 不要沉浸在“我的学生都会做了”这种虚假的成功喜悦中,而应该让学生关注解决问题的过程、 策略及思想方法,让他们充分地展示思想,完整地、数学地表达自己的想法,甚至于应该给予
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第5页 共6页

(6)若 a=6,则 b=1,2,3,4,5,有 5 个点;

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他们犯错的机会,也帮助他们提高分析错误、更正错误的能力. 学生在解题时,往往对答案很在意,也很在行.例如在问题“集合{-3,-2,-1,0,1,2}的子集有 多少个?” 的解决中, 学生极快地报出了答案 “64” , 但在叙述他的解题过程时, 却说不太清楚. 当 然,有的学生一定觉得用“数”数的方法可以解决,但难以表述.这种“两难”处境需要教师 的协助来化解,在教师的鼓励下,他用“数”数的方法完成了问题,并对计数的对象进行了分 类,利用分类加法计数原理重新阐述了做法,得到了师生的共同认可.在这一过程中,不仅是 这名学生,而是全体,都体验了不要“轻易言败”的心理历程,这也在一定程度上实现了新课 程所倡导的“情感、态度、价值观”的目标. 2、让学生自我发展 如何让学生的主动学习模式从课内延伸到课外?如何让学有余力的同学有更大的收获? 学生在课后常会问一些问题,多数是课上未听懂或习题的方法未理解掌握,但也有一些同学就 某一问题提出新看法、新解法,对他们而言,一个具备思辨价值的问题是更好的研究素材。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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