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荆门市龙泉中学2010届高三数学综合训练(9)

龙泉中学 2010 届高三数学综合练习(九)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) A. a1 ? 0, q ? 0 B. a1 ? 0, q ? 0 . 1.等比数列 ?an ? 中,首项为 a1 ,公比为 q,前 n 项和为 s n ,若 ?sn ? 为递减数列,则有 2. 数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列, 并且 a5 , a8 , a13 是等比数列 ?bn ? 的相邻三项, 若 b2 ? 5 , 则 bn 等于 A. 5( ) C. a1 ? 0,0 ? q ? 1 D. a1 ? 0, q ? 0

5 3

n ?1

B. 5( )

3 5

n ?1

C. 3( )

3 5

n ?1

D. 3( )

5 3

n ?1

3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是 A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ? | x ? 1 | C. f ( x) ?

1 x (a ? a ? x ) 2

D. f ( x ) ? ln

2? x 2? x

4.条件 p: | x ? 1|? 2 ,条件 q:

1 ? 1 ,则 ? p 是 ? q 的 3? x
? a2 n ?1 ) ?

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 an ? 5Sn ? 3(n ? N? ) ,那么 lim( a1 ? a3 ?
n ??

A.

6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1, x ? ?0,1? 的反函数为 f 域是 A. ?0,1? B. [1,1 ? 3 ]
2 x?2

1 5

B. ?

1 5

C.

4 5

D.
?1

3 4

( x), 则函数 y ? f ?1 ( x) ? f ?1 (2 x) 的值
D. ? 1?

?

?

2

C. ?1,2?

7.已知 lim

x ? cx ? 2 b ? a ,且函数 y ? a ln x ? ? c 在 (1 , e) 上具有单调性,则 b 的取值范围 x?2 x
B. (?? , 0] [e , ? ?)
x 2 x

是 A. (?? ,1] [e , ? ?)

C. ( ?? , e]

D. [1 , e]

8.已知 x ? (??,1]时, 不等式 1 ? 2 ? (a ? a )4 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是

1 3 1 , ) C. (?? , ] D. (??,6] 2 2 4 ?4 x ? 4, x ? 1 9.函数 f ? x ? = ? 2 的图像与函数 g ? x ? = log 2 x 的图像交点个数为 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1 A.4 B.3 C.2 D.1 10. 已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数, 函数 y ? g ( x) 是 R 上的偶函数, 且 f ( x) ? g ( x ? 1) , 当 0 ? x ? 2 时, g ( x) ? x ? 1 ,则 g (10.5) 的值为
A. ( ?1, ) B. ( ? A. ?1.5 B. 8.5 C. ?0.5 D. 0.5

1 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分 ,共 25 分) 合 N 共有_________个. 12.在等差数列 ?an ? 中, a1 ?

11.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? ,集合 M ? {0,3,5 ? , M ? (CU N ) ? {0,3} ,则满足条件的集

1 ,第 10 项开始比 1 大,则公差 d 的取值范围 25

13.设函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,且函数 y ? x ? f ( x) 的图象过点(1,2),则函数 . y ? f ?1 ( x) ? x 的图象一定过点 2 14.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 的导函数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对任意的数 x,都有 f (1) 的最小值为_________. f ( x) ? 0 ,则 f ?(0)

?e? x ? 2, x ? 0 15.关于函数 f ( x) ? ? ( a 为常数,且 a ? 0 )对于下列命题:①函数 f ( x ) 的 ?2ax ? 1, x ? 0 最小值为-1;②函数 f ( x ) 在每一点处都连续;③函数 f ( x ) 在 R 上存在反函数;④函数 f ( x ) 在 x ? 0 处 可 导 ; ⑤ 对 任 意 的 实 数 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 , 恒 有 x ? x 2 f (x ? )1 f x ( 2 ) f( 1 )? .其中正确命题的序号是___________________. 2 2
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 16. (12 分)已知函数 f ?x ? ? ax ? b 1 ? x 2

y ? x 对称,又 f

? 3? ? 2 ?

3 , g ?1? ? 0 .(1) 求 f ?x ? 的值域;

?x ? 0?

,且函数 f ?x ? 与 g ?x ? 的图像关于直线

(2)是否存在实数 m,使得命题

? m ?1? 3 满足 p : f m 2 ? m ? f ?3m ? 4? 和 q : g ? ?? ? 4 ? 4

?

?

复合命题 p且q 为真命题?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

n 为 n 个正数 p1 , p2 , pn 的 “均倒数” ; 已知数列 ?an ? p1 ? p2 ? ? pn 1 的前 n 项的“均倒数”为 ; (1)求 ?an ? 的通项公式; 2n ? 1 an ? (2)设 cn ? ,试判断并说明 cn?1 ? cn (n ? N ) 的符号; 2n ? 1 an 2 ? (3)设函数 f ( x) ? ? x ? 4 x ? ,是否存在最大的实数 ? ,当 x ? ? 时,对一切 n ? N 2n ? 1 都有 f ( x) ? 0 成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由;
17. (12 分) 定义: 称

18. (12 分)某企业为了适应市场需求,计划从 2010 年元月起,在每月固定投资 5 万元的基

础上, 元月份追加投资 6 万元, 以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额总和的 20%, 但每月追加部分最高限额为 10 万元. 记第 n 个月的投资额为 an (万元). (1)求 a n 与 n 的关系式; ( 2 ) 预 计 2010 年 全 年 共 需 投 资 多 少 万 元 ? ( 精 确 到 0.01 , 参 考 数 据 :
1.22 ? 1.44, 1.23 ? 1.73,1.24 ? 2.07, 1.25 ? 2.49, 1.26 ? 2.99)

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3, (?2 ? x ? ?1)
2

(1)求 f ( x) 的反函数 f (2)设 B ? {x | lg

?1

( x) 及反函数的定义域 A;

10 ? x ? lg( 2 x ? a ? 5)}, 若A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。 10 ? x

20. (13 分)已知函数 f ( x) ? ln ax ?

x ?1 x

(1)求此函数的单调区间及最值;

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln ; 2 3 n n! (3)当 a=1 时,过点(1, ?1) 是否存在函数 y=f(x)的图象的切线?若存在,有多少条?若不

(2)求证:对于任意正整数 n,均有 1 ? 存在,说明理由.

21. (14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 4, Sn ? na n ? 2 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; 求证: bn ? an ,(n ? 2, n ? N? ) ; 1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) (3)求证: (1 ? b2b3 b3b4 b4b5

n(n ? 1) ,(n ? 2, n ? N? ) 2

2 (2)设数列 ?bn ? 满足: b1 ? 4 ,且 bn?1 ? bn ? (n ? 1)bn ? 2,(n ? N? ) ,

(1 ?

1 )? ?e 。 bn bn ?1

龙泉中学 2010 届高三数学综合练习(九)参考答案
1、A 2、D 11、8 12、 ( 3、D 4、A 5、C 6、D 7、A 8、B 9、B 10、D

8 3 , ] 13、 (?1, 2) 14、2 15、①②⑤ 75 25 16. 解: (Ⅰ)依题意 f ?x ?与g ?x ? 互为反函数,由 g ?1? ? 0 得 f ?0? ? 1 f ?0? ? b ? 1 ? ?a ? ?1 ,得 ? ?? ? f 3 ? a 3 ? 2b ? 2 ? 3 ? b ?1 1 故 f ?x ? 在 ?0,??? 上是减函数 ? f ?x ? ? ? x ? 1 ? x 2 ? 1? x2 ? x 1 ? 0 ? f ?x ? ? ? f ?0? ? 1 即 f ?x ? 的值域为 ?0,1? . 1? x2 ? x (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?x ? 是 ?0,??? 上的减函数, g ?x ? 是 ?0,1? 上的减函数, ?3? 1 ?1? 3 ? m -1? ?1? 又 f? ?? ? g? ? ? ? g? ? ? g? ? ?4? 2 ?2? 4 ? 4 ? ?2?

? ?



2 ? ?m ? m ? 3m ? 4 ? 0 ? 0 ? m ?1 ? 1 ? 1 ? 4 2 ?

解得

4 ? m ? 3且m ? 2 3 4 ? m ? 3且m ? 2 . 3

因此存在实数 m,使得命题 p且q 为真命题,且 m 的取值范围为 17. an ? 4n ? 1; cn?1 ? cn ? 0 ; ? ? 2 ? 3 18.解: (1)设前 n 个月投资总额为 S n ,

1 1 则 n ? 2 时, an ? 5 ? Sn ?1 ,∴ an ?1 ? 5 ? Sn , 5 5 1 1 6 两式相减得: an ?1 ? an ? (Sn ? Sn ?1 ) ? an ,∴ an ?1 ? an , 5 5 5 1 36 36 6 6 又 a1 ? 11, a2 ? 5 ? a1 ? ,∴ an ? a2 qn?2 ? ( )n?2 ? 6( )n?1 (n ? 2), 5 5 5 5 5 又 an ? 15 ,∴ 6 ?1.2n ?1 ? 15 ,∴ n ?1 ? 5 ,∴ n ? 6.
?11, (n ? 1) ? n ?1 ∴ an ? ?6 ?1.2 , (2 ? n ? 6) ? (n ? 7) ?15, (2) S12 ? a1 ? (a2 ? ? a6 ) ? (a7 ?

? a12 ) ? 11 ? 6 ? (1.2 ?

? 1.25 ) ? 6 ?15

5 1 . 2 (1 . ?2 1 ) ?1 0 1 ? 6? ? 1 5 4万元 .64( ) 1.2 ? 1 故预计 2010 年全年共需投资 154.64 万元.

5 A ? [2,3] ; a ? ( ?3, ) 3 20.(1)当 a ? 0 时,定义域为 (0, ??) , f ( x ) 在 (0,1) 递减,在 (1, ??) 递增; f ( x)| min ? ln a
19. f ?1 ( x) ? ?1 ? x ? 2

当 a ? 0 时,定义域为 ( ??, 0) , f ( x ) 在 ( ??, 0) 递减,无最值。 (2)取 a ? 1, ln x ?

x ?1 1 ? 0 ? ? 1 ? ln x 即可得 x x
n(n ? 1) , 2

(3)有且只有一条切线 21.解: (1)当 n ? 3 时, Sn ? nan ? 2 ?

(n ? 1)(n ? 2) n ?1 ,可得: an ? nan ? (n ? 1)an?1 ? ?2, 2 2 ? an ? an?1 ? 1(n ? 3, n ? N? ) . a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ? 1, ? a2 ? 3. Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 ?
?4,(n ? 1) 可得, an ? ? ? ?n ? 1.(n ? 2, n ? N )

(2) 1? 当 n ? 2 时, b2 ? b12 ? 2 ? 14 ? 3 ? a2 ,不等式成立.

2? 假设当 n ? k (k ? 2, k ? N? ) 时,不等式成立,即 bk ? k ? 1. 那么,当 n ? k ? 1 时,
bk ?1 ? bk2 ? (k ? 1)bk ? 2 ? bk (bk ? k ? 1) ? 2 ? 2bk ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2 ? 2k ? k ? 2,

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立。 根据( 1? ) , ( 2? )可知,当 n ? 2, n ? N? 时, bn ? an . 1 ?x (3)设 f ( x) ? 1n(1 ? x) ? x, f ?( x) ? ?1 ? ? 0, 1? x 1? x ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,? f ( x) ? f (0),?1n(1 ? x) ? x. 1 1 1 ? , ∵当 n ? 2, n ? N? 时, ? bn an n ? 1
? ln(1 ? ? ln(1 ? ? (1 ? 1 1 1 1 1 )? ? ? ? , bn bn ?1 bn bn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 ) ? 1n(1 ? )? b2b3 b3b4 (1 ? ? ln(1 ? 1 1 1 )? ? ? bn bn ?1 3 4

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 n ? 2 3 n ? 2 3

1 1 )(1 ? ) b2 b3 b3b4

1 ) ? 3 e. bn bn ?1


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