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椭圆题型总结(较难)

椭圆题型总结 一、焦点三角形 2 2 1. 设 F1、F2 是椭圆 x ? y ? 1 的左、右焦点,弦 AB 过 F2,求△ABF1 的面积的最大值。 3 2 (法一)解:如图,设 ?xF2 B ? ? (0 ? ? ? ? ) , | AF2 |? m , | BF2 |? n , B y 根据椭圆的定义, | AF1 |? 2 3 ? m , | BF ,又 | F1F2 |? 2 , 1 |? 2 3 ? n 在 ΔAF2F1 和 ΔBF2F1 中应用余弦定理,得 2 2 ? ?(2 3 ? m) ? 4 ? m ? 4m cos ? , ? 2 2 ? ?(2 3 ? n) ? 4 ? n ? 4n cos ? F1 O F2 A x ∴m ? ∴ S?F AB 1 2 2 ,n ? , 3 ? cos ? 3 ? cos ? 1 1 ? | F1 F2 | ? | yB ? y A |? ? 2 ? (m ? n) sin ? 2 2 ?( 4 3 sin ? 2 2 ? )sin ? ? 2 ? sin 2 ? 3 ? cos ? 3 ? cos ? 令 sin ? ? t ,所以 0 ? t ≤ 1 ,∴ g (t ) ? t 1 在 (0, 1] 上是增函数 ? 2 2 2?t ?t t 3 ∴当 t ? 1 ,即 ? ? ? 时, 1 4 g (t ) max ? ,故△ABF1 的面积的最大值为 3. 2 3 (法二)解:设 AB:x=my+1,与椭圆 2x2+3y2=6 联立,消 x 得 (2m2+3)y2+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆内定点 F2,∴ Δ=48(m2+1) Δ 恒大于 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y S?ABF1 =|y1-y2|= 4 3 m2 ? 1 =4 3 2m 2 ? 3 m2 ? 1 (2m2 ? 3)2 F1 B 令 t=m2+1≥1,m2=t-1, 则 O F2 A x S?ABF1 = 4 3 1 ,t∈[1,+ ? ) 1 4t ? ? 4 t f(t)= 4t ? ? 4 在 t∈[1,+ ? )上单调递增,且 f(t)∈[9,+ ? ) ∴ t=1 即 m=0 时,ΔABF1 的面积的最大值为 1 t 4 3 。 3 注意:上述 AB 的设法:x=my+1,方程中的 m 相当于直线 AB 的斜率的倒数,但又包含斜率不存在的情 况,即 m=0 的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设,往往可使消元过程简单化,而且避免了讨论。 2. 如图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足: PM ? PN ? 6. PN = (1) 求点 P 的轨迹方程;(2) 若 PM · 2 ,求点 P 的坐 1 ? cos ?MPN 标. 解:(1) 由椭圆的定义,点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点,长轴长 2a=6 的椭 圆. 因此半焦距 c=2,长半轴 a=3,从而短半轴 椭圆的方程为 b= a ? c ? 5 , 所以 2 2 x2 y 2 ? ? 1. 9 5 2 , 得 PM ?PN cos MPN ? PM ?PN ? 2. ① 1 ? cos MPN (2) 由 PM ?PN ? 因为 cos MPN ? 1, P 不为椭圆长轴顶点,故 P、M、N 构成三角形. 在△PMN 中, MN ? 4,由余弦定理有 MN ? PM ? PN ? 2 PM ?PN cos MPN . ② 2 将①代入②,得 4 ? PM 2 2 2 2 2 ? PN ? 2( PM ?PN ? 2). x2 ? y 2 ? 1 上. 故点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2 3 的双曲线 3 2 2 ? x y ?5 x ? 9 y ? 45, ? ? 1 ,所以由方程组 ? 2 由(Ⅰ)知,点 P 的坐标又满足 2 9 5 ? ? x ? 3 y ? 3. 2 2 ? 3 3 , ?x ? ? ? 2 解得 ? ?y ? ? 5 . ? ? 2 即 P 点坐标为 ( 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 , )、( ,- )、(, )或(? ,- ). 2 2 2 2 2 2 2 2 二、点差法 定理 在椭圆 x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)中,若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是弦 a2 b2 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN 3. 直线 l 经过点 A(1,2),交椭圆 y0 b2 ? ?? 2 . x0 a x2 y 2 ? ? 1 于两点 P1、P2, 36 16 (1)若 A 是线段 P1P2 的中点,求 l 的方程; (2)求 P1P2 的中点的轨迹. 解: (1)设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2), ? x1 y ? 1 ?1 ? 36 16 则? ? 2 2 x y2 ? 2 ? ?1 ? ? 36 16 2 2 y P1 A O P2 x ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0 …………* 36 16 ∵A(1,2)是线段 P1P2 的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=4, ∴ 2( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 ,即 y1 ? y 2 ? ? 2 。 x1 ? x 2 9 36 16 ∴l 的方程为 y ? ? 2 ( x ? 1) ? 2 ,即 2x+9y-20=0. 9 (2)设 P1P2 的中点 M(x,y),则 x1+x2=2x,y1+y2=2y, y?2 代入*式,得 k ? y1 ? y 2 ? ? 4 x ,又直线 l 经过点 A(1,2),∴ k ? , x1

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