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高中数学


第三节

第三章 不等式 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

? ? ?

1.了解二元一次不等式的几何意义. 2.会画二元一次不等式表示的平面区域. 3.能用平面区域表示二元一次不等式组.

? ? ?

1.能够准确判断二元一次不等式表示的平面区域,并画出平面区域是本课考查的热点. 2.画二元一次不等式组表示的平面区域是本课热点. 3.多与后面知识结合,以选择题、填空题形式考查.

1.以二元一次方程 Ax+By+C=0 的解为坐标的点 ,在直线上的所有点的坐 标 .在线外的点的坐标与方程有何关系呢? 2.点 A(1,1),B(2,1),C(-1,0)与直线 x-y=0 位置关系是什么? 3.我们知道 x+y-1=0 表示直线,试考虑一下,x+y-1>0 表示何种图形?

? ? ? ? ? ?

1.二元一次不等式的概念 含有 未知数,并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式. 2.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 某一侧 所有点组成的平面区域,把直线画成 以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成 . 3.二元一次不等式表示平面区域的确定

? ? ? ? ? ?

(1)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点, 把它的坐标(x, y)代入 Ax+By+C 所得的 符号都 . (2)在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0,y0),由 的符号可以判定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 4.二元一次不等式组 由几个 组成的不等式组称为二元一次不等式组. 5.二元一次不等式组表示平面区域 每一个二元一次不等式所表示的平面区域的 域.

,就是不等式组所表示的区

1.不等式 2x+y-5>0 表示的平面区域在直线 2x+y-5=0 的( A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方

)

?1 ? 2. 已知点 P1(0,0), P2(1,1), P3?3,0?, 则在 3x+2y-1≥0 ? ?

表示的平面区域内的点是( A.P1、P2 C.P2、P3

)

B.P1、P3 D.P2

3.已知点(a,2a-1),既在直线 y=3x-6 的左上方,又在 y 轴的右侧,则 a 的取值范围为 ______________.

? ?x+y>2, 4.画出不等式组? ? ?x-2y≥3

表示的平面区域.

?

画出下列不等式表示的平面区域:

?

(1)x+2y-4>0;(2)y≥x+3.

? ?

画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤为:第一步: “直线定界” ,即画出边界直 线 Ax+By+C=0,要注意是虚线还是实线; 第二步: “特殊点定域” ,取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0+C 的符号就 可以确定出所给不等式表示的平面区域. [题后感悟] (1)y=kx+b 表示的直线将平面分成两部分,即 y>kx+b 表示直线上方 的平面区域,y<kx+b 表示直线下方的平面区域,而直线 y=kx+b 是这两个区域的分 界线. (2)一般地, 若 Ax+By+C>0, 则当 B>0 时, 表示直线 Ax+By+C=0 上方的平面区域; 当 B<0 时,表示直线 Ax+By+C=0 下方的平面区域.若 Ax+By+C<0,与上述情况 相反.

?

?

? ? ? ? ? ? ? ?

1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域: (1)2x-y-6≥0;(2)y>2x. 解析: (1)如图,先画出直线 2x-y-6=0, 取原点 O(0,0)代入 2x-y-6 中, ∵2×0-0-6=-6<0, ∴与点 O 在直线 2x-y-6=0 同一侧的所有点(x,y)都满足 2x-y-6<0, 故直线 2x-y-6=0 右下方的区域就是 2x-y-6>0, 因此 2x-y-6≥0 表示直线下方的区域(包含边界).

幻灯片 19 ? (2)画出直线 y-2x=0,取点(1,0)代入 y-2x=0 ? ∵F(1,0)=0-2×1=-2<0, ? ∴y-2x>0(即 y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧,因此所求为如图所示的区域,不

包括边界.

幻灯片 20

? ? ? ?

由题目可获取以下主要信息: ①有一个不等式不含等号; ②所求区域为三个平面区域的公共部分. 解答本题可分别画出三个不等式所表示的平面区域,再找它们的公共部分.

幻灯片 21 ? [解题过程] 不等式 x+y≤5 表示直线 x+y=5 及其左下方的区域,不等式 x-2y>3

表示直线 x-2y=3 右下方区域, 不等式 x+2y≥0 表示直线 x+2y=0 及其右上方区域, 故不等式组表示的平面区域如图所示.

幻灯片 22 ? [题后感悟] (1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示 的区域,再取它们的公共部分即可,其步骤为:①画线;②定侧;③求“交” ;④表示. ? (2)作图时,每条直线要画准确,尤其要交代清楚两条直线的相对位置关系,如在坐标 轴上的点、倾斜角的大小等. 幻灯片 23

? ?x<3, ?2y≥x, 2.画出不等式组? ?3x+2y≥6, ? ?3y<x+9.

表示的平面区域.

幻灯片 24 ? 解析: 不等式 x<3 表示直线 x=3 左侧点的集合.

? ? ? ?

不等式 2y≥x,即 x-2y≤0 表示直线 x-2y=0 上及左上方点的集合. 不等式 3x+2y≥6,即 3x+2y-6≥0 表示直线 3x+2y-6=0 上及右上方点的集合. 不等式 3y<x+9,即 x-3y+9>0 表示直线 x-3y+9=0 右下方点的集合. 综上可得:不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分.

幻灯片 25

?x+2y-1≥0 ? (1)画出不等式组?2x+y-5≤0 ?y≤x+2 ? 并求其面积.
? ?y≤2 (2)求不等式组? ? ?|x|≤y≤|x|+1

所表示的平面区域,

所表示的平面区域的面积

大小.

幻灯片 26

?

本题的两个小题的解题关键在于正确地描绘出边界直线, 然后根据给出的不等式, 判断 出所表示的平面区域.

幻灯片 27

[规范作答] 的平面区域.2 分

(1)如图所示,其中的阴影部分便是欲表示

? ?x-y+2=0, 由? ? ?2x+y-5=0,

得 A(1,3).

同理得 B(-1,1),C(3,-1). ∴AC= 22+42=2 5, |-2+1-5| 而点 B 到直线 2x+y-5=0 的距离为 d= = 5 6 ,4 分 5 1 1 6 ∴S△ABC=2AC· d=2×2 5× =6.6 分 5

幻灯片 28

(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组: ? ?x≥0, ?y≥x, ①? ?y≤x+1, ? ?y≤2, ? ?x≤0, ?y≥-x, 或②? ?y≤-x+1, ? ?y≤2.

8分

上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,所围成 1 1 的面积 S= ×4×2- ×2×1=3.12 分 2 2

幻灯片 29 ? [题后感悟] 求平面区域的面积, 先画出不等式组表示的平面区域, 然后根据区域的形 状求面积.若图形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采取 分割的方法,将平面区域分为几个规则图形然后求解.

幻灯片 30

? ?x+2y≤20 ?2x+y-16≤0 3. 求不等式组 ? ?x≥0 ? ?y≥0 积.
?

表示的平面区域的面

解析: 不等式 x+2y≤20 表示直线 x+2y=20 上及左下方的点的集合,不等式 2x+y -16≤0 表示直线 2x+y-16=0

幻灯片 31

上及左下方的点的集合, x≥0 表示 y 轴及其右方的点的 集合,y≥0 表示 x 轴及其上方的点的集合,所以不等式组 ? ?x+2y≤20 ?2x+y-16≤0 ? ?x≥0 ? ?y≥0

所表示的平面区域如图所示.

可求得两直线 x+2y=20 与 2x+y=16 交于点(4,8). 10+8 1 ∴S= 2 ×4+2×8×(8-4)=52.

幻灯片 32

?

投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平方米;投资 生产 B 产品时,每生产 100 米需要资金 300 万元,需场地 100 平方米.现某单位可使 用资金 1 400 万元,场地 900 平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.

幻灯片 33 ? 先将已知数据列成表,如下所示:

?

然后根据此表设未知数,列出限制条件,最后作图即可.

消耗量 产品 A 产品(百吨) B 产品(百米) 幻灯片 34

资金(百万元) 2 3

场地(百平方米) 2 1

[解题过程] 设生产 A 产品 x 百吨, 生产 B 产品 y 百吨, 2x+3y≤14 2x+y≤9 则 x≥0 y≥0

.

用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所 示(阴影部分).

幻灯片 35 ? [题后感悟] 用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范围的基本方法是: 先根据问 题的需要选取起关键作用并与其他量关联较多的两个量, 用字母表示, 进而把问题中所 有的量都用这两个字母表示出来, 再由实际问题中的限制条件以及问题中所有量均有实 际意义的条件写出所有的不等式, 把由这些不等式组成的不等式组用平面区域表示出来 即可.注意在实际问题中列出不等式组时,必须考虑到所有的限制条件,不能遗漏任何 一个.

幻灯片 36

?

4.某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种矿石 10 t,B 种矿石 5 t,煤 4 t;生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t,B 种矿石 4 t,煤 9 t.工厂在生产 这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t,B 种矿石不超过 200 t,煤不超 过 360 t,请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.

幻灯片 37

解析:

设生产甲产品 x t、乙产品 y t,则

? ?10x+4y≤300, ?5x+4y≤200, ? ?4x+9y≤360, ? ?x≥0,y≥0, 生产甲、乙两种产品的取值范围如图(阴影部分)所示.

幻灯片 38

? ? ? ?

1.判定二元一次不等式表示的平面区域

判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以线定界,以点(原点)定域(以 Ax+ By+C>0 为例). (1)“以线定界” ,即画二元一次方程 Ax+By+C=0 表示的直线定边界,其中要注意实 线或虚线. (2)“以点定域” ,由于对在直线 Ax+By+C=0 同侧的点,实数 Ax+By+C 的值的符号 都相同,故为了确定 Ax+By+C 的符号,可采用取特殊点法,如取原点等.

幻灯片 39

? ? ? ? ?

2.画平面区域的步骤 (1)画线——画出不等式所反应的方程所表示的直线(如果原不等式中带等号, 则画成实 线,否则,画成虚线); (2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧 异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧; (3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的 区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式表示的平面区域. 俗称“线定界,点定域” .

幻灯片 40

?

◎画出不等式(x-y)(x+2y-2)>0 所表示的平面区域.

【错解一】

原不等式转化为

? ?x-y>0, ? ? ?x+2y-2>0,

∵x-y>0 表示直线 x-y=0 的右下方, x+2y-2>0 表示直线 x+2y-2=0 的右上方. ∴(x-y)(x+2y-2)>0 表示的平面区域如图所示(阴影部 分).

幻灯片 41

【错解二】
? ?x-y>0 ? ?x+2y-2>0 ?

原不等式等价转化为
? ?x-y<0 或? ?x+2y-2<0 ? ? ?x-y>0, ,∵? ?x+2y-2>0 ?

表示直线 x-y=0 的右下方,x+2y-2=0 的右上方区 域;
? ?x-y<0 ? ? ?x+2y-2<0

表示直线 x-y=0 的左上方, x+2y-2=0

的左下方区域. ∴(x-y)(x+2y-2)>0 表示的平面区域如图所示(阴影部 分).

幻灯片 42 ? 【错因】 以上两种方法均犯了实线与虚线不分的错误,这一点经常被忽视,同时错解 一并不是等价转化.

【正解】

原不等式等价转化为 ①

? ?x-y>0 ? ? ?x+2y-2>0 ? ?x-y<0, 或? ? ?x+2y-2<0,



幻灯片 43 ? ∵①表示直线 x-y=0 的右下方,x+2y-2=0 的右上方区域(不包括边界), ? ②表示直线 x-y=0 的左上方,x+2y-2=0 的左下方区域(不包括边界). ? ∴(x-y)(x+2y-2)>0 表示的平面区域如图所示(阴影部分).


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