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13.10.33——13.11.1含参数的一元二次不等式的解法(专题)


含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参 一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例 1 解不等式: ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a ? 4 ? 0 ,故只需对二次项
2 2

系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a ? 4 ? 0
2 2

解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?
2

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?
? ? 1? ? 2?

当 a ? 0 时,不等式为 2x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? ? 2a 2a ? ?

例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
2

分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解

? a( x 2 ? 5 x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

?当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 , 此 时 两 根 分 别 为 x1 ?

? a ? a 2 ? 16 , 2

x2 ?

? a ? a 2 ? 16 ,显然 x1 ? x2 , 2

∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R ?
2 2

?

?

解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; 2?

当? 3 ? m ?

? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1 ? ?
3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ?
2

三、 按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类, 即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ?x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例5 解不等式 x ? (a ?
2

只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ?x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a? a ?

当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?
2

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

例 6 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0
2

分 析

此 不 等 式 ? ? ?? 5a ? ? 24 a ? a ? 0 , 又 不 等 式 可 分 解 为
2 2 2

?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根 2a 与 3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根 为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,
即 2a ? 3a ,解集为 ? x | x ? 2a或x ? 3a?

含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均 需分类讨论, 那么如何讨论呢?对含参一元二次不等 式常用的分类方法有三种:

一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即

a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
例1
2 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 解不等式:

例 2. 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

二、按判别式 ?的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例3 例
2 x ? ax ? 4 ? 0 .解不等式

?m

2

? 1 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R ?

?

4









2 三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的 大 小 来 分 类 , 即

x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;

2

5









1 x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a
例 6 解 不 等 式

x 2 ? 5ax ? 6a 2 ? 0 , a ? 0


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