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2018版高中数学人教B版选修1-2学案:第三单元 3-1-2 复数的几何意义 含答案 精品

3.1.2 明目标、知重点 复数的几何意义 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间 的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 1.复数的几何意义 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都 表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数与点、向量间的对应 ①复数 z=a+bi(a,b∈R) ②复数 z=a+bi(a,b∈R) 2.复数的模 → → 复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ,则OZ的模叫做复数 z 的模,记作|z|,且|z|= a2+b2. 复平面内的点 Z(a,b); → 平面向量OZ=(a,b). [情境导学] 我们知道实数的几何意义,实数与数轴上的点一一对应,实数可用数轴上的点来表示,那么 复数的几何意义是什么呢? 探究点一 复数与复平面内的点 思考 1 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢? 答 任何一个复数 z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角 坐标系中的点集可以建立一一对应. 小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.显然, 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 思考 2 判断下列命题的真假: ①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; ②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; ③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; ④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数; ⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限. 答 根据实轴的定义,x 轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴 上,如实轴上的点(2,0)表示实数 2,因此①③是真命题;根据虚轴的定义,y 轴叫虚轴,显然 所有纯虚数对应的点都在虚轴上,如纯虚数 5i 对应点(0,5),但虚轴上的点却不都是纯虚数, 这是因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示的是实数,故除 了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,所以②是真命题,④是假命题;对于非纯虚数 z=a+ bi,由于 a≠0,所以它对应的点 Z(a,b)不会落在虚轴上,但当 b=0 时,z 所对应的点在实轴 上,故⑤是假命题. 例 1 在复平面内,若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 对应的点(1)在虚轴上;(2)在第二象 限;(3)在直线 y=x 上,分别求实数 m 的取值范围. 解 复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 的实部为 m2-m-2,虚部为 m2-3m+2. (1)由题意得 m2-m-2=0. 解得 m=2 或 m=-1. ?m2-m-2<0, ? (2)由题意得? 2 ?m -3m+2>0, ? ?-1<m<2, ? ∴? ? ?m>2或m<1, ∴-1<m<1. (3)由已知得 m2-m-2=m2-3m+2,故 m=2. 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对 应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置 判断复数实部、虚部的取值. 跟踪训练 1 实数 m 取什么值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i (1)对应的点在 x 轴上方; (2)对应的点在直线 x+y+4=0 上. 解 (1)由 m2-2m-15>0,得 m<-3 或 m>5, 所以当 m<-3 或 m>5 时,复数 z 对应的点在 x 轴上方. (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 5 得 m=1 或 m=- , 2 5 所以当 m=1 或 m=- 时, 2 复数 z 对应的点在直线 x+y+4=0 上. 探究点二 复数与向量 思考 1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系? 答 当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确定,从而可与该终点对应的复数建立一 一对应关系. 思考 2 怎样定义复数 z 的模?它有什么意义? → 答 复数 z=a+bi(a,b∈R)的模就是向量OZ=(a,b)的模,记作|z|或|a+bi|. |z|=|a+bi|= a2+b2可以表示点 Z(a,b)到原点的距离. 例 2 已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围. 解 方法一 ∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|= 32+a2, 由已知得 32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(- 7, 7). 方法二 利用复数的几何意义,由|z|<4 知,z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以 4 为半 径的圆内(不包括边界), 由 z=3+ai 知 z 对应的点在直线 x=3 上, 所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合. 由图可知:- 7<a< 7. 反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件,是一种复数问 题实数化思想;根据复数模的意义,结合图形,可利用平面几何知识解答本题. 1 跟踪训练 2 求复数 z1=3+4i,z2=- - 2i 的模,并比较它们的大小. 2 解 |z1|= 32+42=5,|z2|= 3 ∵5> ,∴|z1|>|z2|. 2 π π 跟踪训练 3 (1)当复数 z1=sin -icos ,z2=2+3i,试比较|z1|与|z2|的大小; 3 6 (2)求满足条件 2≤|z|<3 的复数 z 在复平面上表示的图形. 解 (1)∵|z1|=|sin = π π -icos | 3 6 ? 32 3 6 ? +? ?2= , 2 2 2 1 3 ?- ?2+?- 2?2 = . 2 2 π π sin2 +?-cos ?2= 3 6 |z2|=|2+3i|= 22+32= 13, 且 6 = 2 3 < 13,∴|z1|<|z2|. 2 (2)如图

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