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函数与极限自测题及答案

《函数与极限》检测题
填空题: (共 15 分,每小题 3 分) x 1.设 f ( x) ? ,则 f { f [ f ( x)]} ? __________________. 1 ? x2 m次 一、

1 1 ? cos ) x ? ________________. 2. lim(sin x ?? x x 2 3x ? 1 2 3. lim sin ? ____________________. x ?? 5 x ? 2 x
(3x ? ax 2 ? bx ? 1) ? 2 ,则 a ? __________, b ? __________. 4. 已知 xlim ???

5 . 当 x ? 0 时 , ?1 ? ax 2 ? 3 ? 1 与 cos x ? 1 是 等 价 无 穷 小 , 则
a?

1

. 二、选择题(共 15 分,每小题 3 分) 1.下列命题中正确的命题有几个?( ) (1) 无界变量必为无穷大量; (2) 有穷多个无穷大量之和仍为无穷大量; (3) 无穷大量必为无界变量; (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1 个;(B) 2 个;(C) 3 个;(D) 4 个. x x 1 a1x ? a2 ? an 2.设极限 lim( ) x ? I , ai ? 0, i ? 1, 2, , n, 则 I ? ( x ?0 n ( A)1 ;(B). e ; (C) a1a2 an ; (D) n a1a2 an . 3.要使 f ( x) ?



ex ? b 有无穷型间断点 x ? 0 ,有可去型间断点 x ? 1 , ( x ? a)( x ? b) 则 a 和 b 的值应取为( )

( A) a ? 0, b ? e ;(B) a ? e, b ? 0 ; 4.下列各式正确的是( )

(C) a ? 0, b ? 1 ;

(D) a ? e, b ? 1 .

1 1 ( A) lim(1 ? ) x ? e ; (B) lim n sin ? 1 ; x ?0 n ?? x n

?? 1 ??1 ? (C) lim ??1 ? ? ? ? ?e ; x ?? ? ?? x ? ? ?

?1

(D) lim

sin n ? 1. n ?? n
? e x ? e2 x ? x ? ? lim ? ? x ?0 ? 2 ? ,则 ? ? ( 5.设
1

) 。 (D) e .
1 2

( A) e

3 2

;(B) e

3 ? 2



(C) e ;

三、求下列极限(共 21 分,每小题 7 分) x2 1. lim ; x ?0 1 ? x sin x ? cos x 2. lim ? cos x ? ln (1? x2 ) ;
x ?0 1

1 ? ? 2 ? e x sin x ? ? ? 3. lim . 4 x ?0 ? x ? ? 1? ex ? ? ?

四、(10 分) 讨论函数 f ( x) ? lim n ??

1 ? x2n x 的连续性,如有间断点,判别其类型. 1 ? 22 n

1 ? cos ? x , x? 2 ? ? x ? ax ? b 2 x?1 五 、(10 分) 求常数 a, b 的值,使 f ( x) ? ? 在 处连续. 2 1 ? 2, x? ? ? 2
六、(10 分) 设 0 ? x1 ? 3, xn?1 ? 此极限. 七、(10 分 ) 设 f ( x) 在 ? a, b ? 上 连 续 , 且 a ? c ? d ? b, 试 证 : ?? ? ? a, b? , 使 得

xn (3 ? xn )(n ? 1, 2 ) ,证明数列 ? xn ? 的极限存在,并求

?, ? ? 0 . ? f ( c)? ? f ( d )? ? ( ? ? )f ? ( ,其中 )
八、(9 分) 设 f ( x) 在 U ? a, ? ? 内有定义, 且极限 lim
h ?0

f ( a ? h) ? f ( a ) ? A, 则 f ( x) 在点 a h

连续.

《函数与极限》检测题答案
一、填空题 1.
2. e ; 3.

x 1 ? mx 2



6 ; 5

4. 9, ?12 ; 5. ?

3 . 2

二、选择题 1. A ;2. D ;3. A ;4. B ;5. A .

三、求下列极限 1.
1 ? 4 ;2. e 2 ;3 . 1 3

? x; 0 ? x ? 1 ? 四、 f ( x) ? ? 0; x ? 0 ,间断点为; x ? ?1, x ? 1 ,均为跳跃间断点。 ?? x; x ?1 ? ? ? ?1 五、 a ? ? ? 1, b ? 。 2 4 3 六、 。 2
七、令 F ( x) ? ? f (c) ? ? f (d ) ? (? ? ? ) f ( x) ,利用中值定理得证。 八、由连续定义证明。


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