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高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》教案2 新人教A版必修5

课题:3.2 一元二次不等式及其解法(2)

主备人:

执教者:

【学习目标】 1.知识与技能:理解一元二次不等式解法与二次函数的关系本质,继续探究一元二次不等式 解法的步骤和过程。 2.过程与方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 3.情感、态度与价值观:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时 体会从不同侧面观察同一事物思想 【学习重点】 熟练掌握一元二次不等式的解法 【学习难点】 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【授课类型】 新授课 【学习方法】 讲练结合法 【学习过程】 一、引入 1. 复 习 : 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与 相 应 的 函 数 相应的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间有什 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、 么关系? 2.归纳解一元二次不等式的步骤: (1)二次项系数化为正数; (2)解对应的一元二次方程; (3)根据一元 二次方程的根,结合不等号的方向画图; (4)写出不等式的解集. 二、新课学习 [范例讲解] 例 1、 用一根长为 100 m 的绳子能围成一个面积大于 600m 的矩形吗?当 长、宽分别为多少米时,所围成的矩形的面积最大? 解 : 设 矩 形 一 边 的 长 为 x( m) , 则 另 一 边 的 长 为 50 ? x(m) ,
2

个性设计

0 ? x ? 50 .由题意,得 x(50 ? x) ? 600 ,即 x2 ? 50 x ? 600 ? 0 .解得 20 ? x ? 30 .所以,当矩形一边的长在 (20,30)的范围内取值时,能围 2 成一个面积大于 600m 的矩形. 用 S 表示矩形的面积,则 S ? x(50 ? x) ? ?( x ? 25)2 ? 625(0 ? x ? 50) . 当 x ? 25 时, S 取得最大值,此时 50 ? x ? 25 .即当矩形的长、宽都 为 25m 时,所围成的矩形的面积最大.
例 2、 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系:

s?

1 1 2 x? x 20 180

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹 车前的速度是多少?(精确到 0.01km/h)
1

解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h, 根据题意,我们得到
2

1 1 2 x? x ? 39.5 20 180

移项整理得: x ? 9 x ? 7110 ? 0 显然

? 0 ,方程 x2 ? 9 x ? 7110 ? 0 有两

个实数根,即 所以不等式的解集 x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 。 为 x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94

?

?

在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 例 3、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生 产的摩托车数量 x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系:

y ? ?2x2 ? 220x
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它 在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解: 设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车, 根据题意,我们得到

?2 x2 ? 220 x ? 6000
移项整理,得

x2 ? 110 x ? 3000 ? 0
因 为

? 100 ? 0











x2 ? 110 x ? 3000 ? 0 有两个实数根

x1 ? 50, x2 ? 60
由二次函数的图象,得不等式的解为:50<x<60 因为 x 只能取正整数,所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生 产的摩托车数量在 51—59 辆之间时,这家工厂能够获得 6000 元以上的 收益。 三、课堂练习 同步学案(选) 四、小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系 五、作业

2

同步学案 3.2(2) 课后反思: 高二数学 教·学案 课题:3.1 不等式与不等关系(3) 主备人: 执教者:

【学习目标】 通过进一步探究一元二次不等式的解法、 一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系, 研 究含有参数的一元二次不等式的解法,提高分析问题和解决问题的能力。 【学习重点】 含参数的一元二次不等式的解法 【学习难点】 含参数的一元二次不等式的解法 【授课类型】 新授课 【学习方法】 讲练结合法 【学习过程】 一、引入 复 习 : 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与 相 应 的 函 数 相应的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间有什么 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、 关系? 二、新课学习 例 1.已知关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1} ,求 实数 m, n 之值.
2

个性设计

解:

不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1}
2

? x1 ? ?5, x2 ? 1 是 x2 ? mx ? n ? 0 的两个实数根, ??5 ? 1 ? m ?m ? ?4 . ? 由韦达定理知: ? ?? ? ?5 ?1 ? n ? n ? ?5
例 2 . 已 知 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | 2 ? x ? 3} 求 不 等 式
2

cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集. b ? ?2 ? 3 ? ? a ?b ? ?5a ? c ? ? 解:由题意 ? 2 ? 3 ? , 即 ? c ? 6a . a ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? 2 2 代入不等式 cx ? bx ? a ? 0 得: 6ax ? 5ax ? a ? 0(a ? 0) . 1 1 2 即 6 x ? 5x ? 1 ? 0 ,? 所求不等式的解集为 {x | ? ? x ? ? } . 3 2

3

高二数学 教·学案 例 3.已知一元二次不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R , 求 m 的取值范围. 解:

y ? (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 为二次函数,? m ? 2 二次函数的值恒大于零,即 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为

R. m?2 ?m ? 2 ? 0 ? m?2 ? , 即? ,解得: ? ?? 2 ? ??0 ?2 ? m ? 6 ?4(m ? 2) ? 16(m ? 2) ? 0 . ?m 的取值范围为 {m | 2 ? m ? 6} ( m ? 2 适合)
拓展:1.已知二次函数 y ? (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 的值恒大于零, 求 m 的取值范围. 2 .已知一元二次不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为

? ,求 m 的取值范围. 3.若不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取
值范围. 归纳:一元二次不等式恒成立情况小结:

?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0
例 4. 若函数 y ? 的取值范围. 解 : 求k x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是一切实数,

y ? x 2 ? 2kx ? k 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 R , ? x 2 ? 2kx ? k ? 0 恒成立. ? ? ? 4k 2 ? 4k ? 0 ? 0 ? k ? 1 故 k 的取值范围是 {k | 0 ? k ? 1} . 1 拓展:若将函数改为 y ? ,如何求 k 的取值范围? x 2 ? 2kx ? k
例 5. 若不等式 mx ? 2 x ? 1 ? m ? 0 对满足 ?2 ? m ? 2 的所有 m 都成立, 求实数 x 的取值范围.
2

解:已知不等式可化为 ( x ?1)m ? (1 ? 2 x) ? 0 .
2

设 f (m) ? ( x ?1)m ? (1 ? 2 x) ,这是一个关于 m 的一次函数(或常数函
2

数) ,从图象上看,要使 f (m) ? 0 在 ?2 ? m ? 2 时恒成立,其等价条件 是:

4

高二数学 教·学案
2 ? ? f (2) ? 2( x ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0, ? 2 ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0,

即 ?

2 ? ?2 x ? 2 x ? 3 ? 0, 2 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0.

解 得

?1 ? 7 1? 3 . ?x? 2 2
所以,实数 x 的取值范围是 ? 三、课堂练习 1、求不等式的解集: x ? ax ? 12a ? 0
2 2

? ?1 ? 7 1 ? 3 ? , ?. ? 2 2 ? ? ?

2、 ?10 ? x ? 6 x ? 5 ? 11 .
2

2 2 3、已知: A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? ( a ? 1) x ? a ? 0 ,

?

?

?

?

(1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围; (3)若 A B 为一元集,求 a 的取值范围; 解 3:由题意 A ? {x |1 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0} (1) (2) (3)

?

A ? B ,? a ? 2 ;

B ? A ,?1 ? a ? 2 ; A B 只有一个元素,? a ? 1

?

4、关于 x 的不等式

x2 ? x ? k ? k 对一切实数 x 恒不成立,求 k 的取值 x2 ? x ? 3

范围. 四、小结 1.从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题; 2.一元二次不等式恒成立的问题. 五、作业 同步学案 3.2(3) 课后反思:

5


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