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2018版高中数学第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修5

习题课 正弦定理和余弦定理
[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、 余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、 余 弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、 余弦定理解决一些和三角函数、 向量有关的综合问 题.

知识点一 正弦定理及其变形 1. = = =2R. sin A sin B sin C

a

b

c

2.a=2Rsin__A,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C.(化角为边) 3.sin A= ,sin B= ,sin C= .(化边为角) 2R 2R 2R 知识点二 余弦定理及其推论

a

b

c

b2+c2-a2 1.a =b +c -2bccos__A,cos A= .(边角互化) 2bc
2 2 2

2.在△ABC 中,c =a +b ?C 为直角,c >a +b ?C 为钝角;c <a +b ?C 为锐角. 知识点三 解三角形的几类问题和解法 已知条件 一边和两角(如 a,B,C) 应用定理 正弦定理 弦定理求出 b 与 c 由余弦定理求第三边 c,再由正弦 两边及其夹角(如 a,b,C) 余弦定理和正弦定理 定理求出第二个角,再由 A+B+C =180°,求出第三个角 两边和其中一边所对的角 正弦定理 (如 a,b,B) 三边 a,b,c 知识点四 三角形内的角的函数关系 在△ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,则有 (1)sin(A+B)=sin__C,cos(A+B)=-cos__C,tan(A+B)=-tan__C, (2)sin 余弦定理 再由三角形内角和定理求第三个角 180°求 C,最后由正弦定理求 c 先由余弦定理的推论求出两个角, 由正弦定理求 A,再由 A+B+C= 一般解法 由 A+B+C=180°,求 A,再由正

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A+B

=cos ,cos 2 2

C

A+B

=sin . 2 2

C

1

题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值 4 π 例 1 在△ABC 中,AC=6,cos B= ,C= . 5 4 (1)求 AB 的长;

? π? (2)cos?A- ?的值. 6? ?
4 解 (1)由 cos B= , 5 3 2 则 sin B= 1-cos B= , 5 π 又∵C= ,AC=6,由正弦定理, 4 得

AC

sin B



AB
sin π 4



6 AB 即 = ? AB=5 2. 3 2 5 2 3 4 2 (2)由(1)得:sin B= ,cos B= ,sin C=cos C= , 5 5 2 7 2 则 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= , 10 cos A=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C)=- π 7 2- 6 sin Asin = . 6 20 反思与感悟 应用正弦、 余弦定理解三角形时, 要注意结合题目中的条件, 选择适当的定理. 在 进行求值运算时,要合理运用三角恒等变换的公式进行转化. 跟踪训练 1 如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC = 2 2 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 3 2 π ? π? ,则 cos?A- ?=cos Acos + 6? 10 6 ?

答案

2 2 解析 ∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD= , 3 2 2 2 2 2 ∴在△ABD 中,有 BD =AB +AD -2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2·3 2·3· =3. 3 ∴BD= 3. 题型二 判断三角形的形状
2

例 2 在△ABC 中,b=asin C,c=acos B,试判断△ABC 的形状. 解 由余弦定理知 cos B=

a2+c2-b2 , 2ac a2+c2-b2 , 2ac

代入 c=acos B,得 c=a· 所以 c +b =a ,
2 2 2

所以△ABC 是以 A 为直角的直角三角形. 又因为 b=asin C,所以 b=a· ,所以 b=c, 所以△ABC 也是等腰三角形. 综上所述,△ABC 是等腰直角三角形. 反思与感悟 (1)判断三角形形状时,要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化.但究竟是化 边为角还是化角为边,应视具体情况而定. (2)常用的几种转化形式: ①若 cos A=0,则 A=90°,△ABC 为直角三角形; ②若 cos A<0,则△ABC 为钝角三角形; ③若 cos A>0 且 cos B>0 且 cos C>0,则△ABC 为锐角三角形; ④若 sin A+sin B=sin C,则 C=90°,△ABC 为直角三角形; ⑤若 sin A=sin B 或 sin(A-B)=0,则 A=B,△ABC 为等腰三角形; ⑥若 sin 2A=sin 2B,则 A=B 或 A+B=90°,△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 4 跟踪训练 2 在△ABC 中, cos A= , 且(a-2)∶b∶(c+2)=1∶2∶3, 试判断三角形的形状. 5 解 由已知设 a-2=x,则 b=2x,c+2=3x, 所以 a=2+x,c=3x-2, 4x +(3x-2) -(x+2) 4 由余弦定理得 cos A= = . 4x(3x-2) 5 解得 x=4,所以 a=6,b=8,c=10, 所以 a +b =c ,所以三角形为直角三角形. 题型三 有关创新型问题 例 3 已知 x>0,y>0,且 x -xy+y =1,求 x -y 的最大值与最小值. 解 构造△ABC,使 AB=1,BC=x,AC=y,C=60°, 由余弦定理知 AB =AC +BC -2AC·BCcos C, ∴1=x +y -xy,即 x,y 满足已知条件,
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c a

x y 1 2 3 由正弦定理得 = = = . sin A sin B sin 60° 3
2 3 2 3 ∴x= sin A,y= sin B, 3 3

x2-y2= (sin2A-sin2B)
2 = (1-cos 2A-1+cos 2B) 3 2 = (cos 2B-cos 2A) 3 2 = [cos(240°-2A)-cos 2A] 3 2 3 3 = (- cos 2A- sin 2A) 3 2 2 2 3 =- sin(2A+60°). 3 ∵0°<A<120°,∴60°<2A+60°<300°, 2 3 2 2 当 2A+60°=90°时,x -y 有最小值- . 3 2 3 2 2 当 2A+60°=270°时,x -y 有最大值 . 3 反思与感悟 解答此类题目,我们可以根据条件,构造三角形,利用正弦、余弦定理将问题 予以转化.如本题中将 x -y 转化为三角恒等变换及 y=Asin(ω x+φ )的值域的问题. 跟踪训练 3 已知 x,y 均为正实数,且 x +y -3=xy,求 x+y 的最大值. 解 构造△ABC,角 A,B,C 的对边分别为 x,y, 3,C=60°,由余弦定理知 x +y -3=
2 2 2 2 2 2

4 3

xy,即 x,y 满足已知条件.


x y 3 = = =2, sin A sin B sin 60°

∴x=2sin A,y=2sin B, ∴x+y=2(sin A+sin B) =2[sin A+sin(120°-A)] =2(sin A+ =2 3( 3 1 cos A+ sin A) 2 2

3 1 sin A+ cos A) 2 2

=2 3sin(A+30°). ∵0°<A<120°, ∴当 A=60°时,x+y 有最大值 2 3.

4

例 4 在△ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 三角形的形状.

a+b cos B+cos A = ,试判断 a cos B

b cos A 错解 由已知得 1+ =1+ , a cos B
即 acos A=bcos B. 由 cos A= 得 a·

b2+c2-a2 a2+c2-b2 ,cos B= , 2bc 2ac

b2+c2-a2 a2+c2-b2 =b· , 2bc 2ac
2 2 2 4 4 2 2 2 2

整理得 c (a -b )=a -b =(a -b )(a +b ), ∴c =a +b , ∴△ABC 为直角三角形. 错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系,其思路是正确的,但在结果的判断上出 现了严重的失误,由(a -b )(a +b -c )=0 得 a=b 或 a +b =c ,而不是 a=b 且 a +b =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c2. b cos A 正解 由已知得 1+ =1+ , a cos B
即 acos A=bcos B.

b2+c2-a2 a2+c2-b2 由 cos A= ,cos B= , 2bc 2ac
得 a·

b2+c2-a2 a2+c2-b2 =b· , 2bc 2ac
2 2 2 2 2

整理得(a -b )(a +b -c )=0, 所以 a -b =0 或 a +b -c =0, 即 a=b 或 a +b =c . 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 误区警示 在转化的过程中,一定要注意转化的合理性与等价性. 跟踪训练 4 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B +(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.
5
2 2 2 2 2 2 2 2

解 (1)由 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C 得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a =b +c +bc, 由余弦定理得 cos A=
2 2 2 2

b2+c2-a2 -bc 1 = =- , 2bc 2bc 2

∵A∈(0°,180°),∴A=120°. (2)由(1)得 a =b +c +bc,由正弦定理得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C. 3 2 2 ∴sin B+sin C+sin Bsin C= , 4 又 sin B+sin C=1, 1 ∴sin B=sin C= , 2 ∵B,C∈(0°,90°),∴B=C=30°, ∴△ABC 为等腰三角形.
2 2 2 2 2 2

1.在钝角△ABC 中,a=1,b=2,则最大边 c 的取值范围是( A.1<c<3 B.2<c<3

)

C. 5<c<3 D.2 2<c<3 答案 C 解析 在钝角△ABC 中,由于最大边为 c,所以角 C 为钝角.所以 c >a +b =1+4=5,即 c > 5,又因 c<a+b=1+2=3,所以 5<c<3. 2.在△ABC 中,若 c=2acos B,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案 C 解析 ∵c=2acos B,由正弦定理得 2cos Bsin A=sin C=sin(A+B), ∴sin Acos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0, 又∵-π <A-B<π ,∴A-B=0,∴A=B. ∴△ABC 是等腰三角形. )
2 2 2

6

→ → 3.已知△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,AC=6.则AB·BC的值为( A.19 B.14 C.-18 D.-19 答案 D 解析 由余弦定理的推论知: cos B=

)

AB2+BC2-AC2 19 = . 2AB·BC 35

→ → → → 所以AB·BC=|AB|·|BC|·cos(π -B) 19 =7×5×(- )=-19,故选 D. 35 4.在△ABC 中,B=60°,a=1,S△ABC= 答案 2 1 1 3 3 解析 S△= acsin B= ·1·c· = , 2 2 2 2 ∴c=2, 1 2 2 2 ∴b =a +c -2accos B=1+4-2·1·2·( )=3, 2 ∴b= 3,∴ 3 c ,则 =________. 2 sin C

b 3 = = =2. sin C sin B 3 2 a b c

c

5.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是________三角形. cos A cos B cos C 答案 等边 解析 ∵ = , cos A cos B ∴sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵A,B∈(0,π ),∴A-B∈(-π ,π ), ∴A-B=0,∴A=B. 同理 B=C,∴A=B=C, ∴△ABC 为等边三角形.

a

b

1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、

7

等边三角形等). 对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般地,应运用正弦定理和余弦定理,要么把 它统一为边的关系,要么把它统一为角的关系,再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方 法、代数恒等变形方法等进行转化、化简,从而得出结论. 2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思 想来解决问题;平面向量与解三角形的交汇问题,应注意准确运用向量知识转化为解三角形 问题,再利用正弦、余弦定理求解.

8


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