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江苏省南通中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学试题


江苏省南通中学 2016~2017 学年度第一学期期末考试
高二数学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... . 置上 .. 1. 若直线经过 A(1,0) 、 B (0, ?1) 两点, 则直线 AB 的倾斜角为 ▲ . 答案: 45 ? 2. 已知平面 ? / / 平面 ? ,若直线 l ? 平面 ? ,则直线 l 与平面 ? 的位置关系为 ▲ . 答案:垂直 3. 函数 f ( x) ? x ? e x ,则 f ?(1) ? 答案: 2e 4. 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 ▲ .
2 2 答案:x +(y-2) =1

▲ .

5. 准线方程为 x ? ?2 的抛物线的标准方程是 ▲ . 答案: y 2 ? 8 x 6. 棱长为 1 cm 的正方体的外接球表面积为 ▲ 答案: 3? 7. 已知双曲线 为 ▲ . 答案: 5 8. 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ,若函数 f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, 则 x0 ? 答案: ▲ .
cm 2 .

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 2 x ,则该双曲线的离心率 a 2 b2

1 2

9. 如果平面直角坐标系中的两点 A(a ? 1, a ? 1) , B(a, a) 关于直线 l 对称,那么直线 l 的方 程 为 ▲ .

答案: x ? y ? 1 ? 0

10.若椭圆

x2 y 2 ?b ? ? ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 x 2 ? y 2 ? ? ? c ? (其中 c 为椭圆的半焦距), 有四 2 a 2 b2 ? ?

2

个不同的交点,则该椭圆离心率的取值范围为 ▲ .

? 5 3? 答案: ? ? 5 ,5? ? ? ?

11.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1 在 [0, 2] 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 答案: [3, ??) 12 .若直线 ax ? by ? 1 ? 0 平分圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长 , 则 ab 的取值范围是 ▲
1? ? 答案: ? ?? , ? 8? ?
+?) 上的单调函数 f ( x) ,对任意 x ? (0, +?) , f [ f ( x) ? log 2 x] ? 3 成立,若方 13.定义在 (0,



程 f ( x) ? f ?( x) ? 2 的解在区间 (k , k ? 1)(k ? Z) 内,则 k ? 答案: 1

▲ .

14.过点 P(1,3) 的动直线与抛物线 y ? x 2 交于 A , B 两点,在 A , B 两点处的切线分别为 l1 、
l2 ,若 l1 和 l2 交于点 Q ,则圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 上的点与动点 Q 距离的最小值为

▲ .

答案: dmin ? 5 ? 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说 明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 3x ? a ? a ? R ? . (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)若函数 f ( x) 在区间 ? ?4,4? 上的最大值为 26 ,求 a 的值. 解:(1)因为 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 3x ? a ,所以 f ?( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 , 令 f ?( x) ? 0 ,即 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 , 所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (?1,3) . (2)由函数在区间 ? ?4,4? 内的列表可知: x -4
(?4, ?1)

1 3

1 3

-1

( ?1,3)

3

(3, 4)

4

f ?( x) f ( x)



0

+

0



函数 f ( x) 在 ( ?4, ?1) 和 (3, 4) 上分别是减函数,在 (?1,3) 上是增函数.

76 , f (3) ? a ? 9 ,所以 f (?4) ? f (3) , 3 76 2 所以 f (?4) 是 f ( x) 在 [?4, 4] 上的最大值, 所以 a ? ? 26 ,即 a ? . 3 3
又因为 f (?4) ? a ?

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC ? 90? , PA ? 平面 ABC , E , F 分别为 PB , PC 的 中点. (1)求证: EF // 平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 PAB .
P

F E A B C

17.已知圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P 点 作圆 M 的切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B . (1)若点 P 的坐标为 (0, 0) ,求 ?APB ; (2)若点 P 的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C 、 D 两点,当 CD ? 2 时,求 直 线 CD 的方程; (3)经过 A 、 P 、 M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的 坐 标;若不经过,请说明理由. 解:(1)因为点 P 坐标为 (0, 0) ,所以 MP ? 2 , 又因为 MA ? MB ? 1 ,所以 ?MPA ? ?MPA ? 30? ,故 ?APB ? 60? . (2)当直线斜率不存在时,不合题意;

当直线斜率存在时,设直线 CD 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) 因为 CD ? 2 ,所以圆心 M 到直线 CD 的距离为
?2k ? 1 1? k
2

2 , 2



?

2 1 ,解得 k ? ?1 或 k ? ? , 2 7

故直线 CD 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 . (3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q(m, 因为 PA 为圆 M 的切线, 所以经过 A 、 P 、 M 三点的圆是以 Q 为圆心, MQ 为半径的圆,
2 故其方程为 ( x ? m) ? ( y ?

m ? 1) , 2

m m ? 1)2 ? m2 ? ( ? 1)2 2 2

化简得 x2 ? y 2 ? 2 y ? m(2x ? y ? 2) ? 0
4 ? x? ? x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ?x ? 0 ? ? 5 由? ,解得 ? 或? y ? 2 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2 ? 5 ?
?4 2? 所以经过 A 、 P 、 M 三点的圆经过异于点 M 的定点 ? , ? . ?5 5?

18.请你设计一个仓库.它的上部是底面圆半径为 5m 的圆锥,下部是底面圆半径为 5m 的 圆 柱,且该仓库的总高度为 5m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单 价
? π? 分别为 4 百元/ m 2 ,1 百元/ m 2 ,设圆锥母线与底面所成角为 ? ,且 ? ? ? 0, ? . ? 4?

(1)设该仓库的侧面总造价为 y,写出 y 关于 ? 的函数关系式; (2)问 ? 为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:百元)最少?并求出此时圆锥的高 度.
5 ? ?1 ? 2 ? sin? ? ? π? 解: (1) y ? ? 2? ? 5 ? 5(1 ? tan ? ) ? ? 1 ? ? ? 2? ? 5 ? ? ? 4 ? 50? ?1+ cos? ? ,? ? ? 0,4 ? ; 2 cos ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? ? 2sin? ? 1 ? (2)由 y? ? 50? ? ? ? 0 得 sin? ? , ? ? ? 0,4 ? , 2 cos ? 2 ? ? ? ?

所以 ? ?

? ,列表: 6
? 6

?

? ?? ? 0, ? ? 6?

?? ?? ? , ? ?6 4?

(第 18 题)

y?



0 极小值

+


y

所以当 ? ? 19.已知椭圆 C :

? 5 3 m. 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 6 3

x2 y 2 3 4 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,一条准线方程为 x ? . 2 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆交于 P , Q 两点. ①若 m ? ?2 ,当 ?OPQ 面积最大时,求直线 l 的方程; ②当 k ? 0 时,若以 PQ 为直径的圆经过椭圆的右顶点,求证:直线 l 过定点. 解:(1)

x2 ? y2 ? 1 . 4
得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0

? x2 2 ? ? y ?1 (2)由 ? 4 ? y ? kx ? m ?

? ? (8km)2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? 0 ,整理得 4k 2 ? m2 ? 1 ? 0 (*)
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 4 (**) 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2

2 ①当 m ? ?2 时,代入(*)和(**)式得: k ?

3 16k 12 , x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . 4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 又 O 到直线 l 的距离 d ?

4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 , 4k 2 ? 1
2
2

k ?1



所以 S?OPQ ?

1 4 4k 2 ? 3 . PQ ? d ? 2 4k 2 ? 1

令 t ? 4k ? 3 ,则 t ? 0 ,则
2

S?OPQ ?

4t 4 ? ?1 t ?4 t? 4 t
2

? 7? 7 3 7 ? 当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ? 时等号成立,且 k 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 4 4
因此 ?OPQ 面积最大时,直线 l 的方程为: y ? ?
7 x?2. 2

2

②由已知, AP ? AQ ,且椭圆右顶点为 A(2,0) 所以 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 4 ? (1 ? k 2 ) ? 整理得: 5m2 ? 16km ? 12k 2 ? 0 解得 m ? ?2k 或 m ? ?

4m2 ? 4 ?8km ? (km ? 2) ? ? m2 ? 4 ? 0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

6k ,均满足(*)式, 5

所以当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 l : y ? kx ? 2k ,过定点 (2, 0) 与题意矛盾; 当m??

6k 6k ?6 ? 时,直线 l 的方程为 l : y ? kx ? ,过定点 ? , 0 ? ,得证. 5 5 ?5 ? a ? ln x ,曲线 f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线与直线 y ? e2 x ? e 垂直. x

20. 已知函数 f ( x) ?

(1)求 a 的值及 f ( x) 的极值;
2? ? (2) 是否存在区间 ? t , t ? ? (t ? 0) , 使函数 f ( x) 在此区间上存在极值和零点?若存在, 3? ?

求实数 t 的取值范围,若不存在,请说明理由; (3)若不等式 x2 f ( x) ? k ( x ? 1) 对任意 x ? (1, ??) 恒成立,求整数 ..k 的最大值. 解:(1)由 f ( x) ?

a ? ln x 1 ? a ? ln x ,得 f ?( x) ? . x x2

因为 f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线与直线 y ? e2 x ? e 垂直, 所以 f ?(e) ? 所以 f ( x) ?

1 ? a ? ln e ?a 1 ? 2 ? ? 2 ,解得 a ? 1 , e2 e e 1 ? ln x ln x ( x ? 0) ,令 f ?( x) ? ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 . x x

因为当 x ? ? 0,1? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 所以 f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 1,无极小值; (2)因为 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递减,且 f ( x) ? 0 又由(1)知 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,且 f (e?2 ) ?

1 ? ln e?2 ? ?e2 ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 e?2

所以由零点存在原理得 f ( x) 在区间 (0,1) 存在唯一零点,函数 f ( x) 的图象如图所示:
2? ? 因为函数 f ( x) 在区间 ? t , t ? ? (t ? 0) 上存在极值和零点, 3? ?

2 ? 0 ? t ?1? t ? ? 1 1 ? 3 所以由 ? ,解得 ? t ? . 3 e ? f (t ) ? 1 ? ln t ? 0 ? t ?
?1 1? 所以存在符合条件的区间,实数 t 的取值范围为 ? , ? ; ?3 e?

(3)当 x ? (1, ??) 时,不等式 x2 f ( x) ? k ( x ? 1) 可变形为 k ? 设 h( x) ?
x ? ln x ? 2 x(1 ? ln x) , ( x ? 1) ,则 h?( x) ? ( x ? 1)2 x ?1

x(1 ? ln x) x ?1

设 ? ( x) ? x ? ln x ? 2 , ( x ? 1) ,则 ? ?( x) ? 1 ? 因为 x ? 1 时, ? ?( x) ?

1 x

x ?1 ? 0 ,所以 ? ( x) ? x ? ln x ? 2 在 (1, ??) 上单调递增, x

又因为 ? (3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , ? (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 所以存在唯一的 x0 ? (3, 4) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 ,即 ln x0 ? x0 ? 2 , 当 x ? ?1, x0 ? 时, ? ( x) ? 0 ,即 h?( x0 ) ? 0 ,当 x ? ? x0 , ?? ? 时, ? ( x) ? 0 ,即 h?( x0 ) ? 0 , 所以 h( x) 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故 h( x)min ? h( x0 ) ?
x0 (1 ? ln x0 ) x0 (1 ? x0 ? 2) x0 ( x0 ? 1) ? ? ? x0 , x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

? x(1 ? ln x) ? 因为 k ? ? ? ? x0 ,且 x0 ? (3, 4) ,所以整数 k 的最大值为 3 . ? x ? 1 ? min


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