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课时作业43


课时作业(四十三)
一、选择题 1.(2012 年辽宁)将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 B.x+y+3=0 D.x-y+3=0 )

解析:圆 x2+y2-2x-4y+1=0 可化为标准方程 (x-1)2+(y-2)2=4,要使直线平分此圆,则直线需过圆心(1,2). 因此可通过代入法,看哪一条直线过圆心(1,2)即可.经检验,选项 C 满足条 件.故选 C. 答案:C 2.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率 的最小值为( A.- 3 C.- 3 3 ) B. 3 D. 3 3 |2k-4k| =1,得 k2+1

解析:设直线方程 y=k(x-4),斜率最小在切线处取得,由 3 k=± 3 答案:C

3. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点, 则 b 的取值范围是( A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3] 解析: B.[1-2 2,1+2 2] D.[1-2 2,3]

)

曲线 y=3- 4x-x2表示圆(x-2)2+(y-3)2=4 的下半圆,如图所示,当直

线 y=x+b 经过点(0,3)时,b 取最大值 3,当直线与半圆相切时,b 取最小值,由 |2-3+b| =2?b=1-2 2或 1+2 2(舍),故 bmin=1-2 2,b 的取值范围为[1- 2 2 2,3]. 答案:C 4.(2012 年湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部 分,若使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 B.y-1=0 D.x+3y-4=0 )

解析:当 OP 与该直线垂直时,符合题意;此时 kOP=1,故所求直线斜率 k =-1.又已知直线过点 P(1,1), 故直线方程为 y-1=-(x-1),即为 x+y-2=0. 答案:A 5.设两圆 C1,C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2| 等于( A.4 C.8 ) B.4 2 D.8 2

解析:∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2, 即 a,b 为方程(4-x)2+(1-x)2=x2 的两个根, 整理得 x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C1C2|= ?a-b?2+?a-b?2= 32×2=8. 答案:C 6.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那 → → 么PA· PB的最小值为( A.-4+ 2 ) B.-3+ 2

C.-4+2 2

D.-3+2 2

OA 1 解析:设∠APO=θ,PO=m?sinθ=OP=m,∠APB=2θ(如图), ∵PA=PB, → → → → ∴PA· PB=|PA||PB|cos2θ → =|PA|2(1-2sin2θ) 2? 2 ? =(m2-1)?1-m2?=m2-2-1+m2 ? ? 2 2 4 =m2+m2-3≥2 2-3(当且仅当 m2=m2,即 m= 2时,取“=”),故选 D. 答案:D 二、填空题 7.已知圆 x2+y2=9 的弦 PQ 的中点为 M(1,2),则弦 PQ 的长为________. 解析:圆心到 M(1,2)的距离等于 5,半径等于 3,则弦长等于 2 32-? 5?2 =4. 答案:4 8.若⊙O1:x2+y2=5 与⊙O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点, 且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________.

解析:由题知 O1(0,0),O2(m,0), ∴两圆的圆心距为 m,且 5<|m|<3 5, 又 O1A⊥AO2,所以有 m2=( 5)2+(2 5)2=25?m=± 5,

∴AB=2× 答案:4

5× 20 =4. 5

9.(2012 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15 =0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________.

解析:易见圆 C 的圆心为 C(4,0),半径为 1,∴直线 y=kx-2 上至少存在一 点, 使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,必须且只需 C 到直线 y =kx-2 的距离 |4k-2| 2 2 2 2≤2 如图所示,即(2k-1) ≤1+k ,即 3k -4k≤0, 1+k

4 4 即 0≤k≤3.∴k 的最大值是3. 4 答案:3 三、解答题 10. 已知直线 l1: 4x+y=0, 直线 l2: x+y-1=0 以及 l2 上一点 P(3, -2). 求 圆心 C 在 l1 上且与直线 l2 相切于点 P 的圆的方程. 解:设圆心为 C(a,b),半径为 r,依题意,得 b=-4a. 又 PC⊥l2,直线 l2 的斜率 k2=-1, ∴过 P,C 两点的直线的斜率 kPC= 解得 a=1,b=-4,r=|PC|=2 2. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 11.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在 直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程. 解: -2-?-4a? =1, 3-a

已知圆(x-2)2+(y-2)2=1 关于 x 轴的对称圆 C′的方程为(x-2)2+(y+2)2 =1,如图所示.可设光线 l 所在直线方程为 y-3=k(x+3), ∵直线 l 与圆 C′相切, ∴圆心 C′(2,-2)到直线 l 的距离 d= 3 4 解得 k=-4或 k=-3. ∴光线 l 所在直线的方程为 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0. 12.已知点 P 的坐标为(0,5),圆 C 的方程为 x2+y2+4x-12y+24=0,过 P 的直线 l 与圆交于 A、B. (1)若|AB|=4 3,求 l 的方程; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解:圆 C 的标准方程为:(x+2)2+(y-6)2=16, ∴圆心坐标为 C(-2,6),半径长为 r=4. (1)设 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+5.由|AB|=4 3得:弦 AB 的弦心距 为 |-2k-6+5| ?|AB|? r2-? 2 ?2=2,即 C 到 l 的距离为 2,∴ =2, ? ? 1+k2 3 ∴(1+2k)2=4(1+k2),解得 k=4. 3 ∴l 的方程为 y=4x+5,即 3x-4y+20=0. 另外,点 C 到 y 轴的距离也恰为 2, ∴当 A、B 为 y 轴与圆 C 的交点时,也适合题意, 即 l 的方程也可以是 x=0. 综上所述,l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. |5k+5| =1, 1+k2

(2)据圆的垂径定理知,CM⊥MP, → → 如图,∴CM· MP=0. → → 设 M 的坐标为(x,y),则CM=(x+2,y-6),MP=(-x,5-y), 从而(x+2,y-6)· (-x,5-y)=0,整理得 x2+y2+2x-11y+30=0, 即 M 的轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0. [热点预测] 13.已知点 P(a,b)(ab≠0)是圆 x2+y2=r2 内的一点,直线 m 是以 P 为中点 的弦所在直线,直线 l 的方程为 ax+by=r2,那么( A.m∥l,且 l 与圆相交 C.m∥l,且 l 与圆相离 )

B.m⊥l,且 l 与圆相切 D.m⊥l,且 l 与圆相离

解析:∵点 P(a,b)(ab≠0)在圆内, -a b ∴a2+b2<r2,kOP=a,km= b , a 直线 l 的斜率 kl=-b=km, r2 r2 ∴m∥l,圆心 O 到直线 l 的距离 d= 2 > =r. a +b2 r ∴l 与圆相离. 答案:C 14.设圆 O:x2+y2=1,直线 l:x+2y-4=0,点 A∈l.若圆 O 上存在点 B, 且∠OAB=30° (O 为坐标原点),则点 A 的纵坐标的取值范围是________.

解析:设 A 为⊙O 外一点,点 B 在⊙O 上,则当 AB 与⊙O 相切时,∠OAB 最大,如图.

本题中, ⊙O 上存在点 B 使∠OAB=30° , 必须且只需∠OAB 的最大值≥30° . ∵⊙O 的半径为 1,∴∠OAB 的最大值≥30° ?|AO|≤2. ∵A∈l,∴可设 A 的坐标为(4-2y,y), 6 则|AO|≤2?(4-2y)2+y2≤4?5y2-16y+12≤0?5≤y≤2. 6 ∴满足题意的点 A 的纵坐标的取值范围是[5,2]. 6 答案:[5,2] 15.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦为 AB,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方 程;若不存在,说明理由. 解:依题意,设 l 的方程为 y=x+b① x2+y2-2x+4y-4=0② 联立①②消去 y 得: 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 ?x1+x2=-?b+1?, ? ? b2+4b-4 xx= , ? 2 ? 1 2



∵以 AB 为直径的圆过原点, → → ∴OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=0, 而 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2 ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, 由③得 b2+4b-4-b(b+1)+b2=0, 即 b2+3b-4=0,∴b=1 或 b=-4, ∴满足条件的直线 l 存在,其方程为 x-y+1=0 或 x-y-4=0.


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