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2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 第1课时 变化率问题、导数的概念 新人教A版选修1-1(1)_图文

第 1 课时 变化率问题、导数的概念

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P72~P76 的内容,回答下列问题.

(1)气球膨胀率 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关 系是 V(r)=34π r3,如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么

3 r(V)=

3V 4π .

①当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时,气球的平均膨胀率

是多少? 提示:

r(1)1--0r(0)≈0.62(dm/L).

②当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球的平均膨胀率
是多少? 提示: r(2)2--1r(1)≈0.16(dm/L) .

③当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率又是

多少?

r(V2)-r(V1)

提示:

V2-V1

.

(2)高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m) 与起跳后时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
①在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度 v 是多少?
提示: v =h(0.50).5--0h(0)=4.05(m/s) .
②在1≤t≤2这段时间里,运动员的平均速度 v 是多少?
提示: v =h(2)2--1h(1)=-8.2(m/s) .

③在 t1≤t≤t2 这段时间里,运动员的平均速度v 又是多少?

????其中,t1<t2∈????0,6459????

?? ??

提示: v =h(t2)t2- -ht1(t1) . 2.归纳总结,核心必记 (1)函数的平均变化率 v

对于函数y=f(x),给定自变量的两个值x1和x2,当自

变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),我们把式子

f(x2)-f(x1)

x2-x1

函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

习惯上用Δ x 表示 x2-x1,即Δ x= x2-x1 Δ x 看作是相对于 x1 的一个“增量”,可用 x1+Δ x 代替 x2;类似地,Δ y= f(x2)
Δy -f(x1) 于是,平均变化率可表示为 Δ x .
(2)瞬时速度
①物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.

②若物体运动的路程与时间的关系式是 s=f(t),当Δ t 趋近

于 0 时 , 函 数 f(t) 在 t0 到 t0 + Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率

f(t0+Δ

t)-f(t0)趋近于常数 Δt

.我们就把这个

常数

叫做物体

在 t0 时刻的瞬时速度.

(3)导数的定义 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
我们称它为函数 y= f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或y′|x=x0 ,即 f′(x0)=


[问题思考] (1)设A(x1,f(x1)),B (x2,f(x2))是曲线y= f(x)上任意不同的两点,则函数y=f(x)的平均 变化率ΔΔ xy=f(x2)x2- -xf(1 x1) =f(x1+Δ x)-f(x1)表示什么?
Δx
提示: 表示割线AB的斜率.

(2)Δ x,Δ y的值一定是正值吗?平均变化率是否一定

为正值?

提示: Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不 能为0,平均变化率ΔΔxy可正、可负、可为零 .
(3)在高台跳水中,如何求在[1,1+Δt]这段时间内的平均

速度 v?当 Δt 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势?

v
提示:

=v((1+1+Δt)Δt)--v(11).当

Δt

趋近于

0

时,平均

速度v即为t=1时的瞬时速度 .

(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系? 提示: (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2] 上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的; (快2)联慢系;;:当Δx趋于0时,平均变化率ΔΔxy趋于一个常数, 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.

[课前反思]

通过以上预习,必须掌握的几个知识点.

(1)平均变化率的定义是:



(2)什么是函数的瞬时变化率?它与平均变化率有什么区别

和联系?



(3)导数的定义是什么?如何表示?



(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么?它们有什么区别和

联系?



[思考1]

平均变化率可用式子

Δ Δ

y x

表示,其中Δ

y、Δ

x的

意义是什么?

提示: Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量 .

[思考2] 如何求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变

化率? 平均变化率为
提示:

f(x2)-f(x1)

x2-x1

.

讲一讲

1.已知函数f(x)=3x2+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率; (2)在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率.

[尝试解答] (1)因为f(x)=3x2+5, 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22+0.25- -30.×1 0.12-5=0.9. (2)f(x0+Δx)-f(x0) =3(x0+Δx)2+5-(3x20+5) =3x20+6x0Δx+3(Δx)2+5-3x20-5 =6x0Δx+3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 6x0Δx+Δ3( x Δx)2=6x0+3Δx.

(1)求函数平均变化率的三个步骤

第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1. 第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1). 第三步,求平均变化率Δ Δxy=f(x2)x2- -fx(1 x1).

(2)求平均变化率的一个关注点

求点x0附近的平均变化率,可用

f(x0+Δx)-f(x0) Δx

的形式.

练一练

1.已知函数f(x)=x+

1 x

,分别计算f(x)在自变量x从1变

到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数

值变化得较快.

解:自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为 f(2)2--f1(1)=2+12-(1 1+1)=21;

自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 f(5)5--f3(3)=5+15-2????3+31????=1145.
因为12<1145, 所以函数 f(x)=x+x1在自变量 x 从 3 变到 5 时函数 值变化得较快.

某物体按s=f(t)的规律运动. [思考1] 该物体在[t0,t0+Δt]内的平均速度是什么? 在t0的瞬时速度是多少?

提示:



[思考2]

如何求Δ Δ

xy(当Δ

x无限趋近于0时)的极限?

名师指津:(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参

与运算 .

(2)求出

Δy Δx

的表达式后,Δx无限趋近于0就是令Δx=0,

求出结果即可 .

讲一讲

2.若一物体的运动方程为s=

??29+3(t-3)2,0≤t<3, ???3t2+2,t≥3,

(路程单位:m,时间单位:s).求:

(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度;

(2)物体在t=1 s时的瞬时速度.

[尝试解答] (1)因为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=48,Δt= 2,所以物体在 t=3 s 到 t=5 s 这段时间内的平均速度为ΔΔst=428 =24(m/s).

求瞬时速度的步骤 (1)求物体运动路程与时间的关系 s=s(t); (2)求时间改变量 Δt,位移改变量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(3)求平均速度ΔΔst;

练一练 2.一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位: m,时间单位:s),若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s, 求常数a的值.
由题意知,4a=8,所以a=2.

[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗? 函数f(x)=|x|在x=0处是否存在导数?
名师指津:不一定,f(x)=|x|在x=0处不存在导数 .
Δx→0时,ΔΔ xy的极限不存在,从而在x=0处的导数不存在.

讲一讲
3.求函数y=x-1x在x=1处的导数. [尝试解答] ∵Δy=(1+Δx)-1+1Δx-????1-11???? =Δx+1+ΔΔx x, ∴ΔΔxy=Δx+Δ1+xΔΔx x=1+1+1Δx,

求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限.

练一练 3.求函数f(x)=x2+5x在x=3处的导数. 解:∵Δy=f(3+Δx)-f(3) =(3+Δx)2+5(3+Δx)-(32+5×3) =9+6Δx+(Δx)2+15+5Δx-9-15 =(Δx)2+11Δx, ∴ΔΔxy=(Δx)Δ2+x 11Δx=Δx+11,

1.本节课的重点是函数y=f(x)在x=x0处的导数的定 义,也是本节课的难点.
2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)平均变化率的求法,见讲1;
(2)瞬时速度的求法,见讲2; (3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法,见讲3.

3.本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致 出错,见讲3.
注意:在导数的定义中,增量Δx的形式是多样的, 但不论Δx是哪种形式,Δy必须选择相对应的形式.


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