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2016-2017年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习:章末知识整合1 Word版含解析


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章末知识整合
一、函数与方程思想 函数与方程思想是一种重要的数学思想. 在立体几何中, 若一个 量未知求另一个量的最值时,可利用函数思想去解决. [例 1] 如图所示,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1,三 棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径,AA1= AC=CB=2.

(1)证明:平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1; (2)设 E,F 分别为 AC,BC 上的动点,且 CE=BF=x(0<x<2), 问当 x 为何值时,三棱锥 C-EC1F 的体积最大,最大值为多少? (1)证明:因为 BB1⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, 所以 BB1⊥AC. 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 BC⊥AC, 又 BC∩BB1=B,所以 AC⊥平面 B1BCC1, 而 AC?平面 A1ACC1, 所以平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1. (2)解:因为 CE=BF=x,所以 CF=2-x. 1 1 1 1 VC-EC1F= VC1-ECF= S△ECF·CC1= · x·(2-x)· 2= (2x- 3 3 2 3 1 x2)= [-(x-1)2+1], 3
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又 0<x<2,所以当 x=1 时,三棱锥 C-EC1F 的体积最大,最大 1 值为 . 3 规律总结 将几何中的最值问题转化为二次函数是立体几何与代数相结合 的典范,应体会此方法思想的应用技巧. [变式训练] 1.圆锥的底面半径为 2 cm,高为 4 cm,求圆锥的内接圆柱的侧 面积的最大值. 解:如图所示,为圆柱和圆锥的轴截面,设所求圆柱的底面半径 为 r,母线长为 l,S 圆柱侧=2π·lr.

r 4-l 因为 = ,所以 l=4-2r. 2 4 所以 S 圆柱侧=2π·lr=2π·r·(4-2r) =-4π(r-1)2+4π≤4π. 所以当 r=1 时,圆柱的侧面积最大且 Smax=4π cm2. 二、转化与化归思想的应用 转化与化归就是处理问题时,把待解决的问题或难解决的问 题,通过某种转化过程,归结为一类已经解决的问题,最终使问题得 到解答的一种数学思想. 转化与化归思想是立体几何中重要且常用的 数学思想. [例 2] 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1.

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(1)求证:AC⊥平面 B1D1DB; (2)求 AB1 与平面 B1D1DB 所成的角; (3)求三棱锥 B-ACB1 的体积. 分析:(1)证明 AC⊥BB1 且 AC⊥BD 即可. (2)结合(1)求解,关键是先作出所求的角. (3)利用 VB-ACB1=VC-ABB1 求解. (1)证明:因为 BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, 所以 BB1⊥AC. 又 AC⊥BD,BB1∩BD=B,所以 AC⊥平面 B1D1DB. (2)解:设 AC 与 DB 的交点为 O,连接 B1O, 由(1)知 AC⊥平面 B1D1DB, 所以 B1O 就是 AB1 在平面 B1D1DB 上的射影. 所以∠AB1O 就是所求的角. 因为 AB1= 2,AO= 所以∠AB1O=30°. 1 1 (3)解:VB-ACB1=VC-ABB1= CB·S△ABB1= . 3 6 规律总结 (1)空间中线线、线面、面面三者之间相互转化的关系如下: 线线平行?线面平行?面面平行; 线线垂直?线面垂直?面面垂直. 有关线面位置关系的论证往往就通过这种联系和转化得到解决.
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2 ,∠AOB1=90°, 2

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(2)通过添加辅助线或辅助面将立体几何问题转化为平面几何问 题. (3)空间角的求解.通常将空间的角(异面直线的夹角、直线与平 面所成的角、二面角)转化为平面内两条相交直线的夹角,通过三角 形求解,即立体问题平面化. [变式训练] 2. 已知圆柱的高为 5π, 底面半径为 2 3, 轴截面为矩形 A1ABB1, 在母线 AA1 上有一点 P,且 PA=π,在母线 BB1 上取一点 Q,使 B1Q =2π,则圆柱侧面上 P,Q 两点间的最短距离为________. 解析: 如图甲所示, 沿圆柱的母线 AA1 剪开得矩形(如图乙所示), 过点 P 作 PE∥AB 交 BB1 于点 E,令 PA=a,B1Q=b, 1 则 PE=AB= ×2πR=πR=2 3π,QE=h-a-b=2π. 2

所以 PQ= PE2+QE2= (πR)2+(h-a-b)2=4π. 答案:4π 三、整体思想的应用 整体思想在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面 都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、 整体处理、几何中的补形(体)等都是整体思想在解数学问题中的具体 运用. [例 3] 一个长方体的全面积为 11,十二条棱长度之和为 24,求

这个长方体的一条对角线长.
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分析: 要求长方体对角线长, 只要求长方体的一个顶点上的三条 棱的长即可. 解:设此长方体的长、宽、高分别为 x、y、z,对角线长为 l,
? ?2(xy+yz+zx)=11, 则由题意得:? ?4(x+y+z)=24. ?

由 4(x+y+z)=24 得 x+y+z=6,从而由长方体对角线性质得: l= x2+y2+z2= (x+y+z)2-2(xy+yz+zx)= 62-11=5. 规律总结 整体思想就是在探究数学问题时, 研究问题的整体形式、 整体结 构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征做出整体性处理.整体 思想的含义很广,根据问题的具体要求,可以对代数式做整体变换, 或整体代入,也可以对图形做整体处理. [变式训练] 3.如图所示,长方体三个面的对角线长分别是 a,b,c,求长方 体对角线 AC′的长.

解:设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,由题意得: 对角线 AC′= x2+y2+z2, x +y =c , ? ?2 2 2 而?x +z =b , ? ?y2+z2=a2.
2 2 2 2 2 2

① ② ③

a2+b2+c2 由①②③得:x +y +z = , 2
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所以对角线:AC′= x2+y2+z2= 四、分类讨论思想的应用

1 2(a2+b2+c2). 2

由于图形的类型或位置不确定引起分类讨论. [例 4] 用互相平行且距离为 27 的两个平面截球, 两个截面圆的

半径分别为 r1=15,r2=24,试求球的表面积. 分析:应分两个平行截面位于球心的同侧或两侧进行讨论. 解:设球的半径为 R,球心 O 到两平行截面的距离为 OO1=d1, OO2=d2. (1)当两个平行截面位于球心 O 的两侧时,如图①所示, R =15 +d1, ? ? 2 2 2 则?R =24 +d2,解得 d1=20,d2=7,R=25. ? ?d1+d2=27, 故 S 球=4πR2=2 500π.
2 2 2

图①

图②

(2)当两个平行截面位于球心 O 的同侧时,如图②所示, R =15 +d1, ? ? 2 2 2 则?R =24 +d2,解得 ? ?d1-d2=27, 情况不存在. 综上可知,球的表面积 2 500π. 规律总结 当在已知条件下存在多种可能的情况时, 须分类讨论每一种可能
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d1=20,d2=-7,不符合题意,即这种

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的情况,综合得出结果.本题虽然第 (2)种情形不成立,但也必须考 虑到. [变式训练] 4. 一张长为 10 cm, 宽为 5 cm 的纸, 以它为侧面卷成一个圆柱, 求该圆柱的体积. 解:有两种情况:(1)以 5 cm 的边为圆柱的母线,则形成的圆柱 5 的底面周长为 10 cm,故底面半径为 r= cm, π
?5? 125 因此 V 圆柱=πr h=π·?π? ·5= (cm3). π ? ?
2 2

(2)以 10 cm 的边为圆柱的母线, 则形成的圆柱的底面周长为 5 cm,故底面半径为 r=
?5? 125 因此 V 圆柱=πr h=π·?2π? ·10= (cm3). 2π ? ?
2 2

5 cm, 2π

故圆柱的体积为

125 3 125 3 cm 或 cm . π 2π

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