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高一自主招生练习解答(版权所有严禁外传)

第一章 质点运动学
第一节 点的直线运动 2014 年 5 月 29 日截止 ③练习 1 太阳从东边升起,西边落下是地球上的自然现象,但是在某些条件下,在纬度 较高地区上空飞行的飞机上, 旅客可以看到太阳从西边升起的奇特现象, 这些条件是 ( ) A 时间必须在清晨,飞机正在由东向西飞行,飞机的速度必须较大 B 时间必须在清晨,飞机 正在由西向东飞行,飞机的速度必须较大 C 时间必须在傍晚,飞机正在由东向西飞行,飞 机的速度必须较大 D 时间必须在傍晚,飞机正在由西向东飞行,飞机的速度不能太大。 (13 苏大) 提示 飞机顺着地球自转方向飞行为向东、逆着地球自转方向飞行为向西。 答案 C 解答 飞机顺着地球自转方向飞行为向东、逆着地球自转方向飞行为向西。图中标明了 地球自转方向。 ObO ? 为晨线, OdO ? 为昏线。若在纬度较高的 b 点,飞机向东飞行,旅客 看到太阳从东边升起。在 b 点,飞机向西飞行时;当飞机速度 v1 大于 b 点地球自转速度 v2 时,飞机在地球的黑暗区域(左半球) ;当 v1<v2 时,旅客看到太阳从东边升起。若在同纬度 较高的昏线 d 点向东(图中向左)飞行,飞机处于地球上黑暗区域,旅客看不到太阳;飞机 向西(图中向右)飞行,当 v1>v2 时,旅客可看到太阳从西边升起。因此,飞机必须在傍晚 向西飞行,并且速度要足够大时才能看到“太阳从西边升起”的奇景。答案 C。

①练习 2 在马路旁观察会感觉马路上开行的汽车白天快夜晚慢,这是因为( ) A 夜晚看不清马路两旁的参照物(房屋,行道等) B 夜晚看不清车身 C 白天车速的确较快 D 夜晚司机比较小心会降低车速。(12 复旦) 答案 A 解答 图示,O 为平动参考系,令 AO=BO=l,在 ?t 时间内转过 ? 角,则 v ?t /l= ? ,白 天参考系是附近的物体,l 小;夜晚的参考系取远处的物体,l 大, 所以速度 v 较大, 答案 A。 ①练习 3 对不同的惯性参照物,如下物理量中与参照系无关的是( ) A 动能 B 功 C 力 D 声音频率(11 复旦) 答案 C 解答 与参考系有关的物理量是位移、速度、在多普勒效应中,声音频率与参考系有关, 而力与参考系无关。答案 C。 ②练习 4 甲乙丙三架观光电梯, 甲中乘客看一高楼在向下运动, 乙种乘客看甲在向下运 动, 丙中乘客看甲、 乙都在向上运动, 这三架电梯相对于地面的运动情况可能是 ( ) A 甲向上、乙向下、丙不动 B 甲向上、乙向上、丙不动 C 甲向上、乙向下、丙向下 D 甲向上、乙向下、丙也向上,但比甲、乙都慢 提示 观测物体运动,乘客以自己所乘电梯为参考系。 解答 乘客以自己所乘电梯为参考系,甲乘客看到高楼向下运动,表明甲相对于地面向 上运动;同理,乙相对于甲在向上运动,表明乙相对于地面以大于甲的速度向上运动;丙无 论是静止、还是向下运动或者比乙较小的速度向上运动,丙乘客都会感到甲、乙两电梯是在

1

向上运动。答案 B C D。 答案 B C D ③练习 5 已知一质点作变加速直线运动,初速度为 v0,加速度随位移呈线性减小,即 加速过程中加速度与位移间满足关系 a ? a0 ? ks ,式中 a 为加速度,s 为位移,a0、k 为常 量。求:当质点位移为 s 时的速度。 提示 选择公式 vt ? v0 ? 2as ,某一小段无限小位移的过程,可以看作匀变速运动。 解答 解法一:把质点的运动过程当作很多无限小的等位移过程,每一个过程视为匀变速运 动,其速度平方的变化量由每一过程变化量累加而成,即
2 2

?(v 2 ) ? vt ? v0 ? ? 2a?s ? 2? a?s
2 2

利用 a-s 图象的面积求出 vt ? v0 ,从而求得 vt。如图,作出 a-s 图象,由 a ? a0 ? ks 表 达式可知, 图象为一直线。 在 ?s 的位移内, 加速度 ai 是恒量, 质点作匀变速运动, 所以 2a i ?s 等于速度平方的变化量。以 a0 为底边、 a ? a0 ? ks 为上底、s 为高的梯形面积的 2 倍,表 示 速 度 平 方 的 变 化 量 。
2 2

2

2

v t ? v0 ? 2

2

2

a0 ? (a0 ? ks) s ? 2a0 s ? ks 2 , 2

vt ? v0 ? 2a0 s ? ks 2
用图象面积解题时,一般要求所用图象可以方便地求出面积,如梯形、圆、椭圆等规则 图形;如果是不规则图形,则在具体计算时通常采用数坐标方格子数作近似处理。 解 法 二 : a?

?v ?v ?s ? a 0 ? ks , ? a 0 ? ks , v?v ? (a0 ? ks)?v , ?t ? t ?t

1 2 1 2 1 2 2 vt ? v0 ? (a 0 s ? ks 2 ) , vt ? v0 ? 2a0 s ? ks 2 。 2 2 2
答案 vt ?
2

v0 ? 2a0 s ? ks 2

2

②练习 6 一只蜗牛从地面上开始沿竖直电杆向上爬,它上爬的速度 v 与它离地面的高 度 h 之间满足的关系是 v ? lv0 (l ? h) 。其中常数 l=20cm,v0=2cm/s。求它上爬 20cm 所用 的时间。 提示 1/v 与高度 h 是线性关系。 解答 解法一:由 v ? lv0 (l ? h) 得

1 1 1 1 1 ? h ? ,表明 与 h 是线性关系。作 -h v v v v0 l v0

图象,在 ?h 内速度 vi 不变,元时间 ?t =

?h 1 1 ? ?h ,元面积表示元时间 ?t 。如图,以 vi vi v0

为下底、

1 v ?1 v 1 )h ? 15s 。 为上底,h 为高的梯形面积表示上爬时间, t ? ( 0 v 2
2

解法二:小量分析法: t ?

? v?h ? ? ( v l h ? v
0

1

1

1
0

)?h ?

1 2 h h ? ? 15s 。 2v0 l v0

答案 15s ③练习 7 如图所示为测量重力加速度的实验装置。 装置包括: 固定在水平底板上带有刻 度的直杆;三个可通过螺丝固定在直杆上的支架 A、B、C(这些支架上可以固定相应器材) ; 小钢珠一个;小型电磁铁一个(用于吸住或释放小钢珠) ;光电门两个(用于测量钢珠通过 两个光电门之间距离所需的时间,另一个光电门触发后停止计时) 。 (1)试设计实验,通过 测量小球在不同路程下的平均速度,作图求出当地重力加速度的值。 (2)出实验原理(3) 写出实验步骤,及需要测量的物理量。 (12 华约)

提示 在光电门 B、C 之间运动的小球作竖直下抛运动。匀变速运动平均速度等于中间 时刻的瞬时速度,找到平均速度 v 与 t 的一次函数关系,图象斜率为重力加速度 g 的一半。 解答 (1)保持光电门 B 的位置不变,通过改变光电门 C 的位置测出光电门 B、C 之 间 的 距 离 h 和 小 球 通 过 光 电 门 B 、 C 之 间 的 时 间 间 隔 , 因 为

h ? v0 t ?

1 2 h 1 gt , v ? ? v0 ? gt 。 2 t 2

作 v -t 图象,其斜率的两倍即为当地的重力加速度 g。 (2)A 按图示安装实验器材,使小球和光电门 B、C 的中心在同一条竖直线上。B 固定 光电门 B、C,测量它们之间的距离 h。C 释放小球,记录小球经过光电门 B、C 的时间。 D 保持光电门 B 的位置不变,改变光电门 C 的位置。测出不少于 6 组关于 h、t 的数据。E 求得不同 h 值下的 v 值,作 v-t 图象,求出 g 值。 掌握匀变速运动中间时刻的瞬时速度等于平均速度,是设计本实验方案的关键。外推 t →0 即得到 B 点速度。与教材实验比较可以发现,设计性实验源于教材高于教材,是学生认 知水平和思维能力的升华。 答案

h 1 ? v0 ? gt ,图象斜率为重力加速度 g 的一半。 t 2

③练习 8 液体的黏滞系数是描述液体粘滞性大小的物理量。 落球法测定蓖麻油的粘滞系 数 ? ,通常是将蓖麻油装满长为 1 m 左右圆柱形玻璃筒,通过测得小球竖直落入蓖麻油后 做匀速运动时的速度来获得。 小球在蓖麻油中下落时刻受到重力、 浮力和粘滞阻力 F 的作用, 其中粘滞阻力 F ? 3??vd (其中 d、v 分别是小球的直径和速度) ,当小球匀速运动时,利 用受力平衡条件求出? ,于是测得小球匀速运动的速度是这个实验的关键。若你手中只有秒 表和毫米刻度尺可以利用, ①你怎样确定小球已经做匀速运动了?②如何测得小球的匀速运 动速度?(12 卓越) 答案 (1)相等的时间下降的距离相等(2)在平均速度-时间图象上外推到纵坐标的交 点为匀速运动的速度。 解答 令玻璃筒顶端 A、底端 C、在 AC 之间靠近 C 处某个位置 B 做好标记。按题意小球

3

到 C 点之前已经做匀速运动,速度为 v,测得 BC 距离 h,BC 运动时间 t,假定 BC 段做匀加 速运动,h/t=vB+at/2,h/t=vc-at/2 逐渐下移 B 点,测得多组 h、t 数据,以 t 为横坐标, h/t 为纵坐标。外推 t→0 时,图示,图象与纵坐标 h/t 的角度即为 C 点速度。 ②练习 9 PQC 三点在同一竖直平面圆周上,PQ、QC、CP 均为光滑细杆,PC 为直径, Q 处有一小圆环连接使小球顺利转弯,如果套在 PC 杆上的小球从顶点 P 静止释放,分别沿 PQC 轨道和 PC 竖直轨道运动,若沿 PQC 运动时间是沿 PQ 时间的 1.5 倍,求∠PCQ。(11 北大保送)

C 答案 37° 解答 令 PC 运动时间 t= 4R / g ,则 PQ 运动时间 t,依据题意 QC 运动时间为 t/2,Q 点速度 v0= 2gl sin ? ? 2 gR sin ? ,有匀变速运动公式得 2Rcos ? =v0 代入数据解得 tan? ? 0.75 。答案 ? ? 37 °。 ②练习 10 图示, 倾角 ? 的斜面上方有一定点 P, 从 P 可引无穷多条光滑直线轨道到斜面, 小球自 P 点从静止开始沿各轨道到达斜面所需时间不同,试从其中找出所需时间最短的轨 道。

t 2 t 1 + g cos ? ( ) , 2 2 2

解答 过 P 点作竖直线 PM 交水平线于 M,另作一直线 PQ,令 ?MPQ ? ? / 2 ,过 Q 作 AB 的垂线,交 PM 于 O 点。以 OP=OQ 为半径作圆,该圆与 AC 相切于 Q 点。PQ 为所 求。 答案 图示,PQ。 ③练习 11

解答 用类光折射方法解题。设两区分界线为光密、光疏介质的分界面,介质绝对折射

4

率n ? c/v得

sin ? sin ? 2

?

n2 v ? 1 ? 3 。按照题意有 d tan? i ? d tan? t ? 2d 。其中 n1 v2 5

d?

25 d d 2 英里,T= ? ? 12h58min 。 2 v1 cos? i vt cos? t

答案 略 ②练习 12 老鼠离开洞穴沿直线行进,它的速度与到洞穴的距离成反比,当它行进到离 洞穴距离为 d1 的甲处时速度是 v1,则它行进到离洞穴距离为 d2 的乙处时的速度是多少?从甲 到乙用去的时间是多少?(05 同济) 提示 速度的倒数与老鼠离开洞穴的距离 d 成正比。 运动时间 t=d/v,作 1/v 与 d 的图象, 面积即为所求时间。 答案 v2 ? d1v1 d 2 。 t ? d 2 - d1
2 2

2d1v1 。

解答 如图,因老鼠运动速度与它到洞穴的距离成反比,即有 vd=k, k 为比例常数。 v1d1=v2d2=k。 运动时间 ?t ?

?d 1 1 1 ? .?d ,而 与 d 成正比,作图横坐标为 d,纵坐标为 ,直线与横坐 v v v v
2 2

(1 v1 ? 1 v2 )(d 2 - d1 ) d 2 - d1 标包围的面积即是时间 t。 t ? 。 ? 2 2d 1 v 1
第二节 点的曲线运动 ②练习 13 从倾角为 ? 的斜面顶端,以水平初速度 v0 抛出一个小球,不计空气阻 力。求小球抛出后经过多长时间离开斜面的距离最大?此最大距离是多少? 提示 小球的运动分解为沿垂直于斜面方向的匀减速运动和平行于斜面的匀加速运动。 在垂直斜面方向的分速度为零时,小球离斜面距离最大。 答案 v0 tan? g , (v0sin? ) 2 2g cos? 解答 y 方向:初速度为 v0 sin ? ,加速度为 - g cos ? ;x 方向:初速度为 v0 cos? ,加 速 度 为 gsin

? 。 运 动 到 斜 面 最 远 时 , v y ? v0 sin ? - g cos? ? 0 , 解 得

t ? v0 tan? g 。小球离开斜面的最远距离为 y ? (v0sin? ) 2 2g cos? 。

5

③练习 14 在水平面上也是行驶的拖拉机,前轮直径为 0.8m,后轮直径为 1.25m.两轮 的轴水平距离 2m,如图所示,在行驶过程中,从前轮边缘的最高点 A 处向前水平飞出一小 石块,0.2s 后从后轮边缘的最高点 B 处也向前水平飞出一小石块,两石块先后落到地面上 2 的同一点,g=10m/s ,求拖拉机的行驶速度的大小。 (14 苏大)

提示 两轮最高点的速度等于轮轴即拖拉机速度的 2 倍。 两轮最高点抛出的石块做平抛运动。 答案 5m/s 解答 根据题意得 ?t ?

2d B 2d A ,代入数据得 ?t ? 0.1s 。两轮抛出的石块能落到同 g g

一点, 后轮飞出的石块在水平方向上在前 0.2s 车行驶的距离 vt 和由于平抛运动的高度差而 多用的时间内的水平位移 2v ? t 之和等于两轮间距离,即 vt ? 2v?t ? L 。解得 v=5m/s。答 案 5m/s。 ④练习 15 (1)物体斜上抛运动,v 与 ? 为已知量,求水平位移 s。(2)假设一个人站在光 滑冰面上,以相对自己 v0 的速度斜向上抛出一个小球,且当小球下落至抛出高度时,水平 位移为 L. 人与球的质量分别为 M、m. 求 v0 的最小值及此时小球相对人抛出时速度与水平 方向夹角。(10 北大) 提示 根据相对运动公式,计算球对地面的速度,人抛球过程系统动量守恒。 答案 (1) v0 sin 2? g 。 (2)
2

( M ? m) gL

? ? ?/ 4 M ,

解答 (1)略(2)令人抛出球后的水平速度为 u,则人对地的速度 v
球对地

=v

球对人

+v

人对地

= v0 cos? - u 。 人 抛 球 过 程 中 水 平 方 向 动 量 守 恒 , 有

m( v0 cos? - u )-Mu=0 ,球离人后做斜上抛运动,由题意得 L= ( v0 cos? - u ) t ,

2v0 sin ? ? gt 。 解 得 L ? Mv0 sin 2? (M ? m) g , 当 ? ? ? 4 时 ,
2

v min ? ( M ? m) gL

M



④练习 16 一根长为 L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴 O 在竖直平面内转动。 杆 最初处在水平位置。杆上距 O 为 a 处放有一小物体(可视为质点) ,杆与其上小物体最初均 处于静止状态如图 1-16 所示。若此杆突然以匀角速ω 绕 O 轴转动,问当ω 取什么值时小物 体与杆可能相碰?

6

解答 取细杆开始转动时为计时起点。 (1)当 ? 较小时,设小球从 B 运动到 C 的时间为 t1,

1 2 a cos ? ? 。 细杆用时 t2, 则有 BC= gt1 , BC= L2 ? a 2 , 解得 t1 ? ? ? ?t 2 。 2 L

2 L2 ? a 2 , g

t2 ?

1

?

arccos

a 。 要 使 小 球 与 细 杆 能 碰 撞 , 必 须 满 足 t1 ? t2 , 即 L
1

??

g 2 a ( L ? a 2)4 a rc co s。 2 L

(2? ? ?) (2)当 ? 较大时,杆转动一周后再追上小球。设细杆转过 角所用的时间为
t3,则 2? ? ? ? ?t 3 ,得 t 3 ? 满足 t 3 ? t1 。解得 ? ?

2? ? ?

?

?
1

1

?

(2? ? arccos

a ) 。要使细杆能与小球碰撞,必须 L

? g 2 a ( L ? a 2 ) 4 (2? ? arccos ) 。求解周期性物理现象对应的物理 2 L

量,要注意到所有可能的解。 ④练习 17 ABC 三个芭蕾演员以相同的速率 v 同时从边长 l 的正三角形顶点出发,运动 中始终保持 A 朝着 B,B 朝着 C,C 朝着 A,试问经过多少时间三人相遇?每个演员跑了多少 路程? 提示 正三角形边长的减少量等于三人之间收缩的的距离。 证明此距离与时间小量 ?t 成 正比。 答案

2l 2 , l 3v 3

解答 解法一 ABC 三人任一时刻分别在正三角形的三个顶点, 边长不断缩小, 如图所示。 所求时间 t 进行 n 等分 ? t 。当 ln ? 0 时,三人相遇。由以上分析,并根据小量近似 得: l1 ? l - AA 1 ? BB 1 cos60 °=l- 3v?t 2 , l 2 ? l1 - 3v?t 2 ? l - 2. 3v?t 2 ,?

l n ? l - n. 3v?t 2 。以上各式中, ?t ? 0, n ? ? ,并有 n?t ? t , l n ? 0 。三人同时到达正
三 角 形 中 心 运 动 时 间 n?t ? t ? 2l 3v , 每 个 人 运 动 的 路 程 s=vt=2l/3 。

7

③练习 18 图示,M、N 是两个共轴圆筒横截面,外桶半径为 R,内筒半径比 R 小得 多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两桶之间抽成真空,两桶以相同的角速度 ? 绕 其中心线做匀速转动。设从桶部可以通过狭缝 s(与 M 筒的轴线平行)不断地向外射出 两种不同速率 v1 和 v2 的粒子,从 s 处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向,微 粒达到 N 筒后就附着在 N 筒上,如果 R、? 、v1 和 v2 都不变,而 ? 取某一合适的值,则 ( ) A 有可能使微粒在 N 筒上的位置都在 a 处一条与 s 缝平行的窄条上 B 有可能使微粒在 N 筒上的位置都在某处,与 b 处一条与 s 缝平行的窄条上 C 有可能使微粒在 N 筒上的位 置都在某两处,如 b 处和 c 处与 s 缝平行的窄条上 D 只要时间足够长,n 筒上到处都 落微粒。

提示 粒子的直线运动与圆筒的圆周运动同时进行的, 各自独立。 任何时刻射出的粒 子都是对准 a 点,圆筒上各点运动具有周期性, ? 值的不确定性,因此存在多种可能 性。 答案 ABC 解答 因为 M、N 的角速度 ? 相同,故在任意一段时间内,N 筒与缝在同一径向连线 上的 a 点必定与 s 缝一起转过相同大小的角度,粒子历时都是 R/v,于是这些在不同时 刻从 s 缝射出速率为 v 的粒子一定落在 N 筒上比 a 点落后相同角度, ?t ? ? R v 的位 置上,即落在一条与 s 缝平行的窄条上,不会各处散落,故排除 D。 题设未限制 ? 的大小,而圆周上各点转过的角度又具有周期性,只要 ? 满足

? R v1 ? 2?n,? R v2 ? 2?m (m、n 为任意正数) ,则两种粒子落在 N 筒上的位置都
8

在 a 处的一条与 s 缝平行的窄条上,A 正确。若满足 ? R v1 ? 2?n ? ? R v2 ,则都可 以达到 b 处,故 B 正确。若速度为 v1 和 v2 的粒子到达 N 筒的角度差不是 2? 的整数倍, 则它们不能到达同一条窄条上面分开,故 C 正确。答案 ABC。 ④练习 19 白色圆盘上有一黑点 S,盘绕垂直于盘面的中心轴以 f0=50Hz 的频率旋 转。若用频率 f 的频闪光去照射该盘 在盘上能稳定地出现图 2 的三个黑点,请算出两 种可能的 f 值,其一大于 f0 值,另一个小于 f0 值;又若 f 改为 51Hz,那么在盘上又观 察到什么现象?

图1 图2 图3 提示 视运动是生活中的常见现象,它是由圆周运动周期性和视觉暂留两个因素共 同作用的结果。写出本题的通解并理解其物理含义是关键。 答案 略 解答 图 3,观察到的三黑点位置记为 ABC。若 t=0 在 A 位置,则黑点在 B 的时刻

t B ? (k ? 1 3)T0 , t c ? (k ? 2 3)T0 , T0 ? 1 f 0 是圆盘旋转周期。有两种可能:
(1)频闪光第二次照亮时黑点在 B 位置,则闪光周期 T ? (k1 ? 1 3)T0 ,

f ? 3 f 0 (3k1 ? 1) ,在 t ? 2T ? (2k1 ? 2 3)T0 照亮时,黑点在 C 位置,t=3T 时,黑点
在 A 位置,圆盘上出现稳定的图 2 的三个黑点。 (2)频闪光第二次照亮时黑点在 C 位置,则闪光周期 t ? 2T ? (2k2 ? 2 3)T0 ,

f ? 3 f 0 (3k1 ? 2) .类似的分析可知,圆盘上出现稳定的图 2 的三个黑点。
大于 f0 的解为 3f0 与 3f0/2。小于 f0 的 f 的解有无数个。 若 f 稍大于 f0,T 稍小于 T0,黑点在 A 位置被照亮后经 T 时间转过 T/T0 周,相当于 逆时转频率 f 逆= T0 ? T T0T ? f - f 0 。黑点将以 f-f0 频率倒转。 ②练习 20 放映电影时,看到影片中的一辆马车从静止起动,逐渐加快。在某一时刻车 轮开始倒转。 已知电影放映机的速率是每秒 30 幅画面, 车轮的半径是 0.6 米, 有 12 根辐条。 车轮开始倒转时马车的瞬时速度是多少?(12 预赛)

(? 12, ? 6) 提示 相邻两辐条的夹角是 ? 6 ,转过的角度 ? ? 时,观测到倒转。
答案 1.5?m / s 解答

? ? ? 12时,马车开始倒转, v ?

?
t

r?

?
12

? 30 ? 0.6m / s ? 1.5?m / s 。

④练习 21 设置电影时,为了拍摄下落物体的特写镜头,做了一个线度为实物的 1/49 的模型。放电影时,走片速度为每秒 24 张,为了使画面逼真,拍摄时走片速度应为多大? 模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍?

9

答案 168 张/秒,1/7.

h? 解答 设实物在 t 内下降的高度为 h, 模型在 t0 内下降高度为 h0,

h t 1 gt 2 得 0 ? 02 , 2 h t

2

t0 ?

1 t。 可见放映时应将模型运动时间放大 7 倍, 才能使人们看电影时观赏到逼真的画面。 7

为此,在拍摄电影时,拍摄的走片速度应为放映时走片速度的 7 倍,这样使得对应于模型运 动时间 t0 而放映时间却为 7t0,故得拍摄时走片速度为 24 张/秒×7=168 张/秒。

?t 0 ?

1 1 ?t , ?s 0 ? ?s 。 故 得 模 型 速 度 v0 与 实 物 运 动 速 度 v 之 比 7 49

v0 ?s0 ?t 0 1 = 。即模型运动速度应为实物运动速度的 1/7。 ? v ?s ?t 7
例 9 一人骑自行车向东行驶,当车速为 4m/s 时,他感到风从正南方吹来,当车速 增加到 7m/s 时, 他感到风从东南方向 (东偏南 45°) 吹来, 则风对地的速度大小为( ) A 7m/s B 6m/s C 5m/s D 4m/s 指针 取地为静止参考系,人为运动参考系,风为物体。则 v 风对地=v 风对人+v 人对地, 两次风对地的速度不变。理解风对人速度,方向不能搞反。

图1 图2 解答 图 1 ,当车速为 4m/s 时,由相对运动速度关系得 v 风对地=v 风对人+v 人对地。当车速为 7m/s 时,由于风对地的速度不变,故在原矢量三角形图中将人对地的速度改为 7m/s, 此时风对人的速度方向为东南方向(东偏南 45°) 。据此作出图 2,图中 BC 表示原速 为 4m/s,BD 表示现速为 7m/s。由图 2 知 CD 表示 3m/s,AC 也表示 3m/s。 解得 BA 为 5m/s。即风对地的速度大小为 5m/s,方向为东偏北 37°。答案 C。 反思 本题在本质上与船渡河是同一类问题, 是运动的合成。 设想风相对于人不动, 但人骑车行驶, 所以风相对于地也有一分运动与人对地的速度 v 人对地相同; 设想人不动, 风相对于人还有一分速度 v 风对人, 两种分运动速度的合速度就是风对地的实际速度。 根 据速度合成的矢量法则即可作图 1、2,。注意风对地的速度不变。 ③练习 22 如图所示,P 是从港口 A 出发去拦截正以速度 v0 沿直线匀速航行的 B 船,P 船与 B 船所在航线的垂直距离为 a 。P 启航时,P 船与 B 船的距离为 b(b > a) ,P 船一启 航就匀速运动,求 P 船能拦截到 B 船的最小速率。

提示 B 船为运动参考系,P 对 B 的速度方向为 AB 方向,当 P 对地的速度与 AB 垂直时, P 的速度最小。 答案 v0a/b 解答 取地为静止参考系,B 船为运动参考系,p 为运动物体。则 vPB=vP-vB=vP+(-v0),如

10

图所示。要求 vP 最小,速度 vP 方向与速度 vPB 方向垂直。 vmin=v0sin ? ? v0a/b。

③练习 23 如图所示,几辆相同的汽车以相等的速度 v 沿宽为 c 的直公路行驶,每车宽 为 b,头尾间距为 a,则人能以最小的速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少?

提示 当人对地的速度方向与 v

人车

方向垂直,与车对地速度即 v 的夹角为 ? ,

cos? ? b
答案

a 2 ? b 2 时,人运动的最小速度为 vcos ? 。
c(a 2 ? b 2 ) abv
车地

解答 图示,人对地的最小速度方向 v

与水平方向夹角为 ? , cos? ?

b a2 ? b2



sin ? ?

a a2 ? b2

。运动时间 t=

c c c(a 2 ? b 2 ) 。当 vmin 时,人对 ? ? vmin sin ? v sin ? cos? abv

车的速度方向与人的速度方向垂直。 ⑤练习 24 图示,质点 p1 以速度 v1 由 A 向 B 匀速运动,同时点 p2 速度 v2 从 B 指向 C 做 匀速运动,AB=l,∠ABC= ? 锐角,确定何时刻 t,p1、p2 的间距 d 最短?

提示 作 A 相对于 B 的速度矢量图 v12,最短距离是过 B 点作 v12 矢量线的垂线 BD。 答案 t=

l (v1 ? v 2 cos? ) v1 ? v 2 ? 2v1 v 2 cos?
2 2

, d min ?

lv 2 sin ? v1 ? v 2 ? 2v1v 2 cos ?
2 2

解答 A 相对于 B 的速度 vAB=v1-v2,两速度矢量的起点位于 A 点,以 v2 矢量的末端 为起点,以 v1 矢量的末端为终端,作速度 v12,其与速度 v2 的夹角为 ? ,最短距离

d min ? AB sin ? 。在速度矢量三角形中,由正弦定理得 v2 sin ? ? v12 sin(? - ? ) ,
由余弦定理 v12 ?

v1 ? v 2 ? 2v1v 2 cos ? , d min ?
2 2

lv 2 sin ? v1 ? v 2 ? 2v1v 2 cos ?
2 2



11

时间 t ?

2 l (v1 ? v 2 cos? ) l cos ? l 1 - sin ? ? ,代入数据得 t= 2 。 2 v12 v12 v1 ? v 2 ? 2v1 v 2 cos?

④练习25如图所示,水平高台上有一小车,水平地面上有一拖车,两车之间用一根不可 伸长的绳跨过定滑轮相连。 拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动, 则在拖车行进的过程 中,小车的加速度 ( ) A 逐渐减小 B 逐渐增大 C 先减小后增大 D 先增大后减小(11华约样题)

提示 径向分运动为速度 v=vB sin?t 的变加速运动,横向分运动为 v ? ? v B cos?t 的圆周运动,横向运动既有向心加速度,也有切向加速度。 答案 A 解答 图示,径向运动速度 v=vB sin?t ,加速度 a ? 变小。答案 A。 ③练习 26 如图所示, 杆 OA 长为 R , 可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动, 其端点 A 系着一跨过定滑轮 B 、C 的不可伸长的轻绳,绳的另一端系一物块 M ,滑轮的半径可忽略, B 在 O 的正上方,OB 之间的距离为 H 。某一时刻,当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为 ? 时, 杆的角速度为 ? ,求此时物块 M 的速率 vM 。(18 预赛)

dv ? v B ? cos ?t ,加速度 a dt

提示 杆上 A 点速度沿绳方向分速度等于 v M 。 答案 ?Hsin? 解答 杆的端点 A 点绕 O 点作圆周运动,其速度 vA 的方向与杆 OA 垂直,在所考察时其 大小为 vA ? ? R 。 对速度 vA 作如图所示的正交分解, 沿绳 BA 的分量就是物块 M 是速率 vM , 则

vM ? vA cos ? 。由正弦定理知

sin ?OAB sin ? ? 。由图看出 ?OAB ? ? ? 。由以上各式得 ? H R 2

vM ? ? H sin ? 。13 年复旦考题中就有一道相同的题目。

12

④练习 27 在海面上有三艘轮船, 船 A 以速度 u 向正东方向航行, 船 B 以速度 2u 向 正北方向航行,船 C 以速度 2 2 u 向东偏北 450 方向航行.在某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过船 A 的航线并位于船 A 的前方,船 B 到船 A 的距离为 a,船 C 到船 A 的 距离为 2a.若以此时刻作为计算时间的零点,求在 t 时刻 B、C 两船间距离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点转动的角速度。(26 预赛)

图1 提示 在 M 参考系中,求出 A 的 xy 两个方向的分速度,A 对 M 的运动分解为沿 AM 方向 和垂直于 AM 方向的两个分速度。 答案 ? ?

12au 9a ? 16u 2t 2
2

解答 以 t =0 时刻船 A 所在的位置为坐标原点 O,作如图 1 所示平面直角坐标系 Oxy, vx=vy=2u,t 时刻,B、C 二船在 y 方向位移相等,两船连线 BC 与 x 轴平行,两船间距离

BC ? a ? 2ut 。C 的中点到 B 点的距离为 a/2+ut,中点 M 的坐标 xM=3a/2+ut, yM ? 2ut 。
M 点速度(u,2u) ,在 t = 0 时刻 BC 的中点坐标(3a/2,0) 。 在与 M 点固连的参考系 M x ?y ? 中,船 A 的速度只有沿负 y'方向的分量,有 uAM=uAM y'= —2u。在时刻 t,船 A 的坐标 x? A ? ?

3 a , y? A ? u AM t 。以把 A 船的速度分解为沿连线 MA 2

方向的分量 uAM1 和垂直于连线 MA 方向的分量 uAM2 两个分量,uAM1 使连线 MA 的长度增 大,uAM2 使连线 MA 的方向改变,图 2。若用 R 表示 t 时刻连线 MA 的长度,则连线 MA 绕 M 点转动的角速度 ? ?

u AM 2 ,若 MA 与 x'轴的夹角为θ ,则有 uAM 2 ? u AM cos? 。 R

cos ? ?

x? 12au 2 A ?2 , R ? x? 。 A ? y A ,得 ? ? 2 9a ? 16u 2t 2 R

②练习 28 距河岸 (看成直线) 500m 处有一艘静止的船, 船上的探照灯一转速为 n =1 r/min 转动。当光速与岸成 60 角时,光束沿岸移动的速率为
3 3 0





A 52.3m/s B 69.8m/s C 3.14 ? 10 m/s D 4.18? 10 m/s (09 同济)

13

提示 光束沿岸移动速度 v 的一个分速度是圆周运动,另一个分速度是沿半径方向的直 线运动。 答案 B 解答 令光束沿岸速度 v, 有 vcos30°= 2?nr ,其中 n=

1 r/s ,r= 500 / cos 30 °, 60

代入数据解得 v=69.8m/s。 ②练习 29 图示,半径为 R 的半圆凸轮以速度 v0 沿水平面向右运动,带动从动杆 AB 沿 竖直方向上升,O 为凸轮圆心,P 为顶点。求当 ?POA ? ? 时,AB 杆的速度。

提示 两物体接触处的法线方向的分速度相等。 答案 v0tan ? 解答 图示,杆上 A 点速度 vA,接触点速度 v0。则 v A cos ? ? v0 sin

?,v A ? v0 tan ?。

③练习 30 图示,杆 AB 搁置在半径为 R 的半圆柱上,A 端沿水平面以相等的速度 v 做直 线运动,杆与水平面夹角 ? 。图示瞬间。杆与半圆柱相切于 C 点,此时杆上 C 点的速度大小 是多少?圆柱上与杆相切的切点移动的速度又是多少?

答案 vc ? v cos?,vc ?

?

v sin 2 ? cos?

解答 图示,杆 AB 上的 C 点绕 A 点以半径 CA=R cot ? 转动,转动速度为 ?R cot ? , 所以 C 点速度是速度 v 与转动速度 ?R cot ? 的合成,方向由 C 指向 A 。通过计算得

vc ? v cos? ,而且 v sin ? ? ?R cot ? ,? ? v sin ? tan? R 。圆柱上与杆相切的切点 C ? 移
2 动的速度 vc ? ?R ? v sin ? cos? 。

?

④练习 31 一个半径为 R 的圆环 (环心为 O2) 立在水平面上, 另一个同样的圆环 (环 心为 O1)以速度 v 从前一环的旁边经过。试求当两环的环心相距 d( 2 R ? d ? 0 )时, 两环上部的交点 A 的运动速度。

14

提示 交点 A 速度沿 O2 切线方向运动,其位移的水平分量总是 O1 位移的一半。 答案 Rv

4R 2 - d 2

解答 解法一:经 ?t ,环 O1 平移到虚线位置,交点 A 移到 C 点,环的位移用 AD 表示。 AD ? v?t , AC ? v A ?t ,vA 为交点 A 的速度, ? 表示等腰 ?AO1O2 的底角。 AC 为 一 小 段 弦 , 有 ?CAD ?

?
2

- ?DAO 2 ?

?
2

? ? 。 在 等 腰 ?ADC 中 ,


AD ? 2 AC s i ? n 。代入得 v A ?

v ? 2 sin ?

Rv 4R 2 ? d 2

解法二:交点是在不动的圆环上由 A 到 C,故交点的速度一定沿不动圆环的切线 方向;另一方面,当交点由 A 移到 C 点,其在水平方向上的坐标总是与两圆环心连线 中点的坐标相同, 交点 A 的水平位移总是等于环心 O1 的水平位移的一半, 即 v Ax ? 解法一有 ?CAD ?

1 v, 2


?
2

? ? ,v Ax ? v A cos?CAD ,所以 v A ?

v ? 2 sin ?

Rv 4R 2 ? d 2

解法三:令 O1A 连线 R 与 O1O2 连线夹角为 ? ,sin ? ?

4R 2 - d 2 2R 。交点 A 的

对地速度 vA 沿过 A 点的切线 l2 方向;交点 A 相对于切线 l1 的速度方向在 l1 直线上,l1 对地速度为 v 。有速度矢量三角形的数学知识得 2v A cos ( vA= Rv

?
2

? ? ) ? v 。代入数据得

4R 2 - d 2 。

④练习 32 图示,在同一平面上的 AC、BD 两杆,以角速度 ? 分别绕相距 L 的 A、 B 两轴逆时针转动,若 ?CAB ? ?DBA ? 60 ,求此时两杆交点 M 的速度和加速度。
0

答案 v ? 2 3?L 3 , a ? 4 3? 2 L 3 。 解答 在 ?t 时间内 BD 杆及 AC 杆逆时针转过角度 ?? ? ??t ,交点 M ? 在 ABM 的外接圆 上,半径是 L

3 , M M ? 弧 是 2?? L

3 ,速度 v ?

2??L 1 2 3 ? ?L 。 加 速 度 ?t 3 3
15

v2 4 3 2 a? ? ? L。 R 3
⑤练习 33 图示,AB 杆以恒定角速度绕 A 点转动,并带动套在水平杆 OC 上的小球 M 运动。运动开设时,AB 杆在竖直位置,则小环 M 的加速度将( ) A。逐渐增大。B。先减小后增大。C。先增大后减小。D。逐渐减小。 (11 华约)

答案 A 解答 令∠OAB= ?t ,则 AB=h/ cos?t ,环的速度由 M 指向 C,M 相对于 AB 杆速度为 M 指向 B,杆上的 M 绕 A 点做圆周运动。所以 v M ? 等于速度对时间的变化率,所以 a M ?

?AB ?h ? 。M 点的加速度 aM cos ?t cos 2 ?t

2? 2 h sin ?t 。?t 变大,角速度 ? 不变,加速度变 cos3 ?t

大。 ③练习 34 将质量为 1kg 的小球拉在倾角为 ? ? 30 °的光滑斜面上,如图。当斜面以 加速度 a ? 20m / s 向左做匀加速运动时,球绳的张力的大小。g=10m/s 。
2
2

提示 当加速度 a0 时,球与斜面刚好接触。当 a﹥a0 时,球离开斜面;当 a﹤a0 时,球与 斜面间有弹力。 答案 22.4N 解答 当球与斜面有弹力时,m 的受力如图,这三个力合力水平向左。所以有

Tcos30? ? N sin 30? ? ma , T sin 30? ? N cos30? ? mg ? 0 ,T 增大时,N 减小;当 N=0
时,小球加速度 a0,将 N=0 时代入上式, a 0 ? g cos30? ? 17.3m / s 2 ﹤20m/s 。
2

小球离开斜面,受到重力和拉力,如图。 T ?

( mg ) 2 ? ( ma ) 2 ? 22 .4 N 。

③练习 35 两个底面积相同, 密度分别为 ρ 1 和 ρ 2, 高分别为 H1 和 H2 的长方体连在一起, 1 在下 2 在上至于密度为 ρ 0 的水中,水面正好与两长方体交界处平齐。将长方体倒置,水 面仍与交界处平齐,问此时长方体会向哪个方向运动?加速度是多少?(只能用 H1,H2 和 g 表示)(09 北大)

16

图1 图2 提示 物体在重力与浮力的共同作用下处于平衡状态或者处于加速状态。两图不同之处 是浮力的表达式 F ? ?Vg ,V 是排开液体的体积。 解答 图 1,长方体平衡时满足

? 0 gH1S ? ?1 gH1S ? ? 2 gH2 S 。S 为长方体的底面,

图 2, 令加速度 a 向下, 由牛顿第二定律得 ?1 gH1 S ? ? 2 gH2 S ? ? 0 gH2 S ? ( ?1h ? ? 2 H )Sa 解得 a ? (H1 - H 2 )g H1 若 H1>H2,加速度向下;H1<H2,加速度向上;H1=H2,木块静止加速度 a=0。 答案 a ? (H1 - H 2 )g H1 ②练习 36 图示,容器中盛满水,水中放入铁球 P 和木球 Q,它们用细线分别系于容器的顶 部与底部,当容器静止时,细线均伸直处于竖直方向.现使容器以一定的加速度 a 向右作匀加 速直线运动,则此时 P、Q 两球相对于容器的移动方向是 ( ). A P 球向左偏移 B 两球均向左偏移 C Q 球向右偏移 D 两球均向右偏移

提示 等效替代法求水对球的作用力 答案 A、C 解答 令球排开水的体积为 V,在加速系统 a 中,V 球的周边液体对其水平作用力为 F, 则 F= ? Va。若 V 铁球及 V 木球都换成等体积的水球,则 F 不变。由于铁球的密度大于水, 而木球的密度小于水,所以 P 球加速度小于 a,Q 球加速大于 a。即 P 球向左运动,Q 球向右 运动。答案 AC。 ④练习 37 质量不计的弹簧把质量为 3m 的木板 A 与质量为 m 的 B 连接成图示装置,B 板置于水平地面上,现用一个竖直向下的力 F 下压木板 A,撤销 F 后,B 板恰好被提离地面。 由此可知力 F 的大小 ( ) A 7mg B 4mg C 3mg D 2mg

提示 撤去外力 F 瞬间,A 板位置 1 不变,速度为零,加速度向上。A 板在竖直方向作简 谐运动,当 A 到达最高点位置 2 时,B 刚好离开地面,位置 1、2 是简谐运动的两个振幅处。

17

答案 B 解答 力 F 作用的图示位置,弹簧的弹力为 F1,F+3mg=F1;撤去外力 F 时,弹簧形变量 不变,F1-3mg=3ma。根据 A 作简谐运动的对称性得到:A 板在最高点位置 2,弹簧拉力大小 为 F2, 方向竖直向下; 加速度大小为 a, 方向向下, F2 +3mg=3ma, 此时 B 板刚离开地面, ,F2-mg=0。 解得 F1=7mg,F=4mg。答案 B。 ③练习 38 如图,竖直固定光滑杆上套有一个小球和两根弹簧,两根弹簧的一端各与小 球相连,另一端分别用销钉 M、N 固定于杆上,小球处于静止状态。设突然拔去销钉 M 瞬间, 2 小球加速度的大小为 12m/s ;若不拔去销钉 M 而拔去销钉 N 瞬间,小球的加速度可能是 2 (g=10m/s ) 2 2 2 2 A 22m/s ,竖直向上 B 22m/s ,竖直向下 C 2m/s ,竖直向上 D 2m/s ,竖直向下(10 高考)

提示 力的独立作用原理:物体的加速度等于各个力单独作用产生加速度的矢量和。 答案 BC 2 解答 拔去销钉 M 瞬间,加速度 12m/s ,有两种可能:(1)加速度方向向下。M 弹簧伸长, 2 2 2 产生加速度为 12m/s ,方向向上。拔去 N 保留 M 销钉,小球加速度 a=12-10(m/s )=2m/s , 2 方向向上。(2) 加速度方向向上。M 弹簧压缩,产生加速度为 12m/s ,方向向下。拔去 N 保 2 2 留 M 销钉,小球加速度 a=12+10(m/s )=22m/s ,方向向下。答案 BC。 ②练习 39 把托在手掌中的物体沿竖直方向向上抛出,在物体脱离手掌的瞬间,手掌的 运动方向应是怎样?手掌的加速度的方向应是 怎样?大小应是怎样?(3 预赛) 提示 绝对运动=相对运动+牵连运动 答案 向上、向下、大于 g。 解答 分别用 v0、v、v? 表示手掌的速度、物体相对于地面速度和物体相对于手掌的速 度, 分别以 a0、a、a? 表示手掌的加速度、 物体相对于地面的加速度和物体相对于手掌的加 速度。于是 v ? v0 ? v? , a ? a0 ? a? 。各量取正时表示方向向上,取负时表示方向向下。 物体向上抛出并脱离手掌的瞬间有:v ? 0、v? ? 0、a ? - g、a ? ? 0 。 将这些数据代入前式 得,v0﹥0,a0﹤-g,说明手掌的速度应向上,但是加速度应向下,其绝对值大于 g。答案 向 上、向下、大于 g。 ④练习 40 如图所示,一质量为 M 、长为 L 带薄挡板 P 的木板,静止在水平的地面上, 设木板与地面间的静摩擦因数与滑动摩擦因数相 等,皆为 ? .质量为 m 的人从木板的一端由静止开 始相对于地面匀加速地向前走向另一端,到达另一

18

端时便骤然抓住挡板 P 而停在木板上. 已知人与木板间的静摩擦因数足够大, 人在木板上不 滑动.问:在什么条件下,最后可使木板向前方移动的距离达到最大?其值等于多少?(18 预赛) 提示 人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力.木板向前移动的距 离最大 解答 以 t 表示人开始运动到刚抵达另一端尚 未停下的时间, x1 表示木板向后移动的距离,如 图。以 f 表示人与木板间的静摩擦力,以 F 表示 地面作用于木板的摩擦力,以 a1 和 a2 分别表示人 和 木 板 的 加 速 度 , 则 f ? ma1 , L ? x1 ? a1t 2 , f ? F ? Ma2 , x1 ? a2t 2 。 解 得

1 2

1 2

t?

2 LMm 。人板碰撞时间极短,碰撞后两者速度均为v, Ft ? ( M ? m)v 。之后两 Mf ? m( f ? F )

者一起向前移动的距离为 x2 ,地面的滑动摩擦因数为 ? ,有 (M ? m)v2 ? ? (M ? m) gx2 。 木板向前移动的净距离为

1 2

? ? ? 1 ? F ? ? LMm Lm X ? x2 ? x1 , X ? ? ? ( f ? F)? ? 。欲 ? ? ? ? g ? M ? m ? ? (M ? m)( f ? F ) ? MF ? ? Mf ? m( f ? F ) ?
使木板向前移动的距离 X 为最大,应有 f ? Fmax ? ? (M ? m) g 。即木板向前移动的距离为 最大的条件是: 人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力. 移动的最大距 离 X max ?

2

m L。 M ?m

再讨论木板不动即 f ? F 的情况,那时,因为 f ? F ,所以人积累的动能和碰后的总动 能都将变小,从而前进的距离 x 也变小,即小于上述的 X max 。 反思 人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力, X max ?

m L M ?m

19

⑤练习 41 两滑块 A1 和 A2 叠放在水平的桌面上,如图 3-7 所示。已知 A1 的质量为 m1 ,

A2 的质量为 m2 , A2 与桌面间的静摩擦因数为 ? 2 ,设用 ?1 表示 A1 与 A2 的静摩擦因素,F
表示作用于滑块 A1 上的水平拉力,则当 ?1 和 F 取各种不同值时, A1 和 A2 可能发生的运动 情况有下列四种: a) A2 相对于桌面滑动,但 A1 与 A2 相对静止; b) A2 相对于桌面滑动,但 A1 与 A2 间存在相对运动; c) A2 相对于桌面静止,但 A1 相对桌面滑动; d)相对于桌面, A1 与 A2 都静止。 1、分别写出上述每种运动情况中 ?1 和 F 所满足的条件(不要求写出运算过程) ; a) b) c) d) ; ; ; 。

2、以横坐标表示 ?1 ,纵坐标表示 F ,试在 F ? ?1 图(图 3-8)上标出每种情况相应的

?1 和 F 的取值范围。(3 届预赛)

20

答案 a)

?1 ﹥

m1 ? m 2 m ? 2 ; ? 2 (m1 ? m2 ) g ﹤ F ? 1 (?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g 。 m1 m2

b)

?1 ﹥

m1 ? m 2 m m ? m2 ? 2 ;F﹥ 1 ( ?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g 。c) ?1 ? 1 ? 2 ;F﹥ ?1m1 g 。 m1 m2 m1

d) F ? ?1m1 g ; F ? ? 2 (m1 ? m2 ) g 。 解答 设 A1、A2 间的摩擦力 f1,A2 与地面间的摩擦力 f2,则 F-f1=m1a1,f1-f2=m2a2。 a)已知 a1=a2,f1 ?

?1m1 g , f 2 ? ? 2 (m1 ? m2 ) g ,可知 f2﹤f1, ?1 ﹥

m1 ? m 2 ? 2 ;由 m1

于 F ﹥ f2 , F ﹥ ? 2 (m1 ? m2 ) g ; 而 f1=F-m1a1 ? ?1mg , a=

F ? ? 2 (m1 ? m2 ) g ,解得 m1 ? m2

F?

m1 m ? m2 ( ?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g 。所以运动情况 a)所满足的条件是 ?1 ﹥ 1 ?2 ; m2 m1 m1 ( ?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g m2 m1 ? m 2 F - f1 ?2 ; m1 m1

? 2 (m1 ? m2 ) g ﹤ F ?

b)已知 a1﹥a2﹥0,f1= ?1 m1 g ﹥ f 2 ? ? 2 (m1 ? m2 ) g 。 解得 ?1 ﹥



f1 - f 2 m ,解得 F ﹥ 1 ( ?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g 。所以运动情况 b) 所满足的条件是 ?1 ﹥ m2 m2

m1 ? m 2 m ? 2 ;F﹥ 1 ( ?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g 。 m1 m2
c)已知 a1﹥0, a2=0, f1= ?1 m1 g , f 2 ? ? 2 (m1 ? m2 ) g 。 f1=f2, 可知 ?1 ?

m1 ? m 2 ?2 , m1

F﹥ ?1 m1 g 。所以运动情况 b)所满足的条件是 ?1 ?

m1 ? m 2 ? 2 ;F﹥ ?1m1 g 。 m1

d)已知 a1=a2, f1 ? ?1m1 g , f 2 ? ? 2 (m1 ? m2 ) g 。由 F=f1 得 F ? ?1m1 g ,而 F=f2, 所 以 有 F ? ? 2 (m1 ? m2 ) g 。 所 以 运 动 情 况 d) 所 满 足 的 条 件 是 F ? ?1m1 g ;

F ? ? 2 (m1 ? m2 ) g 。
先 画 出 F ? ?1m1 g , F=

m1 ( ?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g , F ? ? 2 (m1 ? m2 ) g , m2
21

?1 =

m1 ? m 2 ? 2 这四条直线,及可根据与上述四种运动情况相应的条件,找出相应的 ?1 和 m1

F 的取值范围。

③练习 42 如 图,在光滑水平面上有一质量为 m1 的足够长的木板,其上叠放一质量为 m2 的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相 等。给木块施加力 F=kt(k 是常数) ,木板和木块加速度的大 小分别为 a1 和 a2,反映 a1 和 a2 变化的图线正确的是( ) (11 高考)
a a
2

m2

F m1

a a
1

a a a
2

a
1

a a a t O
2 1

O

t

O

1

t

a O
2

t

提示 用牛顿第二定律找到加速度 a-t 表达式。 答案 A 解答 开始运动时 F 较小, 两物体之间为静摩擦力,不会相对滑动, kt=(m1+m2)a, 解得 a= k t,在 a—t 图象中是一条直线,设 m1 与 m 2 之间的动摩擦因数为μ , m1 的 m1+m2

最大加速度 a= ? m2g/m1;当 F 增大到使 m2 的加速度 a2> ? g 时,两物体开始分离,此时两物 μ m2g 体之间为滑动摩擦力,μ m2g= m1 a1,解得 a1= 为定值,在 a —t 图象中是一条平行于 m1 水平 t 轴的直线,m2 有,kt-μ m2g= m2 a2,解得 a2= k k k t-μ g,由于 > ,即分 m2 m2 m1+m2

离后在 a—t 图象中 a2 的斜率更大,故 B、C、D 错,答案 A。 ③练习 43 图示,倾角为α 的等腰三角形斜面固定在水平面上,一 足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧, 绸带与斜面间无 摩擦。现将质量分别为 M、m(M>m)的小物块同时轻放在斜面两 侧的绸带 上。两物块与绸带间的动摩擦因数相等,且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。在α 角取 不同值的情况下,下列说法正确的有 A 两物块所受摩擦力的大小总是相等 B 两物块不可能同时相对绸带静止 C M 不可能相对绸 带发生滑动 D m 不可能相对斜面向上滑动。(1 1 江苏) 提示 轻质丝带所受两摩擦力大小相等。 答案 AC 解答 要明确两物块与丝绸相对静止的条件,然后讨论在不同条件下出现的各种可能情
22

况。当物块与丝绸之间的动摩擦因数 ? ? tan ? 时,M、m 恰好相对于绸带静止 ,M 相对于斜 面向下运动,m 相对于斜面向上运动,由于斜面光滑且不计绸带质量,此时绸带等效为一根 轻绳;当 ? ? tan ? 时情况相同;当 ? ? tan ? 时,m 会相对于斜面向下滑动,M 相对于绸带 静止,沿斜面向下滑动,无论何种情况绸带绸带对两物体的摩擦力大小均相等。答案 AC。 ③练习 44 图示, 两个木块 A 和 B, 质量分别为 mA 和 mB, 紧挨着并排放在水平桌面上, A、 B 间的接触面垂直于图中纸面且与水平成θ 角。 AB 间光滑接触, 它们与水平桌面间有摩擦的 摩擦因数均为μ 。开始时 A、B 都静止,施水平推力 F 于 A,要使 A、B 向右加速运动且 AB 间不发生相对滑动,则(1)μ 满足的条件(2)F 的最大值。(13 复旦)

F

B A θ

提示 B 对 A 的弹力的竖直向上分力 ? A 的重力。 答案 (1) ?

m A tan? m (2) A (m A ? mB ) g (tan ? - ?) m A ? mB mB

解答 令 N 表示 A、B 之间的相互作用力,若 A 相对于 B 发生滑动,则 A 在竖直方向必有 加速度, 现要使 A 相对于 B 不发生滑动, 则 A 受的力 N 在竖直方向的分力必须小于或者等于 A 的重力,所以要使 B 向右加速运动而同时 A 相对于 B 不滑动,必需同时满足下列两式:

N sin ? - ? (mg ? N cos? ) ? mB a ? 0 , N cos? ? mA g 。
解得 ? ?

m A t an? ,这是第一问的解。整体法得 F - ? (mA ? mB )g ? (mA ? m B )a ,解方 m A ? mB
mA (m A ? mB ) g (tan ? - ?) 。 mB

程组得 F ?

④练习 45 三物体 ABC 的质量分别是 m1、m2、m3,按图示放置在光滑水平面上,斜劈的 倾角为 ? ,B 上表面水平,现加一个水平向右的力 F 在斜劈上。 (1)若上物体间无相对滑动,求 AB 间与 BC 间的摩擦力。(2)如果 AB 间和 BC 间动摩 擦因素相等,则若 F 逐渐增大,问是 AB 间还是 BC 间先滑动? 提示 加速度正交分解 答案 (1) f AB ? (m2 ? m3 ) g sin ? ?

(m2 ? m3 ) F cos? (2)BA 间先滑动。 (m1 ? m2 ? m3 )

解答 (1)对整体, F ? (m1 ? m2 ? m3 )a ,分析 C 水平方向 f BC ? m3 a ,对 BC 整体, fAB-(m1+m2)gsin ? =(m1+m2)acos ? 。解得 f AB ? (m2 ? m3 ) g sin ? ?

(m2 ? m3 ) F cos? (m1 ? m2 ? m3 )

(2)假想 BC 间先滑动,临界加速度 a 1 ?

?m3 g
m3

? ?g 。另设 BC 一起相对于 A 滑动,

23

M=m1+m2 , 则 临 界 水 平 加 速 度 为 a2 , 如 图 。 Mgcos? - N 2 ? Ma 2 sin? ,

?N 2 ? Mg sin ? ? Ma2 cos? 。解得 a 2 ?

( ? cos? ? sin ? ) g ﹤ ? g 。表明 BA 间先滑动。 ? sin ? ? cos?

③练习 46 一条轻绳跨过一轻滑轮,滑轮和绳的摩擦可忽略。在绳的一端挂一质量为 m1 的物体,在另一侧有一质量为 m2 的环(如图) ,求当环相对于绳以恒定的加速度 a2 沿绳向 下滑动时,物体和环相对地面的加速度各是多少?环与绳间的摩擦力多大?(08 同济)

提示 绝对加速度=相对加速度+牵连加速度 答案 a1=

(m1 - m 2 )g ? m 2 a 2 (m2 - m1 )g ? m1a 2 m m (2g - a 2 ) ,a ? ,f ? 1 2 。 m1 ? m 2 m1 ? m 2 m1 ? m 2

解答 令 m1 相对于地面向上的加速度 a1,则 f-m1g=m1a1。取右边绳为非惯性系,m2 受到惯 性力向上,大小为 m2a1,由牛顿第二定律得 m2g-m2a1-f=m2a2,环对地的加速度 a=a1+a2。 解得 a1=

(m1 - m 2 )g ? m 2 a 2 (m2 - m1 )g ? m1a 2 m m (2g - a 2 ) ,a ? ,f ? 1 2 。 m1 ? m 2 m1 ? m 2 m1 ? m 2

③练习 47 图示,两个质量都是 M 的相同的光滑立方体摆在水平面上,在它们之间放上 一个质量为 m,顶角为 2? 的重劈。求立方体的加速度。 (13 苏大)

提示 两物体接触处的法线方向位移、速度、加速度相等。 答案 a ? mg tan? m ? 2M tan? 解答 画出重劈下降后立方体的位置图,立方体的位移 s 与重劈向下的位移 h 之间有如 下关系, s ? tan ?h , a ? tan?a1 ,a1 为重劈下降的加速度,a 为立方体向左的加速度。由

牛顿第二定律得 N cos ? ? Ma , 解得 a ? mg tan? m ? 2M tan? 。 mg - 2 N sin ? ? ma1 ,

第一节 力与直线运动

训练

①48 图示,甲、乙两滑块由斜面的顶端自由释放,滑至地面所需的时间为 t1 和 t2,则 与时间之比 t1:t2 有关的因素是( ) 例 17

A 斜面的长度 B 滑块的质量 C 斜面的高度 D 上述三个因素都有(09 东南)

24





提示 高度一定 答案 A 解答 令高度 h,斜面倾角 ? ,斜面长 l,加速度 a=gsin ? ,t= 2l a ? l 2 gh ,所以 时间之比等于斜面长 l 之比。答案 A。 ①49 一质量为 m 的物块恰好静止在倾角为 ? 的斜面上。现对物块施加一个竖直向下的恒 力 F,图示。则物块 ( )

A 仍处于静止状态 B 沿斜面加速下滑 C 受到的摩擦力不变 D 受 到的合外力增大 (11 安徽) 例 17

提示“恰好静止”物体所受静摩擦等于滑动摩擦,求出摩擦因数。 答案 A 解答 没有力 F 时, “物体恰好静止”受 最大静摩擦 力可认为等 于滑动摩擦力

mgsin ? ? ?mgcos? , ? ? tan? ;当施加恒力 F 后, 使物体下滑的力为:

F2 ? mg sin? ? F sin? ,物体所受最大静摩擦力为 ? ? ? (mg cos? ? F cos? ) ? mg sin ? ? F sin ? ,即 F ? fmax 2 ? f max ,两者相等物体仍处于静 ? >fmax ,故 C 错误;物体始终静止,则受到的合力始终为 止状态。A 正确,B 错误;由于 f max
零,D 错误。 ②50 如图, 轻弹簧上端与质量 m 木块 1 相连, 下端与质量 M 木 块 2 相连,整个系统置于水平放置的光滑木板上,处于静止状态。将木板沿 水平方向突然抽出, ,木块 1、2 的加速度大小分别为 a1 、 a2 。则有 ( )

A a1 ? 0 a2 ? g B a1 ? g a2 ? g C a1 ? 0 a2 ? (10 高考)例 15

m?M m?M g D a1 ? g a2 ? g M M

25

提示 弹簧弹力不能发送突变,加速度发送突变。 答案 C 解答 在抽出木板的瞬时,弹簧对 1 的支持力和对 2 的压力并未改变。1 物体受重力和 支持力,mg=F,a1=0,2 物体受重力和压力,根据牛顿第二定律 a2=

F+Mg m+M = g。答案 C。 M M

②51 一质量可以忽略的滑轮挂咋弹簧秤下,质量 m1 ? 5kg 和 m2 ? 1kg 的两重物分别栓 在跨过滑轮的细绳两端,并由于重力作用而加速运动。重物在运动过程中,弹簧秤的读数为 ( ) A 小于 6kg B 等于 6kg C 大于 6kg D 指针在 6kg 刻度上下摆动 (10 复旦) 例 17 提示 整体重心下降,失重状态。 答案 A 解答 两物合重力 6kg 力,由于其质心在加速下降,系统处于失重状态,所以读数小于 6kg。 ②52 一根轻绳跨过一轻定滑轮, 质量为 m 的人抓着绳的一端, 另一端系了一质量为 m/2 的物体。若人相对于绳匀速上爬时,物体上升的加速度为( ) A 3g/2 B g/3 C g/2 D g (11 复旦)例 17 提示 绳子拉力 mg. 答案 D 解答 物体 m/2,mg-mg/2=(m/2)a,解得 a=g。 ②53 图示,两块固连在一起的物块 a 和 b,质量分别为 ma 和 mb,放在水平的光滑桌面 上。现同时施给它们方向如图所示的推力 Fa 和拉力 Fb,已知 Fa>Fb,则 a 对 b 的作用力 ( )

A 必为推力 B 必为拉力 C 可能为推力,也可能为拉力 D 可能为零 (25 预赛)例 16 提示 ab 整体法求加速度,隔离 a 求 ab 间弹力。 答案 CD 解 答 水平向左为正, Fa - Fb ? (ma ? mb )a ,令 a 对 b 的作 用力 N 向左 。

N ? Fb ? mb a ,解得 N ?
答案 CD。

Fa mb - Fb mb - 2 Fb mb ,所以 N 可能大于 0、小于 0、等于 0。 ma ? mb

②54 一质量为 m 的质点以速度 v0 匀速运动,t = 0 时刻开始受到恒力 F 作用,速度大小 先减小后增大,其最小值为 v1 = v0 /2。质点从开始受到恒力到速度最小的过程中位移的大小 为
2 3m v0 A 8F


2 6m v0 B 8F 2 3m v0 C 4F 2 21m v0 D 8F



(11 卓越)例 13

26

提示 由于 v0 与 F 的之间的夹角不知道,所以质点可能作匀减速直线运动或匀减速曲线 运动。 答案 AD 解答 F 做功 W=Fxcos ? 。 动能定理得 Fxcos ? =
2

1 1 2 2 2 mv1 - mv 0 , 解得 xcos ? =-3mv0 /8F。 2 2
2

当做直线运动时,x 大小为 3mv0 /8F;当做曲线运动时,x 大于 3mv0 /8F 是可能的。答案 AD。 ③55 质量为 M 的拖拉机拉着耙来耙地,由静止开始做匀加速直线运动,在时间 t 内前 进的距离为 s。耙地时,拖拉机受到的牵引力恒为 F,受到地面的阻力为自重的 k 倍,耙所 受阻力恒定,连接杆质量不计且与水平面的夹角 θ 保持不变。求(1)拖拉机的加速 度 大小 (2)拖拉机对连接杆的拉力大小(3)时间 t 内拖拉机对耙做的功。 (10 四川) 提示 加速度是解决动力学题目的桥梁。 答案 ⑴ a ? 例 13

2s ⑵ t2

1 cos?

2s ? 2s ? ? ? F ? M (kg ? 2 )? ⑶ ? F ? M (kg ? 2 )? s ? t ? t ? ? ?
1 2 2s at , a ? 2 。⑵对拖拉机受到牵引力、 2 t

解答 ⑴拖拉机在时间 t 内匀加 速前进 s ?

支持力、重力、地面阻力和连杆拉力 T, Ma ? F ? kMg ? T cos? 解得 T ?

1 cos?

1 ? 2s ? 2s ? ? F ? M (kg ? 2 )? ? F ? M (kg ? t 2 )? 连杆对耙的反作用 T ? ? T ? cos? ? t ? ? ? ? ? 2s ?

(3)拖拉机对耙做功为 WT ? Ts cos? ? ? F ? M (kg ? 2 )? s 。 t ? ?

③56 一只质量为 m 的小猫,跳起来抓住悬挂在天花板上质量为的竖直木杆。当小猫抓 住木杆的瞬间,悬挂木杆的绳断了。设木杆足够长,由于小猫不断得往上爬,保持猫与地面 的高度不变,求木杆下落的加速度是多少? 例 17 提示 取管猫整体为研究对象,列质点组第二定律。 答案 (M+m)g/M 解答 取地面为参考系, 小猫的加速度为 0, 整体受力为: 重力 (m+M) g, 有 (m+M) g=Ma, 解得 a=(M+m)g/M。 ③57 如图所示为车站使用的水平传送带装置的示意图.绷紧的传送带始终保持 3.Om/s 的恒定速率运行,传送带的水平部分 AB 距水平地面的高度为 h=0.45m.现有一行李包(可视为质点)由 A 端被传送到 B 端, 且传送 到月端时没有被及时取下, 行李包从 B 端水平抛出, 不计空气阻力。 (1)若行李包从 B 端水平抛出的初速 v=3.Om/s,求它在空中运动 的时间和飞出的水平距离 (2)若行李包以 v。=1.Om/s 的初速从

27

A 端向右滑行, 包与传送带间的动摩擦因数μ =0.20, 要使它从 B 端飞出的水平距离等于(1) 中所求的水平距离,求传送带的长度 L 应满足的条件。(05 江苏) 例 13 提示 行李在传送带上先匀加速运动,后可能匀速运动。 答案 (1)0.9m (2) ? 2m 2 解答 (1)设行李包在空中运动时间为 t,飞出的水平距离为 s,则 h=gt /2,s=vt。 代入数据得 t=0.3s ,s=0.9m 。 (2)设行李包的质量为 m,与传送带相对运动时的加速度为 a,则滑动摩擦力

F ? ? mg ? ma ,代入数据得 a=2.0m/s2 。要使行李包从 B 端飞出的水平距离等于(1)

中所求水平距离,行李包从 B 端飞出的水平抛出的初速度 v=3.0m/s。设行李被加速到时通
0 0 ,代入数据得 s0=2.0m 。 过的距离为 s0,则 ③练习 58 图示,两绳系一质量为=0.1kg 的小球,两绳的另两端分别固定在轴上的 A、B 两处,上面绳长 l=2m,两绳都拉直时与轴夹角分别为 30°及 45°。问球的角速度在什么范 围内,两绳始终张紧?当角速度为 3rad/s 时上、下两绳的拉力分别是多少?

2as ? v2-v2

提示 TB=0,A 圆锥摆角速度 ?1 较小;TA=0,B 圆锥摆角速度 ? 2 较大。 答案 2.40 rad /s ? ? ? 3.16 rad /s ,T1=0.27N,T2=1.09N 解 答 两 种 临 界 状态 。 一是 : 绳 BC 刚 好 拉 直 不受 力 T2=0 。 AC 圆 锥 摆的 角 速 度

?1 m g tan30 ° ? m?12 l sin 30°,解得 ?1 ? 2.40rad/s 。当 AC 仍拉直,但 T1 为 0,设此
C 中,l sin 135 ? l ? sin 30 。 时的角速度为 ? 2 ,有 mg tan45? ? m?2 l ? sin 45? ,在 ?AB
2
? ?

解得

40 rad /s ? ? ? 3.16 rad /s 。 a d /s 要使两绳始终张紧, 必须满足 2。 当 ? ? 3r ?2 ? 3.16rad/s 。
时, T1、 T2 同时存在, T1 sin 30? ? T2 sin 45? ? m? 2 l sin 30? , T1 cos30? ? T2 cos45? ? mg 代入数据,解得 T1=0.27N,T2=1.09N。

②练习 59 图示,在一个光滑的玻璃漏斗中,两个质量相等的小球 A 与 B 紧贴着内壁分 别在不同水平面内做匀速圆周运动,如图所示。则下列说法正确的是 ( ) A A 球的线速度一定大于 B 球的线速度 B A 球的角速度一定大于 B 球的角速度 C A 球的运 动周期一定大于 B 球的运动周期 D A 球对内壁的压力一定大于 B 球对内壁的压力。

28

指针 对小球受力分析知,它在水平面内做匀速圆周运动,是个圆周摆模型。解法中坐 标系的 x 轴与小球一起旋转,y 轴方向不变。 答案 AC 解答 根据小球所受的合外力等于向心力,某小球受力分析如图 2 示,水平指向圆心为 x 轴正方向,竖直向上为 y 正方向。由牛顿第二定律得

N cos? ? m? 2 r , N sin ? - m g ? 0
解得 ? ?

g ,v ? r tan?

mg gr r tan? , T ? 2? ,N ? 。答案 AC。 sin ? tan? g

反思 有同学把圆锥顶点作为圆运动的圆心画出的受力如图 2 ,得到向心力表达式

F ? m g cos? ,据此作出的选项虽然正确,但依据是错误的。

图1 图2 ④练习 60 图示,细线上栓上一小球,从水平位置 A 点无初速释放,在小球从水平位置 A 运动到竖直位置 B 的过程中,其竖直分速度先变大后变小,求竖直分速度最大的点 C 的位 置。

答案 arccos 3 3 解答 令小球在 C 处速度为 v,A 到 C 过程中,机械能守恒, mgLcos? ? mv 2 ,在 C
2

点 F - mgcos? ? m v

2

L ,小球在 C 点竖直分速度最大,即竖直方向加速度分量为 0.有

F cos? - mg ? 0 。解得 cos? ? 3 3 。
③练习 61 一水平放置的木板上放有砝码,砝码与木板间的静摩擦因数为 ? ,木板在竖 直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动,如图所示。令木板运动过程中始终保持水平。问:匀 速圆周运动的速度为多大时,砝码才能始终保持在木板上不滑动?

提示 在任意位置 f ? ?N

29

答案 v max ?

?m g
1? ? 2

解答 图示位置与水平方向夹角 ? ,自然坐标系 x 正方向指向圆心,y 方向为切向。由 牛顿第二定律得 f cos? ? m g sin ? ? m

v2 , f sin ? ? N cos? - mg cos? ? 0 。 R

解得

f ?

m v2 cos? m v2 sin ? , N ? mg。 不 滑 动 的 充 要 条 件 是 f ? ?N , 得 R R

v?

?gR ,故 v max ? cos ? ? ?sin ?

?m g
1? ? 2



④练习 62 图示,在一和水平面成 ? 角的不动光滑硬杆上套一质量为 m1 小环 A,小环可 沿杆无摩擦地移动,借助一根轻绳 AB 将质量 m 的重物连在小环上,开设时用手持住环,使 绳 AB 竖直。问在释放 A 后的瞬间绳中张力是多少?(东京大学)

提示 释放 A 时,A 为非惯性系 答案 T ?

m1m2 cos2 ? m1 ? m2 sin 2 ?

解答 图示, 释放 A 瞬间, vA=0, 但是 A 沿管方向有加速度 a, 有 (m 1 g ? T ) sin ? ? m1a 。

m1m2 cos2 ? 取 A 为非惯性系, 此时 vB=0, aB=0, 有 T ? m2 a sin ? - m2 g ? 0 。 解得 T ? 。 m1 ? m2 sin 2 ?

第二节力与曲线运动

训练

②63 一辆卡车在丘陵地区行驶,地形图示,由于轮胎太旧,途中爆胎,爆胎可能性最 大的地段是 ( ) A a处 B b 处 C c 处 D d 处(06 上交大) 例 20

提示 v =anR,找曲率半径 R 最小处为你所求。

2

30

答案 D 解答 根据 an ? v 2 R 得,曲率半径最小的地方 an 最大,作用力最大,最容易爆胎。所 以在 d 点。答案 D。 ②64质量相等的小球AB分别固定在轻杆的中点及端点。当杆在光滑水平面上绕O点做匀 速转动时,如图所示求杆的OA段及AB段对球的拉力之比是多少? 例22

提示 取 AB 整体,加速度 a= ? r
2

答案 3:2 解答 令AB杆上作用力为FB,OA杆上作用力为FA,取B为研究对象有 FB=m ? 2r 。取AB
2

整体为研究对象有 FA= m? r ? m? 2r 。2r表示杆长,解得 FA/FB=3/2。
2 2

③65图示,在质量为M的电动机上,装有质量m的偏心轮,飞轮转动的角速度为 ? ,当 飞轮重心在转轴正上方时, 电动机对地面的压力刚好为零, 则飞轮重心离转轴的距离多大? 在转轴过程中,电动机对地面的压力多大?(13苏大) 例22

提示 m 在最高点时,电动机对地面压力为零。 答案 r ? (m ? M ) g m? ,最大压力为 2(m+M)g。
2

解答 飞轮重心在最高点时,轴对 M 电动机作用力大小 Mg,方向竖直向上,则轴对 m 作 用力大小 Mg,方向竖直向下。飞轮此时受力(m+M)g 提供向心力, (m ? M ) g ? m? r 。
2

飞轮转至最低点时 N ? Mg ? mg ? m? r ? 2(m ? M ) g 。
2

③练习 66 一质量为 M 均匀分布的圆环,半径为 r,其轴与水平面垂直,若它能够承受 的最大张力为 T,求处圆环可以绕且轴转动的最大角速度。 (06 同济) 答案

? ? 2?T MR

解答 图示,取一小段圆弧 R?? 为研究对象,其质量 ?m ? ??M/ 2? ,由牛顿第二定律 得

2T sin (?? 2) ? ?m? 2 R ,因为 ? ? 很小,所以 sin (?? 2) ? ?? 2 ,代入上式整理得

? ? 2?T MR 。

31

③练习 67 一个粗细均匀的细圆环形橡皮圈,质量 M ,劲度系数 k ,无形变时半径 R 。 将它用力抛向空中,不计重力,稳定时形状仍然保持圆形,在平动同时以角速度 ? 绕通过圆 心垂直于圆面的轴匀速旋转,求它的半径。(13 西交大). 答案

4π2 kR 4π 2 k ? M ? 2

解答 图示,取一小段圆弧 R?? 为研究对象,其质量 ?m ? ??M/ 2? ,转动半径 l,张 力 T④68 半径为 R 的水平圆台,可绕通过圆心 O 的竖直光滑细轴 CC'转动,图示。圆台 上沿相 互垂直的两个半径方向刻有槽,质量为 mA 的物体 A 放在一个槽内,A 与槽底间的静摩擦因数 为μ 0,质量为 mB 的物体 B 放在另一槽内,此槽是光滑的.AB 间用一长为 l<R 且不可伸长的轻绳 绕过细轴相连。求当圆台做匀角速转动且 A,B 两物体相对圆台不动时(7 预赛),转动角速度 ω 和 A 到圆心的距离 x 所应满足的条件(设此时 A 与槽的侧面之间没有作用力).

指针 AB 两物体绕同一个转轴转动角速度相同,A 受到的摩擦力 f 的大小和方向的不确 定性导致 A 有三种可能性: 解答 (1)A有沿半径向外移动的趋势。这时,物体A所受摩擦力f的方向与张力T的方向 相同。因为B所在槽是光滑的,当B随圆台转动时,绳中总有张力存在。用x表示A到圆心O的 距离,根据牛顿定律和摩擦力的性质可知

T ? f ? mA? 2 x , T ? mB? 2 (l - x) , f ? ?0 mA g 。
解得 ? ?

?0 g
(m A ? m B ) x m A - m B l m A
2 2

,分母必须大于零得 x ?

mB l 。 m A ? mB

(2)A有沿半径指向圆心移动的趋势。这时,A所受摩擦力f的方向与张力T的方向相反,因 而有 T ? f ? m A? x , T ? mB? (l - x) , f ? ? 0 mA g 。 解得 ? ?

?0 g
- (m A ? m B ) x m A ? m B l m A

,分母必须大于零得 x ?

mB l 。 m A ? mB

32

(3)A物体无移动的趋势。这时,f=0得 T ? mA? 2 x , T ? mB? 2 (l - x) 。 解得 x ?

mB l 。这时,ω 可取任意值。 m A ? mB

反思 本题主要考查学生全面分析问题和在有静摩擦力存在时物体平衡的受力分析能 力。最容易产生的问题是只考虑了静摩擦力为零的一种情况,忽略了另外两种情况。或者想 到了两种情况而漏掉了第三种可能性. ③练习 69 图示,水平转盘的直线有个竖直小圆筒,质量为 m 的物体 A 放在转盘上,A 到竖直筒中心的距离为 r,物体 A 通过轻绳无摩擦的滑轮与物体 B 相连,B 与 A 质量相同。 物体 A 与转盘间的最大摩擦力是正压力的 ? 倍,则转盘转动的角速度在什么范围内,物体 A 才能随盘转动。

答案

g (1- ?) r ? ? g (1 - ?) r

解答 A 受摩擦力沿半径指向圆心或者背离圆心。对 A mg? f ? m? 2 r 。 f ? ?m g 。 代入解得

g (1- ?) r ? ? g (1 - ?) r 。

②70(08 上交大)质量均为 m 的小球穿在一光滑圆环上,有一个不可伸长的轻绳相连。 圆环竖直放置,图示。从图示位置静止释放。求释放瞬间绳张力是多少? 例 20

提示 两物体切向加速度相等。 答案

2mg 2

解答 图示,顶端小球受力是重力、线张力、环的弹力(竖直方向) 。左边小球受到 3 个力作用,只是弹力沿半径方向。释放瞬间两个小球的向心加速度都为 0.切向加速度相等。 故 T cos45? ? mg - T sin 45? 。解得 T ?

2mg 2 。

(0,? / 2) 的圆锥摆,当摆球处于图(a)的最左 ⑤71 在静止的车箱内有一幅角为 ? ?
端时车厢开始以加速度 a 向右做水平匀加速运动。 试问摆球相对于车厢是否可能恰好从此时 ? (0,? / 2) 开始以某 ? ? 为幅角做圆锥摆运动?(俄罗斯)

33

提示 取车厢为非惯性系,惯性力与重力之合力方向为一等效重力,速度不变。 答 案 当

a ? g (2 ? tan2 ? ) tan?

















2 ? ? ? ? - ? ? a r ?( c 2 ?tt a a? ) n n t ? a ??n ? 的圆锥摆运动。

解答 设摆长 l, 车厢加速前摆球相对于车厢运动速度大小为 v ?

gl 车 sin ? , cos?

厢 加 速 运 动 后 , 取 车 厢 平 动 加 速 非 惯 性 系 , 引 入 等 效 重 力 加 速 度 g? , 图 ( b ) . g? ?

g 2 ? a 2 , g ? 与 g 的 夹 角 ? 满 足 下 列 关 系 : cos? ?

g g 2 ? a2



sin ? ?

a g ?a
2 2

。若摆球恰好从车厢开始加速时相对于车厢继续做圆锥摆运动,则幅角

必 定 为 ?? ? ?

?? - ?,当?大于?时 。图(b)只画出了 ? ﹥ ? 的情况;同样要求 ?? - ?,当?大于?时
, 有

v?

g ?l sin ? ? cos? ?

s ? c ? o

gl

i

s

?n

。n s ?? i c ?? o s

g ?l

cos? ? ? cos(? ? ? ) ? a g 2 ? a2

g a ? g2
2

cos? +
1 ?g sin ? ? a cos? ?2 ,代入上式得 2 a ?g
2

sin ? , sin 2 ? ? ? ?sin(? ? ? )? ?
2

g sin 2 ? g ? sin 2 ? ? (g sin ? ? a cos? ) 2 2 ,解得 a ? g (2 ? tan ? ) tan? 。此时 ? ? cos? cos? ? g cos? ? a sin ?
tan? ? a ? (2 ? tan2 ? ) tan? ﹥ tan ? ,必有 ? ﹥ ? 。从以上讨论可得如下结论:仅当 a g

满足上式时,摆球可做幅角为 ? ? ? ? - ? ? arctan(2 ? tan 第三节 物体的平衡

?

2

? ) tan? ?? ? 的圆锥摆运动。

34

②72 一薄壁圆柱形烧杯,半径为 r,质量为 m,重心位于中心线上,离杯底的距离为 H. 今将水慢慢注入杯中,问烧杯连同杯内的水共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少?为 什么?(设水的密度为ρ )(7 预赛) 提示 杯、水的合重心与水面重合时,共同的重心最低。

h?
答案

?m ? m2 ? 2? r 2 ? mH ? r2?

解答 当重心下降到水面时,重心最低,重心最低时的高度 h 应满足

?m ? m2 ? 2? r 2 ? mH h 2 ? r h? ? mH ? (? r h ? ? m)h h ? ? r2? 2 得 。
2

②73 图示,均匀圆板半径为 R,在板内挖去半径为 r 的小圆,两个圆的圆心相距为 a, 求剩余部分的重心。 (京都大学)

提示 根据质心定义,负质量法。 2 2 2 答案 在 O1O 连线上,距 O 点左边 ar /(R -r )

(-m1 )a (-r 2 )a ? 2 M ? (-m1 ) R ? r 2 ,M 表示 解答 令重心在 OO1 连线上,距 O 点右侧为 x,则 x=
半径 R 圆板质量,m 表示半径 r 圆板质量。x<0 表示重心在 O 点左侧。处理方法为负质量法。 ③74 图示,一半径 r=0.2m 的圆柱,绕竖直轴 OO′以角速度 ? =9rad/s 匀速转动,用力 吧一质量 m=1kg 的物体 A 压在圆柱面上,使其以 v0=2.4m/s 的速度匀速下降。若物体 A 与圆 柱面的动摩擦因数 ? =0.25,求例 F 的大小。已知物体 A 在水平方向上受挡板作用,所以它 不随轴一起转动。 (11 西交大)

提示 摩擦力方向与相对速度方向相反。 答案 49N 解答 物体 A 相对于圆柱一方面有向下的速度 v0,取此方向为 y 轴的正方向;另一方面 因圆柱向里转动,所以接触处物体 A 相对于圆柱还有水平向外且垂直于 y 轴的速度 ?r ,取 此方向为 x 轴正方向,因此合速度方向图示。它与 y 轴夹角为 ? 与相对速度方向相反。

??r v0 ?,其方向 ? arctan

f y ? f cos? ? ?F cos? ? mg



35

F?

mg ? ? cos?

v0 ? (?r)2
2

?v0

m g ? 49N


③75 半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的重物分别用细绳 AD 和 ACE 悬挂 于同一点 A,并处于平衡,图示。已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L,不考虑绳的质量和绳与 球心的摩擦,试求悬挂圆球的绳 AD 与竖直方向 AB 的夹角θ 。 (10 预赛)
A θ

D

O

B

C

E

提示 AC 线与圆接触处是一段圆弧,其线分布力之合力指向圆心 O 点。

? ? arcsin
答案

M2R L( M 1 ? M 2 )

解答 作用在球上的力有重力 M1g、绳子的拉力 T 和 ACE 绳的压力 N,N 是线分布力,其 方向指向圆心, 作用点不在 C 点。 根据三力汇交原理得省 AD 的拉力方向必定通过球心 O 点, 图示。对球和重物组成的系统,根据平衡条件,M1g 和 M2g 对 A 点的力矩大小相等,即

M 1 gLsin ? ? M 2 g (R - Lsin? ) ,解得

? ? arcsin

M2R L(M 1 ? M 2) 。

利用对 A 点的力矩的平衡关系,有比讨论过球心的三力平衡有简单得多,因为无需知道 T 和 N 的大小。

②76 质量为 m、长为 l 的均匀细杆 AB,杆端 A 用轻绳连接,绳的另一端悬于 O 点,绳 长 OA= 3 l,现用外力 F 作用于杆的 B 端,使 B 点保持在绳固定的点 O 的正下方,并使绳与

36

杆成 90°保持平衡,试求外力 F 的方向。 提示 三力汇交原理 答案 与竖直夹角 19° 解答 杆 AB 受到三力作用而平衡,根据三力汇交原理,图 1 示。外力 F 的作用线波通过 重力 mg 和绳中拉力 T 的作用线的交点 C。这样,用几何方法求解 F 的大小和方向。 OA= 3 l, AB=了,?ABO ? 60 °,?ABC ? arctan( 3 2) ? 41°,?OBC ? 19 °。

F mg 7 ? F? mg ? ? sin 30 sin ( 30 ? ? ) 4 2 ,解得 图 2 示, 。其方向判别如上,F 与竖直方向夹
角 ? 2 ? 19 °。

图1 图2 ②77 现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂) ,一把匀质的长为 l 的有刻度、零点位 于端点的直尺,一个木块及质量不计的细线.试用这些器件设计一实验装置(要求画出示意 图) ,通过一次测量(弹簧测力计只准读一次数) ,求出木块的质量和尺的质量。(22 预赛) 提示 杠杆模型、转动支点

m?
答案 木块质量

G ?l ? 2 x 2 ? 2G ?x2 ? x1 ? M? g ?l ? 2 x1 ? ,尺质量 g ?l ? 2 x1 ? 。x1 为木块悬挂点到零刻

度的距离,x2 为弹簧秤悬挂点到零刻度的距离。 解答 如图所示.设木块质量为 m,直尺质量为 M.记下二悬挂点在直尺上的读数 x1、x2, 弹簧测力计读数 G.由平衡条件和图中所设的直尺零刻度线的位置有
B4

G 0 x1 x2 m M

B5 A1

A6

A5

B3

m
A4

B6

A2

A3 B1

B2

2G ?x2 ? x1 ? G ?l ? 2 x 2 ? ?l ? M? m? mg ( x 2 ? x1 ) ? Mg ? ? x 2 ? g ?l ? 2 x1 ? g ?l ? 2 x1 ? 。 (m ? M ) g ? G , ?2 ? 。解得 ,
③78 有六个完全相同的刚性长条薄片 AiBi(i=1,?,6)其两端下方各有一个小突起, 薄片及突起的重量均可以不计。 现将此六个薄片架在一只水平的碗口上, 使每个薄片一端的

37

小突起 Bi 恰在碗口上,另一端小突起 Ai 位于其下方薄片的正中,由正下方俯视如图所示。 若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点,这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起 A6 的距离,求薄片 A6B6 中点所受的(由另一薄片的小突起 A1 所施的)压力。(6 预赛) 提示 找到小突起 Ai+1 与 Ai 间作用力的递推关系。 答案 mg/42 解答 令所求压力 Pi=P(向下), 并设任一小突起 Ai 对其小的薄片中点压力及反作用力的 5 大小为 Pi,则根据以 Bi 为支点的力矩平衡知 Pi+1=2Pi,P6=2 P=32P。再考虑 A6B6 薄片以 B6 为 支点的力矩平衡,由图得 P/2+3mg/4-32P=0,解得 P=mg/42。 ④79 有一水果店,所用的秤是吊盘式杆秤,量程为 10kg。现有一较大的西瓜,超过此 秤的量程。店员 A 找到另一秤砣,与此秤砣完全相同,把它与原秤砣结在一起作为秤砣进行 称量。平衡时,双秤砣位于 6.5kg 刻度处。他将此读数乘以 2 得 13kg,作为此西瓜的质量, 卖给顾客。店员 B 对这种称量结果表示怀疑。为了检验,他取另一西瓜,用单秤砣正常称量 得 8kg,用店员 A 的双秤砣法称量,得读数为 3kg,乘以 2 后得 6kg。这证明了店员 A 的办 法使不可靠的。试问,店员 A 卖给顾客的那个西瓜的实际质量是多大?(9 预赛) 提示 双秤砣读数与西瓜质量之差 ?m ,与西瓜质量无关 答案 15kg 解答 图示,A 为悬挂点,C 为支点,O 为零刻度(定盘心) ,AC=d,CO=l0,每 kg 长 ? , 秤砣质量 m0 ,秤杆秤盘对 C 的,力矩 M=m0gl0 ,当秤盘中放有质量为 mkg 物体时有

mgd ? M ? m0 g (l0 ? ?m) , d ? ?m0 。双秤砣称质量 m 的物体时读数为 m′有 mgd ? M ? 2m0 g (l0 ? ?m?) , m? ? (md - m0l0 )/(2d ) 。用 2m′作为称量结果时,其值与
实际质量 m 之差为

?m ? -m0 l0 /d 。L >0 时 2m′偏小,l <0 时 2m′偏大。由店员乙的检验
0 0

知 ?m ? -2kg 。 ? m 与所称质量无关,甲卖给顾客西瓜实际质量为 m=2m′+m0l0/d=15kg。

若 l0=0,则 ? m=0,这时甲店员的做法碰巧对了,一般情况下,定星盘不是正好在提扭下, 所以甲的做法是不对的。 ⑤80 图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿 1、2、3、4 支撑于桌 角 A、B、C、D 处,桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形 变。现于桌面中心点 O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F,令 OP/OA=c, ,求 桌面对桌腿 1 的压力 F1。(26 竞赛)

提示 桌腿视为劲度系数 k 足够大的弹簧,桌面始终为平面, 有两对角线始终交于 O 点。

38

即 AC 两腿压缩量之和等于 BD 两腿压缩量之和

答案

F1 ?

2c ? 1 1 1 F 0?c? ? c ?1 F ? cF 2; 1 4 , ,2 。

解答 设桌面对四条腿的作用力皆为压力,分别为 面处在平衡状态得

F1 、 F2 、 F3 、 F4 .因轻质刚性的桌

F1 ? F2 ? F3 ? F4 ? F 。由对称性得 F2 ? F4 。考察对对角线 BD 的力矩得

F3 ? cF ? F1 。据题意, 0 ? c ? 1 ,c=0 对应于力 F 的作用点在 O 点,c=1 对应于 F 作用点
在 A 点。设桌腿的劲度系数为 k , 在力 F 的作用下,腿 1 的形变为 均为

F1 k ,腿 2 和 4 的形变

F2 k ,腿 3 的形变为 F3 k .依题意,桌面上四个角在同一平面上,因此满足

1 ? F1 F3 ? F2 ? ? ?? 2? k k ? k , 即

F1 ? F3 ? 2F2 。

F3 ?

1 ? 2c 2c ? 1 1 F F1 ? F 0?c? 2; 4 4 。注意 c>1/2 时,F3=0。讨论得 ,

1 ? c ?1 F1 ? cF , 2 。F3 是在四条腿都存在弹力的假设条件下得到的结论。F3<0 的实际情
形是 c 腿与地面分离,应取 F3=0。 ③81 图中是用电动砂轮打磨工件的装置,砂轮的转轴过图中 O 点垂直于纸 面,AB 是一长度 l ? 0.60 m ,质量 m1 ? 0.50kg 的均匀刚性细杆,可绕过 A 端的固定轴在竖 直面(中纸面)内无摩擦地转动,工件 C 固定在 AB 杆上,其质量 m2 ? 1.5kg ,工件的重心、 工件与砂轮的接触点 P 以及 O 点都在过 AB 中点的竖直线上, P 到 AB 杆的垂直距离 d ? 0.1m , AB 杆始终处于水平位置,砂轮与工件之间的动摩擦因数 ? ? 0.06 。 (1)当砂轮静止时,要 使工件对砂轮的压力 F0 ? 100N,则施于 B 端竖直向下的力 FB 应 是多大(2)当砂轮逆时针转动时,要使工件对砂轮的压力仍为

F0 ? 100N,则施于 B 端竖直向下的力 FB
应是多大?(00 上海) 提示 摩擦力矩 答案 (1)40N(2)30N

?

解答 (1)当砂轮静止时,把 AB 杆和工件看成一个物体,它受到的外力对 A 轴的力矩
39

l l ) ,砂轮对工件的支持力的力矩 F0 , FB 的力矩 FB l ,由 2 2 1 l l 力 矩 的 平 衡 , 得 F0 ? (m1 ? m 2 ) g ? FB l , 解 得 FB ? [ F0 ? (m1 ? m2 ) g ] , 解 得 2 2 2
有:重力的力矩( ( m1 ? m 2 ) g

? FB ? 40N (2)当砂轮转动时,除重力、支持力和 FB 的力矩外,还有砂轮作用于工件的
摩擦力的力矩 ?F0 d 。由力矩的平平衡;得 F0 得

1 l ? ? ? ?F0 d ? (m1 ? m2 ) g ? FB ? FB l 。解 2 2

d ? ? 1 FB ? [ F0 ? (m1 ? m2 ) g ] ? ?F0 。代入数据得 FB ? 30 N 。 2 I
⑤82 在一些重型机械和起重设备上,常用双块式电磁制动器,它的简化示意图如图所 示。O1 和 O2 为固定铰链。在电源接通时,A 杆被往下压,通过铰链 C1、C2、C3 使弹簧 S 被拉 伸,制动块 B1、B2 与制动轮 D 脱离接触,机械得以正常运转。当电源被切断后,A 杆不再 有向下的压力(A 杆及图中所有连杆及制动块所受的重力皆忽略不计),于是弹簧回缩, 使制动块产生制动效果。此时 O1C1 和 O2C2 处于竖直位置。已知欲使正在匀速转动的 D 轮减 速从而实现制动,至少需要 M=1100N.m 的制动力矩,制动块与制动轮之间的摩擦系数 μ =0.40, 弹 簧 不 发 生 形 变 时 的 长 度 为 L=0.300m, 制 动 轮 直 径 d=0.400m, 图 示 尺 寸 a=0.065m,h1=0.245m,h2=0.340m。求选用弹簧的倔强系数 k 最少要多大。(13 预赛) 提示 两制动块受到的摩擦力矩不相等 答案 1.24×10 N.m
4

解答 在制动轮转动的情况下,制动力矩是由制动块 B1、B2 对制动轮 D 的滑动摩擦力产 生的。设 B1、B2 对 D 的正压力分别为 N1 和 N2,滑动摩擦力的就分别为μ N1 和μ N2,图示。 所以 M=μ N1d/2+μ N2d/2,再对左、右两杆分别进行受力分析,并列出力矩平衡方程如下, 左杆(h1+h2)T=h1N1+μ N1a;右杆 h1N2=(h1+h2)T+ ? N2a,两式中 T 为弹簧的弹力。对弹簧 来说,由胡克定律 T=k△L=k(d+2a-L)。解得 k= ≈1.24×

40

10 N.m。注意:左右两边摩擦力不相等。 第三节 物体的平衡

4

训练

②83 在桌上有一质量为 m1 的杂志,杂志上有一质量为 m2 的书。杂志和桌面的摩擦因 数为 ?1 ,杂志和书之间的摩擦因数为 ? 2 。欲将杂志从书下抽出,则至少要用力 ( 复旦) A (?1 ? ? 2 )(m1 ? m2 ) g B C ( ?1 ? ? 2 )m2 g )(11

?1 (m1 ? m2 ) g ? ? 2 m2 g

D (?1m1 ? ? 2 m2 ) g

提示 临界状态 m1、m2 之间为最大静摩擦力 答案 A 解答 取 m1+m2 整体为研究对象,由牛顿第二定律得 F- ? 1(m1+m2)g=(m1+m2)a,取 m2 为研 究对象,有 ? 2m2g=m2a,解得 F= (m1+m2)g。答案 A。 (?1 ? ? 2) ③83 在图中,A、B 是两个带柄(a 和 b)的完全相同的长方形物体,C 是另一长方体, 其厚度可以忽略,质量为 m,A、B 与斜面间以及与 C 之间皆有摩擦,C 与 A 或 B 间的静摩擦 系数均为μ 0,设它们原来都处于静止状态。 (1)若一手握住 a,使 A 不动,另一手握住 b, 逐渐用力将 B 沿倾角为θ 的斜面向上拉。 当力增大到能使 B 刚刚开始向上移动时, C 动不动? 若动,如何动(2)此时 A 与 C 之间的摩擦力为多大(3)若握住 b 使 B 不动,握住 a 逐渐用 力将 A 沿倾角为θ 的斜面向下拉。 当 A 开始移动时, C 动不动?若动, 如何动? (11 南理工)

θ

提示 AC、BC 间弹力相等,用假设法讨论静摩擦力的方向和大小

1 ?mg cos ? ? mg sin ? 答案(1)C 不动; (2) 2 ; (3)C 与 A 共同沿斜面向下移动。
解答 C 原来不动,说明 m gsin ? ? ?m g cos? ,此值为 A、B 对 C 的最大静摩擦力。当 B 刚能向上移动时, 上述表达式依然成立, 所以 C 不可能向下移动。 显然 C 不可能向上移动,

? mg sin ? ?
因为向上移动时 B 对 C 的静摩擦力必须

1 ?mg cos ? 2 ,其最大值是

1 ?mg cos ? ?mg cos ?/ 2 - mg sin ? 2 。所以 A 对 C 的静摩擦力的大小是 ,其方向待定。
当 A 刚开始向下移动时,C 不可能不动,因为这时 C 受到 B 对它的向上的摩擦力一定小

41

mg sin ? ?
于重力沿斜面分力与 A 对 C 的滑动摩擦力的合力即

1 ?mg cos ? 2 。所以 C 必定向

下移动。本题主要考察学生根据给定条件下确定静摩擦力大小和方向的能力。 ③84 图示,水到底部高度分别为 h1、h2,水与闸门间、闸门与轨道间的动摩擦因素分别 为 ?1 、? 2 ,求拉起闸门至少需要多大的力,P 为一个水闸的剖面图,闸门质量为 m,宽为 b。 水闸两侧水面高分别为力? (11 北大保送) 提示 水对闸门压力的作用点是在距水底 1/3 深处

答案

F ? m g ? ? 2 N ? ?1 ( F1 ? F2 ) ? m g ?

? 2 ?gb
2

(h1 - h2 ) ?

2

2

?1 ?gb(h1 2 ? h2 2 )
2
F2 ?

解答 左右两侧水对闸门向右、向左的压力分别为

F1 ?

?gh1
2

bh1

?gh2
2
2



bh2
2

。由

水平方向合力为零知,轨道与闸门之间的弹力 N 满足: N ? F1 ? F2 ? ?gh(h1 - h2 ) 2 。 提起闸门时在一开始所需的拉力最大为

F ? m g ? ? 2 N ? ?1 ( F1 ? F2 ) ? m g ?

? 2 ?gb
2

(h1 - h2 ) ?

2

2

?1 ?gb(h1 2 ? h2 2 )
2
。 注意: 水对

闸门压力的作用点是在距水底 1/3 深处,不是在水深的一半处。 ③85 图示,边长为 L 的均质立方体置于倾角为 ? 的固定斜面上,两者间的摩擦因数

? ? tan? ,要使立方体静止于斜面上,则斜面倾角 ? 的取值范围是多少?

提示 弹力作用点不在底边的中点 答案 0 ? ? ? 45 ° 解答 立方体不下滑的条件是:? ? tan? 。关于立方体的转动问题,虽然在接触面上立 方体所受的弹力与摩擦力均为平行力而且具有分布对称性。对称面即为立方体的一个中剖 面,图示。两组平行力的力心在此中剖面与立方体底面的交线 AB 上,此两力力心未必在 AB 中点上。因

? 为常量,摩擦力与弹力处处成正比关系,两力力心在 AB 上的位置一定重合,

设位图中 O 点,O 为摩擦力和弹力等效作用点位置,到 A 距离为 x,静止状态时,重力 W 与

x?
其它两个力一定交于 O 点。

l (1 - tan ? ) 2 。因此要使立方体静止的条件是 x ? 0 ,即

42

0 ? ? ? 45 。

③86 图示,橡皮条的 O 点固定,用 AB 两弹簧秤拉橡皮条的另一端 D,使其伸长到 E 点, AB 弹簧秤的大小和方向图中已标出。今保持 A 的读数不变。当 ? 角由图示位置逐渐减小时, 要使 D 端仍在 E 点保持不动,则应采取的方法可能有 ( ) A 使 B 的读数变大, 同时使 ? 角变小 B 使 B 的读数变大, 同时使 ? 角变大 C 使 B 的读数变 小,同时使 ? 角变小 D 使 B 的读数变小,同时使 ? 角变大。 例 35

提示 作力的矢量三角形动态图 答案 CD

解答 保持 A 的读数不变,当 ? 角由图示位置逐渐减小时,要使 D 端位置仍在 E 点保持 不动,说明 A 的弹力和 B 的弹力之合力 F 不变,分力 FA 大小不变,作图示矢量三角形。以 共点 E 为圆心,以分力 FA 为半径画一圆弧,由 FA 的箭头指向 F 箭头的有向线段就是分力 FB 的大小和方向。合力与 EB 夹角 ? 角由减小和增大两种可能,但是 FB 一直减小的。 ②86 图示,一均匀细杆长 1m,重力为 G,在距其上端 25cm 处用一钉子将其钉在铅直墙 面上,使细杆可绕此钉子无摩擦地旋转。今施一水平力于其上端,使细杆偏离垂线 ? 角 ( ? ? 90 )而平衡,则钉子作用在轴上的力多大? (05 上交大)
0

43

提示 三力汇交原理 答案 G/cos ? 解答 轴对钉子的作用力 F、重力 G、水平拉力这三个力共点,所以, F ? G / cos ? 。 由牛顿第三定律得钉子作用在轴上的反作用力大小为 G/cos ? 。 ②87 如图所示,竖直杆 AB 在绳 AC 拉力作用下处于平衡,若 AC 加长,使 C 点左移,AB 仍保持竖直平衡状态。AC 绳上拉力 T 和杆 AB 受到绳的压力 N 与原先相比,下列说 法中正确的是 ( ) A T 增大,N 减小 B T 减小,N 增大 C T、N 都减小 D T、N 都减小 (11 复旦) 提示 力的分解,T 分解为压杆的力 N 和拉绳的力 mg 答案 C 解答 图示, mg 与 N 是 T 的两个分力, 夹角 ? 变大,T ? mg/ sin ? 变小,N ? m g cos? 变小。答案 C。 ④ 88. 一个人最多能提起 5kg 的重物。在一个固定的倾角为 ? ? 15 °摩擦因数为

? ? 3 3 的斜面上,有一质量为 m 的重物。求人能够向上拖动的物体质量的最大值。 (13
华约) 提示 用摩擦角 答案 5 2kg 解答 摩擦力和弹力的合力为全反力 R,其方向与法向夹角 ? ? arctan? ? 30 °是定 值,大小变化;重力的大小方向都不变;作力的矢量三角形图,当拉力 F 与 R 垂直时,F 最 小。 Fmin= m g sin (? ? ? ) , m ? 5/ sin 45 °= 5 2kg 。 上述解题过程是用摩擦角处理问题的。 通常方法是四力平衡, 正交法列两个力的平衡方 程。令拉力 F=5gN 时,找到 m 与 ? 角的函数关系,这里的 ? 是指 F 与斜面的夹角。然后三 角法求极值。 ③89 水平地面上有一木箱, 木箱与地面之间的动摩擦因数为 μ (0<μ<1) 。 现对木箱施加一拉力 F,使木箱做匀速直线运动。设 F 的方向与水平面夹角 θ 为 θ,如图,在 θ 从 0 逐渐增大到 90° 的过程中,木箱的速度保持不变,则 ( ) A F 先减小后增大 B F 一直增大 C F 的功率减小 D F 的功率不变(13 苏大) 提示 正交法求极值 答案 AC。 解答 由于木箱的速度保持不变,因此木箱始终处于平衡状态,受力分析如图所示,则 由平衡条件得: mg ? N ? F sin ? , f ? ? N ? F cos? 两式联立解得

F

44

F?

? mg ? mg ,可见 F 有最小值,所以 F 先减小后增大,A 正 ? 2 cos? ? ? sin ? 1 ? ? sin(? ? ? )
? mgv cos ? ? mgv ,可见在 ? 从 0 逐渐增 ? cos ? ? ? sin ? 1 ? ? tan ?

确;B 错误;F 的功率 P ? Fv cos ? ?

大到 90° 的过程中 tan ? 逐渐增大,则功率 P 逐渐减小,C 正确,D 错误。答案 AC。 ②90 给你一把杆秤(带有它自己的秤砣) ,一个玻璃瓶(瓶的质量比秤砣的质量小) , 一些细沙, 一根细绳。 要求只用这些器材测出上述杆秤的秤砣的质量, 试简要写出测量步骤。 (5 预赛) 提示 用玻璃瓶及沙制成标准秤砣 答案 根据杆秤零刻度含义,用玻璃瓶及沙制成标准秤砣。 解答 用细绳将玻璃瓶系住,挂在秤杆上零刻度处,然后向玻璃瓶内放一些细沙使秤杆 在水平方向达到平衡。最后以此充沙的玻璃瓶当作秤砣,将原来待测的秤砣放在秤钩上,用 此杆秤称出秤砣的质量即为所求, 或用此杆秤称出充沙的玻璃瓶的质量, 它就是原来待测秤 砣的质量。 ②91 一人对一均匀细杆的一端施力,力的方向总与杆垂直,要将杆从地板上无摩擦缓 慢拉到竖直位置,则杆与地板之间的静摩擦因素至少应为多少? 提示 三力汇交原理 答案

2/ 4
Nl cos? ? fl (sin? ? 1 ) sin? ,

解 答 受 力 如 图 所 示 。对 O 点 取 矩 , 有 MO=0 , 得

??

f 1 ? N 2 tan ? ? cot ? ,取极值得 ? min ? 2/ 4 。
③93 有一倾角为 ? ? 45 的固定斜面,将一质量为 m 的正方体物块置于其上,若两者
0

间的动摩擦因数为 ? ,且 ? < 1,⑴为使物块不下滑,作用于物块上的最小力 F1 为多少 ⑵ 为使物块沿斜面上滑,作用于物块上的最小力 F2 又为多少 ⑶为使物块不翻滚, F2 的作用 点有无要求?(12 北大保送) 提示 摩擦角三力汇交原理 答案 (1)mgsin(45°- ?) , tan ? ? ? (2)mgsin(45°+ ?) (3) ? AB? 解答 (1)图 1,N 与全反力 R 的夹角 ? ,不下滑临界条件 tan ? ? ? ,力 F1 与 R 垂直 时,F1 最小,F1=mgsin(45°- ?) (2)图 2,F2=mgsin(45°+ ?) (3)BC=ABtan ? ? AB? , 实际作用点在 C 的上边。 ③94 车轮是人类在搬运东西的劳动中逐渐发明的,其作用是使人们能用较小的力量搬 运很重的物体。假设匀质圆盘代表车轮,其它物体取一个正方形形状。我们现在就比较在平 面和斜面两种情形下,为使它们运动(平动、滚动等)所需要的最小作用力。假设圆盘半径 为 b, 正方形物体的每边长也为 b, 它们的质量都是 m, 它们与地面或斜面的摩擦因数都是 ? ,
45

给定的倾角为 ? 的斜面。 ⑴使圆盘在平面上运动几乎不需要作用力。使正方形物体在平面上 运动,需要的最小作用力是 F1 多少 ⑵在斜面上使正方形物体向上运动所需要的最小作用力

F2 是多少 ⑶在斜面上使圆盘向上运动所需要的最小作用力 F3 是多少?限定 F3 沿斜面方
向。(12 北约) 提示 摩擦角三力汇交原理 答案 (1)F1=mgsin ? , tan ? ? ? (2)mgtan(45°+ ?) (3) (mgsin ? )/2 解答 (1)图 1,当 F1 垂直于全反力 R 时,F1 最小,F1=mgsin ? , tan ? ? ? (2)图 2, F2=mgtan(45°+ ?) , (3)图 3,MA=0,mgbsin ? =F32b,F3= (mgsin ? )/2 。 ③95 长为 l、质量 120kg 铁梁挂在 3 根同样劲度系数的绳上,图示。铁梁的重心 O 离中 间绳 l/4 处。求每根绳的张力。设绳伸长极小。 提示 绳的伸长自左向右呈线性减小 答案 100N,400N,700N 解答 铁梁的上表面水平,悬挂铁梁的绳伸长极小,可以认为绳的伸长自左向右呈线性 减 小 , 拉 力 自 左 向 右 呈 线 性 增 加 , 受 力 如 图 。 F1+F3=2F2 , mg=F1+F2+F3 , 由 M0=0 得 F3L/4=F2L/4=3F1L/4。解得 F1=mg/12=100N,F2=4mg/12=400N,F3=7mg/12=700N。 ④96 图示,光滑斜面的底端 a 与一块质量均匀、水平放置的平板光滑 相接,板长为 2L,L=1m,其中心 C 固定在高为 R 的竖直支架上,R=1m, 支架的下端与垂直于面的固定转轴 O 连接, 因此平板可绕转轴 O 沿顺时针方 向翻转.问(l)在外面上离平板高度为 h0 处放置一滑块 A,使其由静止滑 下,滑块与平板间的动摩擦因数μ =0.2,为使平板不翻转,h0 最大为多少 (2)如果斜面上的滑块离平板的高度为 h1=0.45 m,并在 h1 处先后由静止 释放两块质量相同的滑块 A、B,时间间隔为Δ t=0.2s,则 B 滑块滑上平板后多少时间,平 板恰好翻转。 (01 上海) 提示 两物体在平板上运动时,平板的临界平衡条件是板左端与 a 的弹力为零 答案(1)0.16m。 (2)0.2s。 解答 A 滑到 a 处的速度为 v0= -s0), h0≤ ? ( L - ?R) ? 0.16m 。 (2)当 h=0.45m,vA= = =3m/s,vA=vB=3m/s 设 B 在平板上运
2

,加速度 a= ? g 。滑到板上离 a 点的最大距离

为 s0=v02/2a=2gh0/2 ? g=h0/ ? 。 A 在板上不翻转应满足条件是 M 摩擦≤M 压力,? mgR≤mg(L

动直到平板翻转的时刻为 t,取Δ t=0.2s,sA=vA(t+Δ t)- ? g(t+Δ t) /2 ,sB=vBt-

? gt2/2
两物体在平板上恰好保持平板不翻转的条件是 2 ? mgR=mg(L-sA)+mg(L-sB) 得 t=0.2s。 ③97 图示,AO 是质量为 m 的均匀细杆,可绕 O 轴在竖直平面内自由转动。细杆上的 P 点与放在水平桌面上的圆柱体接触, 圆柱体靠在竖直的档板上而保持平衡。 已知杆的倾角为 θ ,AP 长度是杆长的 1/4,各处的摩擦都不计,求档板对圆柱体的作用力。 (13 南大)

46

提示 AO 是绕 O 固定转动轴的平衡,球是四力共点平衡。 答案

1 mgsin 2? 3 1 3 l cos ? ? N l 2 4

mg 解答 APO 管是绕 O 轴有固定转动的平衡物体, 对 O 点力矩为零,

对圆柱体受力分析, N 水平向左的分力与挡板对圆柱体水平向右作用力 F 平衡, 即 Nsin ? =F 解得 F=

1 mgsin 2? 。这类双平衡问题比较经典,APO 也可以看做三力共点平衡,是由三力 3

汇交原理得到的。取圆柱体和细杆整体研究,因为涉及到地面对圆柱体的弹力是未知量,所 以没有用整体法列式。在多数情况下整体法优先考虑。 ③98 如图,一细棒质量位 m,初始时 ? =30°,方形木块以恒定速度向向左运动。则细 棒受到木块的力 A 一直增大 B 一直减小 C 先增大后减小 D 先减小后增大(09 清华) ( )

提示 有固定转动轴的平衡。 答案 C 解答 令棒长 l,正方形木块边长 a,由力矩平衡条件得 mglcos? / 2 ? Na / sin ? ,解 得

N ? mglsin 2? / 4a 。

阅读材料 刚体的平衡
④99 质量 m、长度 L 的均质杆竖直放置,下端与地面间的摩擦因数为

? ,上端用水平

绳索拉住,绳与直杆间夹角为 ? 。在离地面高度 h 处以水平例 F 作用于直杆。问为使直杆不 滑到,F 的最大值是多少?(俄罗斯) 提示 讨论 F 表达式的物理含义。

m gLtan? 答案 ( L ? h) tan?/? - h

? ? 0 , N ? mg - T cos? ? 0 。 由 MA=0 得 解 答 受 力 分 析 图 示 。 F ? f -T s i n
F ( L ? h) ? fL 。 解 得 f= ( 1-h/L ) F , N=mg+Fh/Ltan ? 。 代 入 f ? ?N 得

47

m gLtan? Lt a ? n h? ??t a? n , F ? ( L ? h) tan?/? - h 。 为 使 该 式 成 立 , 分 母 应 大 于 零 , 即 m gLtan? L tan? h? ? ? tan? 时,Fmax ? ? 。 Fmax= ( L ? h) tan?/? - h ;当
④100 如图,质量为 M,棱长为 L 的正方体放在粗糙平面上,在左上棱施力使正方体向 前或向后翻转, 正方体不与平面发生相对滑动。 求向前和向后施力的最小值及对应的摩擦因 数。 (10 北大) 提示 前、后翻滚的支点不同,找到最小力对应的临界状态。 答案 前翻时, 2 Mg/4,1/3;后翻时,Mg/2,0.5。

F





解答 考虑向前翻转的情况。图示,令 AC=L,MgLcos ? =FL,式中 ? / 4 ? ? ? ? / 2 。最 小值 Fmin= 2 Mg/4,表示只要 D 点能够离开地面,以后 F 即使小一点,立方体也能翻转。

??
在 D 点将要离开地面时,

f F cos(?/ 4) 1 ? ? N Mg - F sin (?/ 4) 3 。以后为了使 F 最小,则 F 一直垂
N L L 1 cos ? ? f ( ? sin ? ) 2 2 sin ? ,

直 于 AC 斜 向 上 。 取 Mg 与 F 交 点 为 轴 有

??

f 1 2 ? ? min ? N 2 tan ? ? cot ? 。当 cot? ? 2 时,即 ? ? 35 .6 °时, 4 。实际上,

? ? ?/ 4 ,所以动摩擦因数 ? ? 1/3 。
向后翻时,取 D 为支点,重力矩逐渐变小,而 F 最小对应的力臂不变,刚开始时最难翻。 F=Mg/2,? ? f/N ? 0.5 ,之后 f 变小 N 变大, 表明只要一开始 D 处不滑动就满足题设条件。 ④101 质量为 80kg 的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登,梯子质量为 25kg,顶角为

300 。已知 AC 和 CE 都为 5m,且用铰在 C 点处相连,BD 为一段轻绳,两端固定在梯子高度
一半处。 设梯子与地面的摩擦可以忽略, 求在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律。 (08 上交大)

48

提示 分别取整个梯子和 AC 为研究对象列力矩平衡方程。 答案 T ? (125? 160x) tan15 ° 解答 令梯子的质量为 M,人的质量为 m,当人爬到 A 点的距离为 x 时有 N1+N2-mg-Mg=0。 以 A 为轴, 梯子为研究对象有 mgcos75? ? MgACsin 15? - N 2 2 AC sin 15? ? 0 ; 以 C 为轴, 左边梯子为研究对象有 T 2.5 sin 75? ? mg 解得 ( . 5 - x)sin 15? ? 0.5Mg.2.5 sin 15? - N1 ? 0 。

T ? (125? 160x) tan15°。注意 AE 两处弹力不等。
第四节 万有引力定律 ③103 航天飞机沿半径为 R 的圆周绕地球运动,周期为 T,它要返回地面时,可在轨道 上某一点 A 处,将速率降低到适当数值,使飞船沿着地心为焦点的椭圆运动,椭圆与地球表 面在 B 点相切。图示,已知地球半径为 R0,求航天飞机从 A 点到 B 点的运动时间。(03 上交 大)

提示 开普勒第三定律。 答案

1 4 2

(1 ?

R0 1 2 ) T R

解答 航天飞机的椭圆轨道的半长轴 a=(R+R0)/2 ,周期为 T ? 。由开普勒第三定律得

R 3 a 3 ? T 2 T ? 2 。飞船从 A 到 B 的时间为 t ?

R T? 1 ? (1 ? 0 )1 2 T 。 2 4 2 R

④练习 104 要发射一颗探测太阳的宇宙飞船,使其具有与地球相等的绕日运动周期, 以便发射 1 年后又与地球相遇而发回探测资料。 由地球发射这一艘宇宙飞船时, 应使其具有 多大的绕日速度?已知地球绕日公转的速度为 v0。 提示 飞船单位时间内扫过的面积 ?ab / T 。 答案 v0 解答 图示,圆为地球绕日运动轨道,椭圆为飞船运动轨道,O 是椭圆的一个焦点,由 于飞船与地球有相等的绕日周期,则椭圆的半长轴 a=R,日地距离 R 为图中 OP, O ? 为椭圆 的另一个焦点, P 是椭圆半短轴 b 的端点。 设想飞船从 P 点出发, 经过 ?t , OP 连线转过 ? ? , 扫过的面积 ?S 椭 ? v?tb 2 ,地球与太阳的连线扫过的面积 ?S圆 ? v0 ?tR 2 。令 T=1 年,

由开普勒第二定律得

?S 椭 ?t

?

vb ?ab ?S圆 v0 R ?R 2 ? ? ? , 。解得 v=v0.过 P 点可以有多 2 T ?t 2 T

个短半轴不同的以 R 为长半轴、 太阳为焦点的椭圆, 以他它们作为飞船轨道都满足题述要求, 但是速度方向在 P 点不同。所以从 P 点发射的飞船,其发射方向不是唯一的,速度大小是确 定的。

49

③练习 105 图示,在一口地质勘探竖井的底部测出的重力加速度比地面的重力加速度 小 0.1%。若将地球视为均质球体半径为 R=6400km。 (1)试估计竖直井有多深?(2)试想竖 直井沿地轴贯穿南北两极,一个从井口自由落体的物体将怎样运动?

提示 质点 m 处在到地心 r<R 的地方,其受到的引力由半径 r 的球质量全部集中到球心 对 m 的作用力。在地心处的重力加速度为零。 答案 (1)6.4km (2)简谐运动 解答 (1)根据万有引力定律得,地球内部的重力加速度表示为 g ? ? 4??Gr 3 ? r , 所以

(1- 1 103 )g R ? h g? r -3 ? , ,h=10 R=6.4km。 ? g R g R
(2) 物体下落的加速度就是重力加速度的瞬时值。 物体以地心为平衡位置做简谐运动。 以地球球心指向物体开始下落位置的方向为位移正方向,则 G M ? m r 2 ? ma,黄金替换

GM ? R 2 g ,M ? ? ?V ?

M 4?r 3 。考虑到方向有 a ? - gr R ? -kr 。式中负号表示 4?R 3 3 3

加速度方向与位移反向,并与近地卫星在地轴上的投影的运动等效。其振幅、周期、最大速 度和加速度依次为 A=R,T=2 ? R g ,amax=g,vmax= Rg 。 x ③练习 106 如图,P、Q 为某地区水平地面上的两点,在 P 点 P Q 正下方一球形区域内储藏有石油, 假定区域周围岩石均匀分布, 密 d 度为 ρ ,石油密度远小于 ρ ,可将上述球形区域视为空腔。如果 没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向,当存 R O 在空腔时, 该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏 高,重力回速度在原竖直方向(即 PO 方向)上的投影相对于正常 值的偏离叫做“重力加速度反常”。 为了探寻石油区域的位置和石油储量, 常利用 P 点到附 近重力加速度反常现象,已知引力常数为 G (1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径) ,PQ=x,求空腔所引起的 Q 点 处的重力加速度反常。 (2)若在水平地面上半径 L 的范围内发现:重力加速度反常值在 δ 与 kδ (k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半为 L 的范围的中心,如果这种 反常是于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。 (09 全 国) 提示 均匀球体内部重力加速度的表达式,重力加速度在竖直方向上的分量。

50

L G ?Vd L2 k? d ? V ? 2 2 3/ 2 G ? (k 2/ 3 ? 1) k 2/ 3 ? 1 , 答案(1) (d ? x ) (2)
解答 (1)如果将近地表的球形空腔填满密度为

? 的岩石,则该地区重力加速度便回到
G Mm ? m?g r2 来

正常值。因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力

计算,式中的 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量, M ? ?V 。而 r 是球形 空腔中心 O 至 Q 点的距离 r ? d ? x 。?g 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的 Q 点
2 2

处重力加速度改变的大小。 Q 点处重力加速度改变的方向沿 OQ 方向, 重力加速度反常 ?g 是

?

?g ? ?
这一改变在竖直方向上的投影

G ?Vd d ?g ? ? 2 ?g (d ? x 2 )3/ 2 , r 解得

? (2) 重 力 加 速 度 反 常 ?g 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为

? ?g ??max ?

G ?V d2 ,

? ?g ??min ?

G ?Vd (d 2 ? L2 )3/ 2 , ? ?g??max ? k? 、 ? ?g??min ? ? ,

d?
地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

L2 k? V? G ? (k 2/ 3 ? 1) 。 k 2/ 3 ? 1 ,
L

③107 图示, 质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下绕 O 点做匀速圆周运动, AB 间距为 L,已知 ABO 三点共线,A 和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为 G。 (1)求周期。 (2) 在地月系统中,将地月看做上述星体 A 和 B,月球绕其轨道中心运动周期为 T1,在近似处理 时,认为月球绕地球做圆周运动,计算的周期为 T2,求 T1/T2。 (11 苏大)

提示 A、B 绕质心圆周运动 答案 (1) T ? 2? 解答

L3 G ( M ? m) (2)1.01

(1)A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动,有相同的周期和角速度。

m? 2 r ? M? 2 R,r ? R ? L 。解得 R ? mL/(M ? m),r ? ML / (M ? m) 。对 A 为研究对

51

2 象 GmM/L = 4? 2 mML T 2 (M ? m) , 化简得 T ? 2?

L3 G ( M ? m) 。 (2) 将地月看成双星,

3 由 上 式 得 T1 ? 2? L G ( M ? m) 。 将 月 球 看 做 绕 地 心 做 圆 周 运 动 有

GMm/L2 ? 4? 2 mL/ T 2 ,化简得 T2 ? 2? L3 / GM 。
所以两种周期之比为 T1 / T2 ? (M ? m)/M =1.01。 ④108 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体。天文学家观测河外星系麦哲 伦云时,发现了 LMCX-3 双星系统,它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成,两星视为质点, 不考虑其它天体的影响,A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动,它 们之间的距离保持不变,如图所示。引力常量为 G,由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期。 (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m′的星 体(视为质点)对它的引力,设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2。试求 m′。 (2) 求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式(3)恒星演化 到末期,如果其质量大于太阳质量 ms 的两倍,它将有可能成为黑洞。若可见星 A 的速率 v 5 4 =2.7×10 m/s,运行周期 T=4.7π ×10 s,质量 m1=6ms,试通过估算来判断暗星 B 有可能 30 是 黑 洞 吗 ( ms = 2.0 × 10 kg ) ? (06 天津) 提示 A、B 绕质心 O 做匀速圆周运动
3 3 m2 m2 v3T m= ? (m1 ? m2 ) (2) (m1 ? m2 )2 2? G (3)可能 答案 (1) /

解答(1)设 A、B 的圆轨道半径分别为 r1、r2,由题意知,A、B 做匀速圆周运动的角速 相同,其为 ω 。则 G

m1m2 m m? ? G 1 2 ? m1? 2 r1 ? m2? 2 r 2 , r = r1 + r2 , 解 得 2 r r1

r=

(m1 ? m2 ) r1 , m2

m/ =

3 m2 (m1 ? m2 ) 。

3 m2 m1m/ v2 v3T vT G 2 ? m1 ? r1 r1 ,A 轨道半径 r1= 2? 。得 (m1 ? m2 )2 2? G 。 (2) (3)将 m1=6mI 代入 3 3 m2 m2 v3T ? ? 3.5mI 2 2 ( 6 m ? m ) ? 2 G (6 m ? m ) I 2 I 2 上式,得 , 。 设 m2 = nmI ( n > 0 ) ,得
3 m2 n 3 ? mI ? 3.5mI 2 m2 6 (6mI ? m2 ) 2 ( ? 1) (6mI ? m2 ) 2 的值随 n 的增大而增大, n 。 可见 试令 n=2,

52

n 6 ( ? 1) 2 得 n

mI ? 0.125mI ? 3.5mI
。n 必须大于 2,即暗星 B 的质量 m2 必须大于 2mI,结论:

暗星 B 有可能是黑洞。 ③ 109 逃逸速度大于光速的星体叫黑洞。设某黑洞的质量等于太阳的质量 m=1.98× 30 -29 3 10 kg,求它的可能最大半径。在目前天文学观测范围内,物质的平均密度为 10 kg/m ,如 果认为我们的宇宙是这样一个均匀答球体, 其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度 c,因此任何物体都不能脱离宇宙,问宇宙的半径至少多大?(13 苏大面试) 提示 第二宇宙速度大于光速。 答案

3c 2 8??G

解答 逃逸速度 v2 ? R<2Gm/c 。 质量 M ? ?
2

2Gm/R ,对于黑洞,其逃逸速度大于真空中的光速 c,v2>c,

4 3 ?R 代入速度 v2 表达式得 R ? 3c 2 8??G 。 3

解答 光子从质量 M=Ms 、半径为 R 的黑洞逃逸(即脱离黑洞引力的影响, 可认为离黑洞为 无穷远)时, 克服黑洞引力所做的功 w 是以光子能量 hγ (= m c )的减少为代价的。 若 W > mc , 则光子无论如何也无法从黑洞逃逸. 而 W 等于光子从黑洞表面逃逸到无穷远时, 光子和黑 洞 这 个 体 系 引 力 势 能 的 增 量 GMsm/R 。 故 当 mC <GMsm/R , 即 R<GMs/c 。 代 入 数 据 得
2 2

2

2

R ? 1.5 ?103 m 。

53


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