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2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题及参考答案








2011 年新知杯上海市初中数学竞赛参考答案? ?
? 一、填空题(每题 10 分,共 80 分)? ? 1、已知关于 x 的两个方程: x 2 ? x ? 3m ? 0 …①, x 2 ? x ? m ? 0 …②,其中 m ? 0 。 若方程①有一个根是方程②的一个根的 3 倍,则实数 m 的值是? ? ? ? ? ? ? ? 。 解:由题意设方程①、②分别有根 3a, a ,则 (3a ) 2 ? (3a ) ? 3m ? 0 ,即 3a 2 ? a ? m ? 0 , 且 a 2 ? a ? m ? 0 ,相减可得 2 a 2 ? 2 a ? 0 ,故 a ? 0,1 ,代入可得 m ? 0 或 ?2 。? ? 2、已知梯形 ABCD 中 AB ? CD , ?ABC ? 90? , BD ? AD , BC ? 5, BD ? 13 ,则 梯形 ABCD 的面积为? ? ? ? ? ? ? ? 。? 解 : 由 勾 股 定 理 CD ? 12 , 由 于 ?BDC ? ?ABD , 故 ?BDC ? ?ABD , 相 似 比 为

C

D

5

13

CD 12 , 由 ? DB 13 1 S ?BCD ? ? 5 ?12 ? 30 , 2

于 故

B
? ? 13 ?2 ? 1565 5 S ABCD ? ?1 ? ? ? ? ? 30 ? ? 65 。? 24 24 ? ? ? 12 ? ? ?
?

A

S ?ADB

? 13 ? ? ? ? S?BCD ,所以? ? 12 ?

2

3、从编号为 1, 2,3, 4,5, 6 的六张卡片中任意抽取三张,则抽出卡片编号都大于等于 2 的 概率为? ? ? ? ? ? ? ? 。? 解:总共有 C6 ? 20 种取法,三张编号都大于等于 2 的有 C5 ? 10 种,故概率为
3 3

10 1 ? 。? 20 2

? 4 、 将 8 个 数 ?7, ?5, ?3, ?2, 2, 4, 6,13 排 列 为 a , b, c, d , e, f , g , h , 使 得

(a ? b ? c ? d ) 2 ? (e ? f ? g ? h) 2 的值最小,则这个最小值为? ? ? ? ? ? ? ? 。?
解:设 x ? a ? b ? c ? d , y ? e ? f ? g ? h ,则 x ? y ? 8 。 x ? y ? 64 ? 2 xy ,因此要
2 2

?







水?

?







求 xy 尽 量 大 , 当 然 就 要 求 x, y ? 0 , 且 尽 量 接 近 。 由 于 无 法 凑 出 两 个 4 , 因 此

13 ? 5 ? 3 ? 2 ? 3 , 2 ? 4 ? 6 ? 7 ? 5 为最佳,所以 x 2 ? y 2 ? 32 ? 52 ? 34 为最小值。?
? 5、已知正方形 ABCD 边长为 4 , E , F 分别在 AB, BC 上, AE ? 3, BF ? 2 , AF , DE 交于 G ,则四边形 DGFC 的面积为? ? ? ? ? ? ? ? 。? ?

B 1 E K 3

2

F

2

C

解:如图作 E , G 作 AB 的垂线 EH , GK 。? 则 EH ?

H G

4

AE 3 HG EH 3 ? BF ? 。故 ? ? , AB 2 GA AD 8 8 3 12 因 此 GK ? ? ? , 所 以 S ?ABF ? 4 , 11 2 11 18 S ?ADE ? 6 , S ?AGE ? 。? 11 18 7 ? 因此 S DGFC ? 16 ? 4 ? 6 ? ? 7 。? 11 11

A

D

? ?

6 、 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?ACB ? 90? , P 是 ?ABC 内 一 点 , 使 得

PA ? 11, PB ? 7, PC ? 6 ,则 AC 边长为? ? ? ? ? ? ? ? 。?
C

解:如图,以 C 为中心将 P 顺时 针旋转 90? 到 P? 。 则 PP? ? 6 2 ,

6 P'

6 7 11 A P 7 B

因 此 AP ? AP? ? PP? , 故
2 2 2

?AP?P ? 90? , 因 此 ?CP?A ? 135? , 由 余 弦 定 理

AC ? 62 ? 7 2 ? 2 ? 6 ? 7 cos135? ? 85 ? 42 2

? 7、有 10 名象棋选手进行单循环赛,规定每场比赛胜方得 2 分,负方得 0 分,平局各得 1 分。比赛结束后发现每名选手得分各不相同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的

4 ,则第二名选手的得分是? ? ? ? ? ? ? ? 。? 5 解:每名选手参加 9 场比赛,每场平均分为,因此平均分为 9 分。后五名选手之间的小
循环有 C5 ? 10 场比赛,因此后五名选手得分总值 ? 2C5 ? 20 ,故第二名得分 ? 16 。由于
2 2

第一名最多得 18 分,所以第二名最多得 17 ,而他的得分是偶数,故实际得分 16 。? ?
?







水?

?







8 、已知 a, b, c, d 都是素数(可以相同) ,并且 abcd 是 35 个连续正整数之和,则

a ? b ? c ? d 的最小值为? ? ? ? ? ? ? ? 。?
解: 35 个连续正整数之和为 35 x ( x 是正中间的那个数) ,因此 a, b, c, d 中有 5, 7 ,不 妨设 a ? 5, b ? 7 ,则 x ? cd 。由于中间数 x ? 18 ,故 cd ? 18 ,现在要求 c ? d 最小,故

3 ? 7,5 ? 5 满足要求。因此 a ? b ? c ? d 的最小值为 5 ? 7 ? 10 ? 22 。?
? ? 二、解答题(第 9、10 题每题 15 分;第 11、12 题每题 20 分,共 70 分)? ? ? 9、如图,矩形 ABCD 的对角线交于 O ,已知 ?DAC ? 60? , ?DAC 的平分线与 DC 交于 S ,直线 OS , AD 相交于 L ,直线 BL 与 AC 交于 M 。求证: SM ? LC 。?

L

证明:不妨设 AD ? a ,由已知 ?ADO 是正三 角形, 因此 ?ADS ? ?AOS , 故 AL ? AC ? 2a , 所以 LD ? BC ? a , 因此 BCLD 是平行四边形, 故 BD ? LC 。?

D

S

?

C M O B

60°

? ? A
? ?

CM BC 1 ? ? , AC ? 2a , 所 以 AM AL 2 2a 1 ,故 OM ? a 。? CM ? 3 3 CS AC CM 由角平分线定理 , 因 ? ?2? SD AD MO
由于

? 此 SM ? DO ,故 SM ? DB ,所以 SM ? LC 。 ?

10、求所有正整数组 a ? b ? c ? d ? e ? f ,使得 a ! ? b !? c !? d !? e !? f ! 。?

故a ? b, 因此也有 b ? a ? 1 。 而 a ? b ! ? a ? ( a ? 1)! ? a ! ? 5b ! , 所以 a ? 5 。 解: 由已知 a ! ? b ! , 又因为 a ! ? 5 f ! ? 5 ,所以 a ? 3 。? ? 若 a ? 3 ,则 b ? 2 ,又由于 3! ? 5b ! ,故 b ? 2 ,只能有 b ? 2 ,因此 4 ? c !? d !? e !? f !

也只能有 c ? d ? e ? f ? 1 ,得到一组解 (a, b, c, d , e, f ) ? (3, 2,1,1,1,1) 。? ? 若

a?4



4! ? b !? c !? d !? e !? f ! ? 4e !





e?2







b !? c !? d !? e !? f ! ? 3 ? 3!? 2 ? 2! ? 4! ? a ! ,矛盾。?
?







水?

?







若 a ? 5 , 则 b ? 4 , 由 于 5! ? 5b ! , 因 此 b ? 4 , 并 且 等 号 成 立 。 故 只 能 有

b ? c ? d ? e ? f ? 4 ,得到一组解 (a, b, c, d , e, f ) ? (5, 4, 4, 4, 4, 4) 。?
? ? ? 11、①求证:存在整数 x, y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2022 。?
2 2

综上所述, (a, b, c, d , e, f ) ? (3, 2,1,1,1,1), (5, 4, 4, 4, 4, 4) 是全部解。?

②是否存在整数 x, y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2011 ?请证明你的结论。?
2 2

证明:① x ? 43, y ? 1 满足 x ? 4 xy ? y ? 2022 。?
2 2

②由于 x ? 0,1(mod 4) , y ? 0,1(mod 4) ,所以 x ? 4 xy ? y ? 0,1, 2(mod 4) ,由
2 2 2 2

于 2011 ? 3(mod 4) ,所以不存在满足 x ? 4 xy ? y ? 2011 的整数 x, y 。?
2 2

? 12、整数 n ? 1 ,它的所有不同的素因子为 p1 , p2 ,..., pk ,对于每个 1 ? i ? k ,存在正 整数 ai 使得 pi i ? n ? pi i 。记 p ( n) ? p1 1 ? p2 2 ? ... ? pk k ,例如 p (100) ? 2 ? 5 ? 89 。 ?
a a a a a ?1

6

2

①试找出一个正整数 n ,使得 p ( n ) ? n ;? ②证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p (n) ? 证明:由已知 pi i ?
a

11 n 。? 10

? 1 n 1 1 ? ,因此 p ( n) ? n ? ? ? ... ? ? 。? pi pk ? ? p1 p2

由于

1 1 1 1 ? ? ? ? 1.1 ,因此只要 n ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 k ? 210k ,则 n 的素因子中就含有 2 3 5 7

? 1 1 1 ? ?1 1 1 1? 2,3,5, 7 ,所以 p ( n) ? n ? ? ? ... ? ? ? n ? ? ? ? ? ? 1.1n 。? pk ? ?2 3 5 7? ? p1 p2
综上所述,存在无穷多个正整数 n ,使得 p (n) ?

11 n 。? 10

?







水?

?


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