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2.4.1 抛物线及其标准方程A


〖人教版高中数学选修 2—1〗

第二章

圆锥曲线与方程

四.抛物线 §2.4.1 抛物线及其标准方程

第 1 课时 抛物线的定义及其标准方程(1) 教学过程 一.尝试探索、形成概念 【探索 1】 把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,把一块三角板的一 条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板另一条直角边上 的一点 P ,截取绳子的长等于从点 M 到直角顶点 C 的长(即点 P 到直线 l 的距离), 并且把绳子的另一端固定在画板上的一点 F .

H

C

M P F

用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角 板紧靠着直尺边上下滑动,这样铅笔尖就在画板上描出一条曲线.

定义

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 的距离相等的点

的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.

二.抛物线标准方程的推导 【探索 1】 由于问题已经给出了抛物线上的点满足的几何条件,故可以用

直接法求出抛物线的方程,如何求出抛物线的方程呢?

y l M l

y M l

y M

O

x

O

x

O

x







⑴建立坐标系 取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴, 以线段 KF 的 x 轴与 l 相交于点 K , 垂直平分线为 y 轴.
l H y M

K O

F

x

? 设 | KF |? p ,那么焦点 F ? ? , 0 ? ,准线方程为: x ? ? 2 . 2 p
p

?

?

设点 M ? x, y ? 是抛物线上任意一点,点 M 到 l 的距离为 d . ⑵由抛物线的定义,抛物线就是集合
P ? ?M || MF |? d? .

⑶ ∵ ∴

p p | MF |? ( x ? ) 2 ? y 2 , d ?| x ? | . 2 2

p p ( x ? ) 2 ? y 2 ?| x ? | . 2 2

⑷化简得: y 2 ? 2 px( p ? 0)



方程①称为抛物线的标准方程.它表示的抛物线焦点在 x 轴的正轴上,坐标
? 为? ? , 0 ? ,准线方程为 x ? ? 2 . 2 p
p

?

?

【思考】 ⑴ p 的几何意义是什么?

⑵上述方程①是开口向右的抛物线的标准方程,如果抛物线的开口向上、向 左、向下,抛物线的标准方程、焦点坐标及准线方程是什么呢? 标准 方程
y2 ? 2 px ? p ? 0?

y2 ? ?2 px ? p ? 0?

x2 ? 2 py ? p ? 0?

x2 ? ?2 py ? p ? 0?

图形

焦点 坐标 准线 方程 p 的几 何意义

⑶在抛物线的标准方程中, “标准”的含义是什么?它与椭圆、双曲线有什 么区别?

三.抛物线的定义与标准方程的应用 1.定义的应用 【例 1】 ⑴已知动点 M 的坐标 ? x, y ? 满足 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ?
2 2

| x ? y ? 1| , 则点 M 的 2

轨迹是 A.圆; B.椭圆;
1

( C.双曲线;



D.抛物线.

⑵平面上动点 M 到定点 F ? ? , ?2 轨迹方程是

3 ? 则动点 M 的 0 ? 的距离比它到 x ? ? 的距离小 1, 2 ?



【例 2】 点 A 的坐标为 ?3, 2? , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上, 且 | PA | ? | PF | 取最小值,则点 P 的坐标为 A. ? 0, 0? ; B. ?1, 2 ? ; C. ? 2, 2? ; (
?


1 ?

? D. ? ? , 2? . 2

【变式】
F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点, 1. 已知点 A (3, 2), 点 P 在抛物线上, 则 | PA | ? | PF |

的最小值为________,最大值为 ________.

2.标准方程的简单应用

【例 3】 是
1 2

⑴二次函数 y ? ax2 ? a ? 0? 的图象为什么是抛物线?它的焦点坐标 ;准线方程是 . ;准线方程是 .

⑵抛物线 y 2 ? x ? 0 的焦点坐标是

点评:抛物线的焦点坐标和准线方程,都是相对于标准方程而言,只有将抛 物线的方程“标准化” ,才能确定焦点坐标和准线方程.

【变式】 1. (2015 年陕西文科)若抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x2 ? y 2 ? 1的 一个焦点,则 p ? .

四.小结 1.熟练掌握抛物线的定义,注意与椭圆和双曲线的定义加以比较. 2.掌握抛物线的四种形式,理解 p 的几何意义. 3.掌握抛物线的标准方程的求法,熟练使用抛物线的定义解题.


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