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比较幂的大小的常用方法

比较幂的大小的五技巧
在近年来各地的各类考题中, 常常出现有关比较幂的大小的试题. 因其数据大,常令人望“题”兴叹.那么我们又该如何去迅速准确地解 答它呢?同学们不妨从以下几个方面考虑. 一 化成同指数法 例 1 已知 a=3 55 ,b=4 44 ,c=5 33 ,则有( )

? A? a<b<c, ?B ? c<b<a, ?C ? c<a<b , ?D ? a<c<b
(1995 年全国初中数学竞赛试题) 解:∵a=3 55 = ?35 ? =243 11 ,b=4 44 = ?4 4 ? =256 11 ,c=5 33 = ?5 3 ? =125 11
11 11 11

又∵125<243<256 ∴c<a<b. 二 开方法 例 2 3 50 ,4 40 ,5 30 的大小关系是( ) 故选 C.

? A? 3 50 <4 40 <5 30 ,?B ? 5 30 <3 50 <4 40 ,?C ? 5 30 <4 40 <3 50 ,?D ? 4 40 <5 30 <3 50
(2001 年天津市初中竞赛试题) 解:∵
10

350 ? 35 ? 243, 10 4 40 ? 44 ? 256, 10 530 ? 53 ? 125.

又∵125<243<256. ∴ 10 530 < 10 350 < 10 4 40 . ∴5 30 <3 50 <4 40 . 三 乘方法 故选 B.

1 ?5 ? 1 ?3 ?1?4 例 3 设 m= ? n、 p 的大小关系是 ( ? ? ,n= ? ? ,p= ? ? ,则 m、 ?3? ?4? ?5?

1

1

1



? A? m<n<p, ?B ? m<p<n, ?C ? n<p<m, ?D ? p<n<m
(第五届全国部分省市初中数学通讯赛试题)
1 1 1? 1 1 ?1? 20 解:∵m = ? ,而 < ? ? ? ,p = ? ? ? 3125 81 81 3125 ? 3? ?5?
20

4

5

∴p 20 <m 20 .

∴p<m.

3 4 1 1 1 1 1? ?1? 12 又∵p 12 = ? = , n = ,而 < , ? ? ? ? =

?5?

125

?4?

256

256

125

∴n 12 <p 12 . ∴n<p<m. 四 例4 求商法

∴n<p. 故选 C

已知 P=

999 119 , Q= ,那么 P、Q 的大小关系是( 9 99 9 90



(1995 年“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)
P 1 999 9 90 9 9 ? 119 ? 9 90 解:∵ ? P ? ? 99 ? 9 = 99 =1 Q Q 9 11 9 ? 119

∴P=Q. 五 放缩法

故选 B.

例 5 15 16 与 33 13 的大小关系是 15 16 (2002 年“希望杯”初二竞赛试题)

33 13 (填 “>” 、 “<” 或 “=” )

解:∵15 16 <1616 ? ?2 4 ? ? 264 < 265 ? ?25 ? ? 3213 <33 13 ,
16 13

∴填“<”号.


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