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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第2节]


[课堂练通考点] 1.(2014· 开封模拟)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架 歼15 飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不 同的着舰方法有( A.12 种 C.24 种 ) B.18 种 D.48 种

解析:选 C 将甲、乙捆绑,与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列,有 A2 A2 2· 2种排
2 2 2 法.而后将丙、丁进行插空,有 3 个空,有 A2 A2· A3=24 种排法. 3种排法,故共有 A2·

2.(2013· 四川高考)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共 可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是( A.9 C.18 ) B.10 D.20

a a a 解析:选 C lg a-lg b=lg ,lg 有多少个不同值,只要看 不同值的个数,所以共有 b b b A2 5-2=20-2=18 个不同值. 3.(2013· 台州模拟)甲、乙两人计划从 A,B,C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所 选景点不全相同的选法共有( A.3 种 C.9 种 ) B.6 种 D.12 种

解析:选 B 本题用排除法,甲、乙两人从 A,B,C 三个景点中各选两个游玩,共有
2 2 C3 · C3=9 种,但两人所选景点不能完全相同,所以排除 3 种完全相同的选择,故有 6 种,选

B. 4. (2014· 江西八校联考)将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息, 假定每个人可以选择任一房间, 且选择各个房间是等可能的, 则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相邻的安排方式的种数为________. 解析:先将 5 人分成三组(1,1,3 或 2,2,1 两种形式),再将这三组人安排到 3 个房间,然 后将 2 个房间插入前面住了人的 3 个房间形成的空档中即可,故安排方式共有 C3 C5C3C1? 3 2 ?C5C4 + A3· C4=900(种). A2 ? A2 ?· 2 2 答案:900 5.(2014· 浙江高考)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧, 则不同的排法共有________种(用数字作答).
1 1 3 2 2 1

3 1 2 3 解析:“小集团”处理,特殊元素优先,C6 C2A2A3=480.

答案:480 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 开封模拟)把标号为 1,2,3,4,5 的同色球全部放入编号为 1~5 号的箱子中,每个 箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中,则所有的放法种数为( A.36 C.12 B.20 D.10 )

解析:选 C 依题意,满足题意的放法种数为 A2 A3 2· 3=12,选 C. 2.(2013· 昆明重点高中检测)某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人发言,要 求甲、乙 2 人至少有一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同 的发言顺序种数为( A.720 C.600 ) B.520 D.360

1 3 4 解析:选 C 根据题意,分 2 种情况讨论:若甲、乙其中一人参加,有 C2 · C5· A4=480 2 2 2 3 种; 若甲、 乙 2 人都参加, 共有 C2 C2 A4 其中甲、 乙相邻的情况有 C2 · C5· A2· A3 2· 5· 4=240 种发言顺序,

=120 种,故有 240-120=120 种.则不同的发言顺序种数为 480+120=600. 3.(2013· 昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验,要求 2 艘攻击 型核潜艇一前一后, 3 艘驱逐舰和 3 艘护卫舰分列左右, 每侧 3 艘, 同侧不能都是同种舰艇, 则舰艇分配方案的方法数为( A.72 C.648 ) B.324 D.1 296

6 解析:选 D 核潜艇排列数为 A2 2,6 艘舰艇任意排列的排列数为 A6,同侧均是同种舰 3 2 6 3 3 艇的排列数为 A3 3A3×2,则舰艇分配方案的方法数为 A2(A6-A3A3×2)=1 296.

4.(2013· 合肥调研)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现 将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( A.24 C.36 B.28 D.48 )

2 3 解析:选 D 穿红色衣服的人相邻的排法有 C1 4A2A3=48 种,同理穿黄色衣服的人相邻

的排法也有 48 种.而红色、黄色同时相邻的有 A2 A2 A3 2· 2· 3=24 种.故穿相同颜色衣服的不相 邻的排法有 A5 5-2×48+24=48 种. 5.(2014· 大连模拟)把五个标号为 1 到 5 的小球全部放入标号为 1 到 4 的四个盒子中, 不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中,则不同的放法有( A.36 种 B.45 种 )

C.54 种

D.96 种

解析: 选 A 先把 5 号球放入任意一个盒子中有 4 种放法, 再把剩下的四个球放入盒子 中,根据 4 的“错位数”是 9,得不同的放法有 4×9=36 种. 6.(2014· 哈师大附中模拟)将 4 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,若每班至少 安排 1 名教师,则不同的分配方案种数为( A.12 C.72 ) B.36 D.108

解析:选 B 本题是定向分配问题.由于元素个数多于位置个数,故先分堆再分位置, 分两步完成,第一步,从 4 名教师中选出 2 名教师分成一组,其余 2 名教师各自为一组,共
3 有 C2 4种选法,第二步,将上述三组与 3 个班级对应,共有 A3种,这样,所求的不同的方案 3 种数为 C2 4A3=36.

7.(2013· 广州调研)某高校从 5 名男大学生志愿者和 4 名女大学生志愿者中选出 3 名派 到 3 所学校支教(每所学校一名志愿者),要求这 3 名志愿者中男、女大学生都有,则不同的 选派方案共有( A.210 种 C.630 种 ) B.420 种 D.840 种

解析:选 B 从这 9 名大学生志愿者中任选 3 名派到 3 所学校支教,则有 A3 9种选派方
3 案, 3 名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有 A3 故符合条件的选派方案有 A3 5+A4种, 9- 3 (A3 5+A4)=420 种.

8.(2013· 开封模拟)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位 女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A.60 C.42 解析:选 B 第一步选 2 女相邻排列 B.48 D.36 C2 A2 3· 2,第二步另一女生排列
2 A2 ,第三步男生甲插

)

1 2 2 1 在中间,1 种插法,第四步另一男生插空 C4 ,故有 C2 A2 · A2· C4=48 种不同排法. 3·

9.(2014· 潍坊检测)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次 入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的 入园顺序排法种数为________.(用数字作答) 解析:第一步:将两位爸爸排在两端有 2 种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位 妈妈任意排在中间的三个位置上有 A3 3种排法;第三步:将两个小孩排序有 2 种排法.故总 的排法有 2×2×A3 3=24(种). 答案:24 10.(2013· 石家庄模拟)有 4 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有 1 人参加,每名同学只参加一项比赛,另外甲同学不能参加跳舞比赛,则不同的参赛方案的种

数为________(用数字作答).
2 2 解析:依题意,当甲 1 人一组时,共有 C1 2C3A2=12 种不同参赛方式; 当甲和另 1 人 1 2 一组时,共有 C1 3A2A2=12 种不同参赛方式,所以共有 24 种不同参赛方式.

答案:24 11.某公司计划在北京、上海、广州、南京 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同 一个城市投资的项目不超过 2 个,则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答). 解析:由题意知按选择投资城市的个数分两类:①投资 3 个城市,每个城市只投资 1 个项目,有 A3 4种方案;②投资 2 个城市,其中一个城市投资 1 个项目,另一个城市投资 2 个项目.即先从 3 个项目中选 2 个看作 1 个元素(投资在某一个城市),另一个项目看作 1 个
2 元素(投资在另一个城市),然后把这 2 个元素在 4 个城市里进行选排,这样有 C2 3A4种方案; 2 2 所以该公司共有不同的投资方案种数是 A3 4+C3A4=60.

答案:60 12.(2014· 重庆模拟)将 7 个相同的球放入 4 个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法 共有________种. 解析:将 7 个相同的球放入 4 个不同的盒子,即把 7 个球分成 4 组,因为要求每个盒子 都有球,所以每个盒子至少放 1 个球,不妨将 7 个球摆成一排,中间形成 6 个空,只需在这 6 个空中插入 3 个隔板将它们隔开,即分成 4 组,不同的插入方法共有 C3 6=20 种,所以每 个盒子都有球的放法共有 20 种. 答案:20 第Ⅱ组:重点选做题 1.从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有几个? (3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个? 解:(1)分三步完成:第一步,在 4 个偶数中取 3 个,有 C3 4种情况;第二步,在 5 个奇
7 数中取 4 个,有 C4 5种情况;第三步,3 个偶数,4 个奇数进行排列,有 A7种情况.所以符 4 7 合题意的七位数有 C3 4C5A7=100 800 个. 4 5 3 (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有 C3 4C5A5A3=14 400 个. 4 3 4 2 (3)上述七位数中, 3 个偶数排在一起, 4 个奇数也排在一起的有 C3 4C5A3A4A2=5 760 个.

2.有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法? 解:(1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为

“4 个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”,即把 4 个球分成 2,1,1 的三 组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由分步乘法计
2 1 2 数原理,共有 C1 4C4C3×A2=144 种.

(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球, 也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放 球”是同一件事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C2 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序 4种方法,
2 C2 4C2 2 1 2 不均匀分组有 C3 C A 种方法;第二类有序均匀分组有 · A 种方法. 2 4 1 2 A2 2 2 C2 4C2 2? 3 1 2 ? C C A + A2 =84 种. 2 故共有 C2 4 ? 4 1 2 A2 · ?


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