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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.3.2双曲线的简单几何性质]

第二章

2.3

第 2 课时

一、选择题 x2 y2 x2 1.(2014· 山东理,10)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- a b a y2 3 =1,C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( b2 2 A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 [答案] A a2-b2 2 c2 a2+b2 c2 1 2 [解析] e2 , 2 ,e2= 2= 1= 2= a a a a2
2 2 ∴e1 · e2=

)

B. 2x± y=0 D.2x± y=0

a4-b4 b 3 b 2 =1-( )4= ,∴ = , a4 a 4 a 2

2 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x. 2 2.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( 1 A.- 4 C.4 [答案] A x2 [解析] 双曲线方程化为标准形式:y2- =1, 1 - m 1 则有:a2=1,b2=- , m 由题设条件知,2= 1 1 - ,∴m=- . m 4 ) B.-4 1 D. 4 )

y2 3.(2013· 北京文,7)双曲线 x2- =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( m 1 A.m> 2 C.m>1 [答案] C [解析] 双曲线离心率 e= 1+m> 2,所以 m>1,选 C. B.m≥1 D.m>2

x2 y2 4.(2014· 鱼台一中高二期中)以椭圆 + =1 的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的 4 2

双曲线方程为( x2 y2 A. - =1 2 2 x2 C. -y2=1 4 [答案] A

) x2 y2 B. - =1 4 2 x2 D. -y2=1 2

x2 y2 [解析] 椭圆 + =1 中, a=2, c= 2, 由条件知, 双曲线中焦点为(± 2,0), 顶点为(± 2, 4 2 0),∴选 A. x2 y2 5.(2014· 石家庄市质检)已知 F 是双曲线 2- 2=1(a>0)的右焦点,O 为坐标原点,设 3a a P 是双曲线 C 上一点,则∠POF 的大小不可能是( A.15° C.60° [答案] C 3 [解析] 双曲线的渐近线方程为 y=± x,∴渐近线的倾斜角为 30° 或 150° , 3 ∴POF 不可能等于 60° . x2 y2 6.(2014· 吉林延边州质检)已知双曲线 - =1 的一个焦点在圆 x2+y2-4x-5=0 上, 9 m 则双曲线的渐近线方程为( 3 A.y=± x 4 2 2 C.y=± x 3 [答案] B [解析] ∵方程表示双曲线,∴m>0,∵a2=9,b2=m, ∴c2=a2+b2=9+m,∴c= 9+m, ∵双曲线的一个焦点在圆上,∴ 9+m是方程 x2-4x-5=0 的根,∴ 9+m=5,∴m =16, 4 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,故选 B. 3 二、填空题 7.若双曲线 x2 y2 3 + =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标是 4 m 2 ) 4 B.y=± x 3 3 2 D.y=± x 4 )

B.25° D.165°

______________________. [答案] ( 7,0)(- 7,0)

[解析] 由双曲线方程得出其渐近线方程为 y=± x2 y2 为 - =1,从而得到焦点坐标( 7,0)(- 7,0). 4 3

-m x,∴m=-3,求得双曲线方程 2

9 8.(2013· 泗阳县模拟)两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 5,且 a>b,则双 2 x2 y2 曲线 2- 2=1 的离心率为________. a b [答案] 41 5

9 [解析] ∵两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 5,且 a>b, 2 a+b 9 ? ? 2 =2, ∴? ab=2 5, ? ?a>b,

解得 a=5,b=4,

x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1,∴c= 25+16= 41, 25 16 x2 y2 c 41 ∴双曲线 2- 2=1 的离心率 e= = . a b a 5 9.已知动圆与⊙C1:(x+3)2+y2=9 外切,且与⊙C2:(x-3)2+y2=1 内切,则动圆圆 心 M 的轨迹方程为________. [答案] x2 y2 - =1(x≥2) 4 5

[解析] 设动圆圆心 M 的坐标为(x,y),半径为 r, 则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1, ∴|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4<|C1C2|=6, 由双曲线的定义知,点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支,且 2a=4,a=2, x2 y2 双曲线的方程为: - =1(x≥2). 4 5 三、解答题 10.双曲线与圆 x2+y2=17 有公共点 A(4,-1),圆在 A 点的切线与双曲线的渐近线平 行,求双曲线的标准方程. 1 [解析] ∵点 A 与圆心 O 连线的斜率为- , 4 ∴过 A 的切线的斜率为 4. ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 4x. y2 设双曲线方程为 x2- =λ. 16

1 255 ∵点 A(4,-1)在双曲线上,∴16- =λ,λ= . 16 16 x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 255 255 16

一、选择题 x2 y2 11.(2014· 银川九中一模)已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,其一 2 b → → 条渐近线方程为 y=x,点 P( 3,y0)在双曲线上,则PF1· PF2=( A.-12 C.0 [答案] C [解析] 由渐近线方程为 y=x 知, b =1,∴b= 2, 2 B.-2 D.4 )

∵点 P( 3,y0)在双曲线上,∴y0=± 1, y0=1 时,P( 3,1),F1(-2,0),F2(2,0), → → ∴PF1· PF2=0, → → y0=-1 时,P( 3,-1),PF1· PF2=0,故选 C. 12.(2013· 人大附中月考)已知 F1、F2 为双曲线的焦点,以 F1F2 为边作正三角形,若双 曲线恰好平分另外两边,则双曲线的离心率为( A.1+ 3 1+ 3 C. 2 [答案] A [解析] 设以 F1F2 为边的正三角形与双曲线右支交于点 M, 在 Rt△MF1F2 中可得, |F1F2| =2c,|MF1|= 3c,|MF2|=c,由双曲线的定义有|MF1|-|MF2|=2a,即 3c-c=2a,所以双 c 2 曲线的离心率 e= = = 3+1,故选 A. a 3-1 13.(2014· 湖北理,9)已知 F1、F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点, π 且∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3 4 3 A. 3 C.3 [答案] A 2 3 B. 3 D.2 ) ) B.1- 3 1- 3 D. 2

[解析] 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2, π 2 2 椭圆、 双曲线的离心率分别为 e1, e2, 依题意得(2c)2=r2 ∴4c2=r2 1+r2-2r2r2cos , 1+r2-r1r2, 3
? ? ?r1+r2=2a1, ?r1=a1+a2, ∵? ∴? ?r1-r2=2a2. ?r2=a1-a2. ? ?

1 1 a1+a2 r1 ∴ + = = , e1 e2 c c
2 r2 4r1 4 1 令 m= 2= 2 2 = c r1+r2-r1r2 r2 r2 1+? ?2- r1 r1



4 , r2 1 2 3 ? - ?+ r1 2 4

r2 1 16 当 = 时,mmax= , r1 2 3 r1 4 3 从而 取最大值 . c 3 二、填空题 x2 y2 14.(2014· 三峡名校联盟联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x- a b x2 y2 2y=0,则椭圆 2+ 2=1 的离心率 e=________. a b [答案] 3 2

b 1 [解析] 由条件知 = ,即 a=2b, a 2 ∴c2=a2-b2=3b2,c= 3b, c 3b 3 ∴e= = = . a 2b 2 x2 y2 15.(2014· 山西师大附中高二期中)从双曲线 - =1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=9 的切 9 16 线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 |MO|-|MT|=________. [答案] 1 1 [解析] 设 F2 为椭圆右焦点,则|OM|= |PF2|,|PF|-|PF2|=6. 2

∵FT 是⊙O 的切线,∴|FT|=4, 1 ∴|MT|=|MF|-|FT|= |PF|-4, 2 1 1 ∴|MO|-|MF|= |PF2|- |PF|+4 2 2 1 =4- (|PF|-|PF2|)=1. 2 三、解答题 x2 y2 16.若 F1,F2 是双曲线 - =1 的左、右两个焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2| 9 16 =32,求∠F1PF2 的大小. [ 分析] 条件给出了 |PF1|· |PF2|= 32,自然联想到定义式 ||PF1|- |PF2||= 2a= 6,欲求∠

F1PF2 可考虑应用余弦定理. [解析] 由双曲线的方程,知 a=3,b=4,所以 c=5. 由双曲线的定义得, ||PF1|-|PF2||=2a=6. 上式两边平方得, |PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· |PF2|=100, 由余弦定理得, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2| = 100-100 =0, 2|PF1|· |PF2|

所以∠F1PF2=90° . [点评] 在双曲线的焦点三角形中, 经常运用正弦定理、 余弦定理、 双曲线定义来解题, 解题过程中,常对定义式两边平方探求关系. 17.已知双曲线的中心在原点,离心率为 2,一个焦点 F(-2,0) (1)求双曲线方程;

→ → (2)设 Q 是双曲线上一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若|MQ|=2|QF|,求 直线 l 的方程. [解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0), a2 b2 c 则有 e= =2,c=2,∴a=1,则 b= 3, a y2 ∴所求的双曲线方程为 x2- =1. 3 (2)∵直线 l 与 y 轴相交于 M 且过焦点 F(-2,0), ∴l 的斜率 k 一定存在,设为 k,则 l:y=k(x+2). 令 x=0 得 M(0,2k), → → ∵|MQ|=2|QF|且 M、Q、F 共线于 l, → → → → ∴MQ=2QF或MQ=-2QF, 4 2 → → 当MQ=2QF时,xQ=- ,yQ= k, 3 3 4 2 ? ∴Q? ?-3,3k?, y2 ∵Q 在双曲线 x2- =1 上, 3 ∴ 16 4k2 21 - =1,∴k=± , 9 27 2

→ → 当MQ=-2QF时, 同理求得 Q(-4,-2k)代入双曲线方程得, 4k2 3 16- =1,∴k=± 5, 3 2 则所求的直线 l 的方程为: y=± 21 3 5 (x+2)或 y=± (x+2). 2 2


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