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太原理工大学09级三本概率统计答案A

考试方式: …………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………

闭卷

太原理工大学现代科技学院
专业: 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六

概率论与数理统计 B 试卷
时间: 120 分钟 共 八 总 分 8页 七

A

09 级统考 考试日期:2011 年 1 月 21 号

一、填空题(每空3分,共 15 分) 1、甲乙二人各自独立地同时向同一目标射击,已知甲命中目标的概率是 0.7 ,乙命中目标的概率 是 0.8 ,则目标被命中的概率是 0.94 . 2、若 X 1 , X 2 为两个随机变量, D( X1 ) ? 5, 则 Cov( X 1 , X 2 ) ? ?1.5 . 3、设 X 1 , X 2 ,?, X n 为来自 N (?, ? ) 的样本, X 为样本均值,则 n(
2

(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计)

学号

D( X 2 ) ? 8, D( X1 ? X 2 ) ? 10 ,
X ??

?

) 2 服从的分布

为 ? 2 (1) . 4、设总体 X 的方差为 1 ,若测得其简单随机样本 ( X 1 , ? X 100 ) 的样本均值为 x ? 5 ,则总体数学 期望 E (X ) 的置信度为 95%的置信区间近似为 (4.804,5.196) (u0.025 ? 1.96) . 5、设随机变量 X 的方差为 2 ,则根据切比雪夫不等式有估计 P( X ? E( X ) ? 2) ?

姓名

1 . 2

专业班级

二、选择题(每题3分,共15 分) 1、随机变量 X ~ N (2, ? ),
2

P(0 ? X ? 4) ? 0.3, P( X ? 0) ? (C ) .
(B) 0.95 ;

(A) 0.65 ; (C ) 0.35 ;

(D) 0.25 .

2、设二维随机变量 ( X , Y ) 服从区域 G 上的均匀分布, G 为单位圆,则有 (A) .

(A) Cov( X , Y ) ? 0 ; (C ) ? ( X , Y ) ? 0 ;

(B) X , Y 相互独立;

(D) 边缘分布仍为均匀分布.

3、设随机事件 A 在第 i 次独立试验中发生的概率为 pi ( i ? 1, 2,?, n). m 表示事件 A 在 n 次试验
概率论与数理统计 A 第 1 页 共 5 页

中发生的次数,则对任意正数 ? ,恒有 lim P(
n ??

m 1 n ? ? pi ? ? ) ? ( A) . n n i ?1

(A) 1 ; (C ) 0.5 ;

(B) 0 ;

(D) 不可确定.
2

4、设 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 为总体 X ~ N (0 , 1) 的一个样本, X 为样本均值, S 为样本方差,则有

(D) .

(A) X ~ N (0 , 1) ;
(C ) X / S ~ t (n ? 1) ;

(B) n X ~ N (0 , 1) ;

(D) (n ? 1) X / ? X i2 ~ F (1, n ? 1) .
2 1 i ?2

n

5、设 ( X 1 , X 2 ) 是来自任意总体 X 的一个容量为2的样本,则在下列 E (X ) 的无偏估计中,最有效 的估计量是 (D) .

(A) (C )

2 1 X1 ? X 2 ; 3 3 2 3 X1 ? X 2; 5 5

(B)

1 3 X1 ? X 2 ; 4 4 1 1 X1 ? X 2 . 2 2

(D)

三、 (本题12分) 一盒乒乓球有 5 个新球, 3 个旧球。不放回抽取,每次任取一个,共取两次; (1) 求第二次才取到新球的概率; (2) 求在第二次取到新球的条件下,第一次取出也是新球的概率. 解:设 Ai 表示第 i 次取到新球 (i ? 1, 2) , 则则(1)第二次才取到新球的概率 P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 A1 ) ?

3 5 15 ? ? . 8 7 56

(10 分)

(2)在第二次取到新球的条件下,第一次取出也是新球的概率 P( A1 A2 ) ? 而 P( A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P ( A1 A2 ) ?

P( A1 A2 ) P( A2 )

5 4 3 5 5 ? ? ? ? . 8 7 8 7 8

5 4 ? P( A1 A2 ) 8 7 4 所以 P( A1 A2 ) ? ? ? . 5 P( A2 ) 7 8

(12 分)

四、 (本题 12 分)将一枚硬币连掷 3 次,以 X 表示 3 次投掷中出现正面的次数,以 Y 表示 3 次投掷
概率论与数理统计 A 卷第 2 页 共 5 页

中出现正面与反面次数之差的绝对值. …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… (1)写出 X 和 Y 的联合分布列; 解:联合分布列为 (2)计算 P(Y ? X ) 的值.

0
1

1

2

3

0

学号

3 8
0

3 8
0

0

3

1 8

1 8
( 10

(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计)

分)

姓名

1 P(Y ? X ) ? P(Y ? 1, X ? 0) ? P(Y ? 3, X ? 0) P(Y ? 3, X ? 1) ? P(Y ? 3, X ? 2) ? . ? 8
分 五、 (本题12分)已知随机变量 X 的密度函数为

( 12

其中 ? 为未知参数, ( X1 , X 2 ,? X n ) 为其一个简单子样.求 ? 的极大似然估计量. 解:

?(? ? 1)( x ? 5) ? f ( x) ? ? ?0

5? x?6 其它

(? ? ?1) ,

系 专业班级

L(? ) ? ? f ( xi ) ? ?(? ? 1)( xi ? 5)? ? (? ?1)n ?( xi ? 5)?
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

(8 分)

Ln( L(? )) ? nLn(? ? 1) ? ? ? Ln( xi ? 5)
i ?1

n

dLn( L(? )) n ? ? ? Ln( xi ? 5) ? 0 d? ? ? 1 i ?1 n ? 解之得: ? ? ?1 ? n ? Ln( X i ? 5)
n
i ?1

(10 分) (12 分)

学院

六、 (本题 12 分)游客乘电梯到电视塔顶层观光。电梯于每个整点的 5 分种,25 分钟和 55 分钟从 底层起行,假设一游客在早 8 点的第 X 分钟到底层梯处等待,且 X 服从 [0, 60] 上的均匀分布,求 该游客等候时间的数学期望。

?1 ? , 0 ? X ? 60 解:已知 X 服从 [0, 60] 上的均匀分布,其密度函数为 f ( x) ? ? 60 , ?0, 其它 ?
概率论与数理统计 A 卷第 3 页 共 5 页

设 Y 为游客等候电梯的时间(单位:分) ,则

0? X ?5 ?5 ? X , ?25 ? X , 5 ? X ? 25 ? Y ? g( X ) ? ? . ?55 ? X , 25 ? X ? 55 ?60 ? X ? 5, 55 ? X ? 60 ?
E (Y ) ? E ? g ( X )? ? ?
因此
??

(8 分)

??

g ( x) f ( x)dx ?

1 ?? f ( x)dx 60 ???

(10分)

25 55 60 1 ? 5 ?0 (5 ? x)dx ? ?5 (25 ? x)dx ? ?25 (55 ? x)dx ? ?55 (65 ? x)dx ? ? ? ? 60 ? 1 ? ?12.5 ? 200 ? 450 ? 37.5? 60 ? 11.67(分钟). (12分)

?

七、 (本题12分)

? 3 y, 0 ? x ? y ? 1 , 求: 其它 ? 0, (1) X , Y 的边缘密度函数; (2) P( X ? Y ? 1) ; (3) X , Y 是否独立? ? 1 3 ydy, 0 ? x ? 1 ? 3 (1 ? x 2 ), 0 ? x ? 1 ? ? 解:解: (1) f X ( x) ? ? ?x ; (4 分) ? ?2 ?0, ? 其它 ?0, 其它 ?
设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x , y) ? ?

? y 3 ydx, 0 ? y ? 1 ?3 y 2 , 0 ? y ? 1 ? . fY ( y) ? ??0 ?? 其它 ?0, ?0. 其它 ?
(2) P( X ? Y ? 1) ?

(8 分)

(3) 对任意的 x, y ??0 ? x ? 1,0 ? y ?1?, f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y). 故 X 与 Y 不相互独立。 (12 分) 八、 (本题10分) 某厂生产的螺杆直径服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,现从中抽取 5 件,测其直径为: (单位 mm )

?

0.5

0

dx ?

1? x

x

3 ydy ? 0.375.

(10 分)

22.3,

21.5,

22.0 , 21.8 , 21.4 ,若 ? 2 未知,在显著性水平 ? ? 0.05 下,可否认为这批螺

杆直径为 21 mm ?(参考分位数 t0.025 (4) ? 2.776 ). 解:解: H0 : ? ? 21

vs H1 : ? ? 21

(2 分) (4 分) (6 分)

X ? 21 5 ~ t (4) S 其中 X ? 21.8, S ? 0.367 ,拒绝域为 { t ? t0.025 (4) ? 2.776}.

? 2 未知,选择 t 检验,在 H 0 成立前提下,统计量为 t ?

概率论与数理统计 A 卷第 4 页 共 5 页

…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………

21.8 ? 21 5 ? 4.874 ,因为 4.874 ? 2.776 故拒绝原假设, 0.367 认为这批螺杆的直径不是 21 mm .
求解 t ?

(8 分) (10 分)

学号 学院 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) 系 专业班级 姓名

概率论与数理统计 A 卷第 5 页 共 5 页


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