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高一数学必修2经典习题与答案(复习专用)1


数学 2(必修)第一章:空间几何体[基础训练 A 组] 数学 2(必修)第一章:空间几何体[综合训练 B 组] 数学 2(必修)第一章:空间几何体[提高训练 C 组] 数学 2(必修)第二章:点直线平面[基础训练 A 组] 数学 2(必修)第二章:点直线平面[综合训练 B 组] 数学 2(必修)第二章:点直线平面[提高训练 C 组] 数学 2(必修)第三章:直线和方程[基础训练 A 组] 数学 2(必修)第三章:直线和方程[综合训练 B 组] 数学 2(必修)第三章:直线和方程[提高训练 C 组] 数学 2(必修)第四章:圆和方程 数学 2(必修)第四章:圆和方程 数学 2(必修)第四章:圆和方程 [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组]

(数学 2 必修)第一章 空间几何体 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 )

主视图

左视图

俯视图

2.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A.

) D. 4 3 ) D.都不对 )

3

B. 2 3

C. 3 3

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( A. 25π B. 50π C. 125π

4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A. 3 :1 B. 3 : 2

C. 2 : 3 D. 3 : 3

5.在△ABC 中, AB = 2, BC = 1.5, ∠ABC = 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周, 则所形成的几何体的体积是( )
1

A.

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2

6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长 分别是 9 和 15 ,则这个棱柱的侧面积是( A. 130 二、填空题 1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________条侧棱。 ________个顶点, B. 140 C. 150 ) D. 160

顶点最少的一个棱台有

2.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 3. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 是上底面 ABCD 中心, 若正方体的棱长为 a , 则三棱锥 O ? AB1 D1 的体积为_____________。 4 . 如 图 , E , F 分 别 为 正 方 体 的 面 ADD1 A1 、 面 BCC1 B1 的 中 心 , 则 四 边 形

BFD1 E 在该正方体的面上的射影可能是____________。
5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个 长方 体的对角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3, 5,15 , 则它的体积为___________. 三、解答题 高 1. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐 (供融化高速公路上的积雪之用) 已建的仓库的底面直径为 12M , 4M , , 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库, 以存放更多食盐, 现有两种方案: 一是新建的仓库的底面直径比原来大 4M (高 不变) ;二是高度增加 4M (底面直径不变)。 (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3) 哪个方案更经济些?

2.将圆心角为 120 ,面积为 3π 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
0

(数学 2 必修)第一章 空间几何体 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 ,
0

腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是(
2



A. 2 + C.

2

B.

1+ 2 2

2+ 2 D. 1 + 2 2 2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(
A.



3 π R3 24

B.

3 π R3 8

C.

5 π R3 24

D.

5 π R3 8

3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm , 则球的表面积是( A. 8π cm
2

) B. 12π cm
2 2

C. 16π cm

2

D. 20π cm

4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 , 圆台的侧面积为 84π ,则圆台较小底面的半径为( A. 7 B. 6 C. 5 ) C. 7 :19 D. 5 :16 D. 3 )

5.棱台上、下底面面积之比为 1: 9 ,则棱台的中截面分棱台成 两部分的体积之比是( A. 1: 7 B. 2 : 7

6. 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF // AB , EF = 的距离为 2 ,则该多面体的体积为( A. )
E F

3 ,且 EF 与平面 ABCD 2

9 2

B. 5
D C B

C. 6 二、填空题

D.

15 2

A

1.圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 ,
0

则圆台的侧面积为____________。 2. Rt ?ABC 中, AB = 3, BC = 4, AC = 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成 的几何体的体积为____________。 3.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S 球 ___ S 正 方 体 4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4, 5 ,从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________。

3

图(1) 图(2)

6.若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的 直径为_______________。 三、解答题 1.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求它的深度为多少

cm ?

2.已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.

(数学 2 必修)第一章 空间几何体 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A

B

C

D

2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分
4

的面积之比为( A. 1: 2 : 3 C. 1: 2 : 4

) B. 1: 3 : 5 D. 1: 3 : 9 )

3.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形, 则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( A.

2 3 4 C. 5

7 6 5 D. 6
B. )

4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积 分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 = ( A. 1: 3 C. 2 :1 A. 8 : 27 C. 4 : 9 B. 1:1 D. 3 :1 ) B. 2 : 3 D. 2 : 9

5.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为(

6 . 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 及 其 尺 寸 如 下 ( 单 位 cm ), 则 该 几 何 体 的 表 面 积 及 体 积 为 :
5

6

A. 24π cm , 12π cm
2

2 2

B. 15π cm , 12π cm
2

2

C. 24π cm , 36π cm
2

D. 以上都不正确

二、填空题 1. 若圆锥的表面积是 15π ,侧面展开图的圆心角是 60 ,则圆锥的体积是_______。
0

2.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 3.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.

.

4. 一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球, 球全部没入水中后, 水面升高 9 厘米则此球的半径为_________ 厘米. 5.已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为___________。 三、解答题 1. (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱, 求圆柱的表面积

5

2. 如图, 在四边形 ABCD 中,∠DAB = 900 ,∠ADC = 1350 , AB = 5 ,CD = 2 2 , AD = 2 , 求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

(数学 2 必修)第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.下列四个结论: ⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3 )
F A P B C E V

D

2.下面列举的图形一定是平面图形的是( A.有一个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 A.平行 B.相交

B.有两个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 ) D.以上都有可能 C.异面

3.垂直于同一条直线的两条直线一定(

4.如右图所示, 正三棱锥 V ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,D, E , F 分别是 VC , VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是( A. 30
0



B. 90

0

C. 60

0

D.随 P 点的变化而变化。 )个部分

5.互不重合的三个平面最多可以把空间分成( A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

6

6.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所 成的角的大小为( A. 90 二、填空题 1. 已知 a, b 是两条异面直线, c // a ,那么 c 与 b 的位置关系____________________。 2. 直线 l 与平面 α 所成角为 30 , l I α = A, m ? α , A ? m ,则 m 与 l 所成角的取值范围是 _________
0

) C. 45 D. 30

B. 60

垂线段长度分别为 d1 , d 2 , d3 , d 4 ,则 d1 + d 2 + d3 + d 4 的 3.棱长为 1 的正四面体内有一点 P ,由点 P 向各面引垂线, 值为 。 。 4.直二面角 α - l - β 的棱 l 上有一点 A ,在平面 α , β 内各有一条射线 AB ,

AC 与 l 成 450 , AB ? α , AC ? β ,则 ∠BAC =
5.下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; (2) 、平行于同一平面的两个平面平行; (3) 、垂直于同一直线的两直线平行; (4) 、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。 三、解答题

1.已知 E , F , G , H 为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC , CD, DA 上的点,且 EH // FG .求证: EH // BD .
A E B F H D G C

2.自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平面角互补。

(数学 2 必修)第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为 4 ,体积为 16 ,则这个球
7

的表面积是( A. 16π C. 24π

) B. 20π D. 32π )

2.已知在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AC , BD 的中点,若 AB = 2, CD = 4, EF ⊥ AB , 则 EF 与 CD 所成的角的度数为( A. 90 C. 60 A. 1 条 C. 3 条 B. 45 D. 30 ) B. 2 条 D. 1 条或 2 条 )

3.三个平面把空间分成 7 部分时,它们的交线有(

4.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面是边长为 2 的正方形,高为 4 , 则点 A1 到截面 AB1 D1 的距离为( A.

3 8 3 D. 4 5.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a ,点 D 是 CC1 上任意一点,
B. 连接 A1 B, BD, A1 D, AD ,则三棱锥 A ? A1 BD 的体积为( )

8 3 4 C. 3

1 3 a 6 3 3 C. a 6
A.

B.

3 3 a 12 1 3 D. a 12


6.下列说法不正确的是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 二、填空题 1.正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。 2.空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别是 AB, BC , CD, DA 的中点,则 BC 与 AD 的 位置关系是_____________; 四边形 EFGH 是__________形; 当___________时, 四边形 EFGH 是菱形; 当___________ 时,四边形 EFGH 是矩形;当___________时,四边形 EFGH 是正方形 3.四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形,则二 面角 V ? AB ? C 的平面角为_____________。 4.三棱锥 P ? ABC , PA = PB = PC =

73, AB = 10, BC = 8, CA = 6, 则二面角
8

P ? AC ? B 的大小为____

5. P 为边长为 a 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA = PB = PC = a ,则 P 到

AB 的距离为______。
三、解答题 1.已知直线 b // c ,且直线 a 与 b, c 都相交,求证:直线 a, b, c 共面。

2.求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直;

3. 如图: S 是平行四边形 ABCD 平面外一点, 的点,且

M , N 分 别是 SA, BD 上

AM BN = , SM ND

求证: MN // 平面

SBC

(数学 2 必修)第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.设 m, n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α , n / /α ,则 m ⊥ n ③若 m / /α , n / /α ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( A.①和② B.②和③ ) C.③和④ D.①和④ ) ②若 α / / β , β / /γ , m⊥α ,则 m⊥γ ④若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α // β

2.若长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体体对角线长为(

9

A. a + b + c
2 2

1 2 a + b2 + c2 2 2 3 2 C. a 2 + b2 + c 2 D. a + b2 + c 2 2 2 0 3.在三棱锥 A ? BCD 中, AC ⊥ 底面 BCD, BD ⊥ DC , BD = DC , AC = a, ∠ABC = 30 ,
2

B.

则点 C 到平面 ABD 的距离是( A.

)

15 3 15 a C. a D. a 5 5 3 4.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于(
B. A. AC A.内心 B. BD C. A1 D D. A1 D1 5.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ ABC 的( B.外心 C.垂心 ) D.重心 6.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2 ,其余各棱长都为 1 ,则二面角

5 a 5

) )

A ? CD ? B 的余弦值为(
A.

1 3 2 C. D. 3 3 3 7.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线 EF 与 SA
B. )
0 0

1 2

所成的角等于( A. 90 二、填空题

B. 60

C. 45

0

D. 30

0

1.点 A, B 到平面 α 的距离分别为 4cm 和 6cm ,则线段 AB 的中点 M 到 α 平面的 距离为_________________. 2.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为_______。 3.一条直线和一个平面所成的角为 60 ,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是
0

____________. 4.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12 ,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成 的二面角等于_____。 5.在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, AB = 4, PA = 8 ,过 A 作与 PB, PC 分 别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长的最小值是________ 三、解答题 1.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是 AA1 的中点.求证:平面 MBD ⊥ 平面 BDC .

10

2.求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

3.在三棱锥 S ? ABC 中,△ ABC 是边长为 4 的正三角形, 面 ABC , SA = SC = 2 3 , M 、 N 分别为 AB, SB 的中 (Ⅰ)证明: AC ⊥ SB ; (Ⅱ)求二面角 N - CM - B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离。 (数学 2 必修)第三章 直线与方程 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.设直线 ax + by + c = 0 的倾斜角为 α ,且 sin α + cos α = 0 , 则 a, b 满足( A. a + b = 1 C. a + b = 0 A. 2 x + y ? 1 = 0 C. x + 2 y ? 5 = 0 则 m 的值为( A. 0 B. ? 8 ) B. a ? b = 1 D. a ? b = 0 ) B. 2 x + y ? 5 = 0 D. x ? 2 y + 7 = 0 ) C. 2 D. 10 )

平 面 SAC ⊥ 平 点。

2.过点 P ( ?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y + 3 = 0 的直线方程为(

3.已知过点 A( ?2, m) 和 B ( m, 4) 的直线与直线 2 x + y ? 1 = 0 平行,

4.已知 ab < 0, bc < 0 ,则直线 ax + by = c 通过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 A. 45 ,1
0

B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 ) B. 135 , ?1
0

5.直线 x = 1 的倾斜角和斜率分别是( C. 90 ,不存在
0

D. 180 ,不存在
0

6.若方程 (2m + m ? 3)x + (m ? m) y ? 4m + 1 = 0 表示一条直线,则实数 m 满足(
2 2



A. m ≠ 0 C. m ≠ 1

B. m ≠ ?

3 2 3 ,m ≠ 0 2
11

D. m ≠ 1 , m ≠ ?

二、填空题 1.点 P (1, ?1) 到直线 x ? y + 1 = 0 的距离是________________. 2.已知直线 l1 : y = 2 x + 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为__________; 若 l3 与 l1 关于 x 轴对称,则 l3 的方程为_________; 若 l 4 与 l1 关于 y = x 对称,则 l 4 的方程为___________; 3. 若原点在直线 l 上的射影为 ( 2,?1) ,则 l 的方程为____________________。 4.点 P ( x, y ) 在直线 x + y ? 4 = 0 上,则 x 2 + y 2 的最小值是________________. 5.直线 l 过原点且平分 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为

B (1, 4), D (5, 0) ,则直线 l 的方程为________________。
三、解答题 1.已知直线 Ax + By + C = 0 , (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴; (5)设 P x 0 ,y 0 为直线 Ax + By + C = 0 上一点, 证明:这条直线的方程可以写成 A( x ? x 0 ) + B( y ? y 0 ) = 0 .

(

)

2.求经过直线 l1 : 2 x + 3 y ? 5 = 0, l 2 : 3 x ? 2 y ? 3 = 0 的交点且平行于直线 2 x + y ? 3 = 0 的直线方程。

3.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 请求出这些直线的方程。

4.过点 A( ?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 .

(数学 2 必修)第三章 直线与方程 [综合训练 B 组]
12

一、选择题 1.已知点 A(1, 2), B (3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x + 2 y = 5 C. x + 2 y = 5 B. 4 x ? 2 y = 5 D. x ? 2 y = 5 )

2.若 A( ?2, 3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( A.

1 2



1 2

B. ?

1 2

C. ?2

D. 2 )

3.直线 A. b

x y ? 2 = 1 在 y 轴上的截距是( 2 a b 2 B. ?b C. b 2 D. ±b
B. (0,1) D. (2,1)

4.直线 kx ? y + 1 = 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0, 0) C. (3,1) A.平行 C.斜交



5.直线 x cos θ + y sin θ + a = 0 与 x sin θ ? y cos θ + b = 0 的位置关系是( B.垂直 D.与 a, b, θ 的值有关



6.两直线 3 x + y ? 3 = 0 与 6 x + my + 1 = 0 平行,则它们之间的距离为( A. 4 B.



2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

7.已知点 A(2, 3), B ( ? 3, ? 2) ,若直线 l 过点 P (1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的 斜率 k 的取值范围是( A. k ≥ ) C. k

3 4

B.

3 ≤k≤2 4

≥ 2或k ≤

3 4

D. k

≤2

二、填空题 1.方程 x + y = 1 所表示的图形的面积为_________。 2.与直线 7 x + 24 y = 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________。 3.已知点 M ( a, b) 在直线 3 x + 4 y = 15 上,则 a + b 的最小值为
2 2

4 . 将 一 张 坐 标 纸 折 叠 一 次 , 使 点 (0, 2) 与 点 (4, 0) 重 合 , 且 点 (7, 3) 与 点 (m, n) 重 合 , 则 m + n 的 值 是 ___________________。 5.设 a + b = k ( k ≠ 0, k为常数) ,则直线 ax + by = 1 恒过定点 三、解答题 1.求经过点 A( ? 2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程。 .

2.一直线被两直线 l1 : 4 x + y + 6 = 0, l 2 : 3 x ? 5 y ? 6 = 0 截得线段的中点是 P 点,当 P 点分别为 (0, 0) ,(0,1) 时,
13

求此直线方程。

2. 把函数 y = f ( x ) 在 x = a 及 x = b 之间的一段图象近似地看作直线,设 a ≤ c ≤ b , 证明: f ( c) 的近似值是: f ( a ) +

c?a [ f (b ) ? f ( a ) ] . b?a

4.直线 y = ?

3 x + 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等边△ ABC ,如果在第一 3 1 象限内有一点 P ( m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求 m 的值。 2

(数学 2 必修)第三章 直线与方程 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来的位置,那么直线 l 的斜率 是( )

1 1 B. ?3 C. D. 3 3 3 2.若 P( a,b) 、Q( c,d ) 都在直线 y = mx + k 上,则 PQ 用 a、c、m 表示为(
A. ? A. ( a + c) 1 + m
2



1+ m 3.直线 l 与两直线 y = 1 和 x ? y ? 7 = 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为 M (1, ?1) ,则直线 l 的斜率为
2

B. m( a ? c) C.

a?c

D. a ? c 1 + m

2



) A.

3 2 3 2 B. C. ? D. ? 2 3 2 3 4.△ ABC 中,点 A(4, ?1) , AB 的中点为 M (3, 2) ,重心为 P (4, 2) ,则边 BC 的长为( B. 4 C. 10 D. 8 A. 5
5.下列说法的正确的是 ( )
14



A.经过定点 P0 x 0 ,y 0 的直线都可以用方程 y ? y 0 = k ( x ? x 0 ) 表示 B.经过定点 A(0,b ) 的直线都可以用方程 y = kx + b 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

(

)

x y + = 1 表示 a b D.经过任意两个不同的点 P ( x1,y1 )、P2 ( x2,y 2 ) 的直线都可以用方程 1

( y ? y1 )( x2 ? x1 ) = ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 表示
B. x ? 3 y + 2 = 0 D. 3 x ? y + 2 = 0

6.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3 x + y ? 4 = 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( A. 3 x + y ? 6 = 0 C. x + 3 y ? 2 = 0 二、填空题



1.已知直线 l1 : y = 2 x + 3, l 2 与 l1 关于直线 y = ? x 对称,直线 l3 ⊥ l 2 ,则 l3 的斜率是______. 2.直线 x ? y + 1 = 0 上一点 P 的横坐标是 3 ,若该直线绕点 P 逆时针旋转 90 得直线 l ,
0

则直线 l 的方程是

. . 象限.

3.一直线过点 M ( ?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是__________. 4.若方程 x 2 ? my 2 + 2 x + 2 y = 0 表示两条直线,则 m 的取值是 5.当 0 < k < 三、解答题 1.经过点 M (3,5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么?

1 时,两条直线 kx ? y = k ? 1 、 ky ? x = 2k 的交点在 2

2.求经过点 P (1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B (0, ?5) 到它的距离相等的直线方程。

3.已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y =

1 2 2 x 上,求 PA + PB 取得最小值时 P 点的坐标。 2

4.求函数 f ( x ) =

x 2 ? 2 x + 2 + x 2 ? 4 x + 8 的最小值。

(数学 2 必修)第四章 圆与方程 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 5 关于原点 P (0, 0) 对称的圆的方程为 ( A. ( x ? 2) + y = 5
2 2

)

B. x + ( y ? 2) = 5
2 2 2

C. ( x + 2) + ( y + 2) = 5
2

D. x 2 + ( y + 2) 2 = 5
15

2.若 P ( 2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) + y = 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
2 2



A. x ? y ? 3 = 0 C. x + y ? 1 = 0
2 2

B. 2 x + y ? 3 = 0 D. 2 x ? y ? 5 = 0 )

3.圆 x + y ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 上的点到直线 x ? y = 2 的距离最大值是( A. 2 B. 1 +
2

C. 1 +

2 2

D. 1 + 2 2
2 2

4.将直线 2 x ? y + λ = 0 ,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x + y + 2 x ? 4 y = 0 相切,则实数 λ 的值为 ( ) B. ?2或8 B. 2 条 C. 0或10 C. 3 条 B. x + D. 1或11 ) D. 4 条 ) D. x ? 3 y + 2 = 0 __________________. C. x ? 3 y + 4 = 0 A. ?3或7 A. 1 条 A. x +

5.在坐标平面内,与点 A (1, 2) 距离为 1 ,且与点 B (3,1) 距离为 2 的直线共有( 6.圆 x 2 + y 2 ? 4 x = 0 在点 P (1, 3 ) 处的切线方程为(

3y ? 2 = 0

3y ? 4 = 0

二、填空题 1. 若经过点 P ( ? 1, 0) 的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y + 3 = 0 相切, 则此直线在 y 轴上的截距是
2 2

2 . 由 动 点 P 向 圆 x + y = 1 引 两 条 切 线 PA, PB , 切 点 分 别 为 A, B, ∠APB = 60 , 则 动 点 P 的 轨 迹 方 程
0


2

。 .

4.已知圆 ( x ? 3) + y 2 = 4 和过原点的直线 y = kx 的交点为 P , Q 则 OP ? OQ 的值为________________。 5.已知 P 是直线 3 x + 4 y + 8 = 0 上的动点, PA, PB 是圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 的切线, A, B 是切点, C 是 圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________________。 三、解答题 1.点 P ( a, b ) 在直线 x + y + 1 = 0 上,求 a + b ? 2a ? 2b + 2 的最小值。
2 2

3.圆心在直线 2 x ? y ? 7 = 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A (0, ? 4), B (0, ? 2) ,则圆 C 的方程为

2.求以 A( ?1, 2), B (5, ?6) 为直径两端点的圆的方程。

3.求过点 A (1, 2 ) 和 B (1,10 ) 且与直线 x ? 2 y ? 1 = 0 相切的圆的方程。

4.已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y = 0 上,且被直线 y = x 截得的弦长为 2 7

,求圆 C 的方程。

16

(数学 2 必修)第四章 圆与方程 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.若直线 x ? y = 2 被圆 ( x ? a ) 2 + y 2 = 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为( A. ?1 或 3 B. 1 或 3
2

) )

C. ?2 或 6
2

D. 0 或 4

2.直线 x ? 2 y ? 3 = 0 与圆 ( x ? 2) + ( y + 3) = 9 交于 E , F 两点,则 ? EOF ( O 是原点)的面积为(

3 3 6 5 B. C. 2 5 D. 2 4 5 2 2 3.直线 l 过点 ? 2, , l 与圆 x + y = 2 x 有两个交点时,斜率 k 的取值范围是( ( 0)
A.

)

2 2 1 1 D. ? , ) , ) ( 4 4 8 8 4.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3 x + 4 y + 4 = 0 与

( 2 A. ? 2 2, 2)

B. ? 2,2) (

C. ? (

圆 C 相切,则圆 C 的方程为( A. x + y ? 2 x ? 3 = 0
2 2

) B. x 2 + y 2 + 4 x = 0 D. x 2 + y 2 ? 4 x = 0 ) D. 0 < k < 5 ) D. ± 3

C. x 2 + y 2 + 2 x ? 3 = 0

5.若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 + 4 x + y 2 ? 5 = 0 在 第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是( A. 0 < k <

5

B. ? 5 < k < 0
2 2

C. 0 < k < 13

6.设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x + y = 1 相切,则 l 的斜率是( A. ± 1 二、填空题 1.直线 x + 2 y = 0 被曲线 x 2 + y 2 ? 6 x ? 2 y ? 15 = 0 所截得的弦长等于 B. ±

1 2

C. ±

3 3

2.圆 C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的外有一点 P ( x0 , y0 ) ,由点 P 向圆引切线的长______ 3. 对于任意实数 k ,直线 (3k + 2) x ? ky ? 2 = 0 与圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 = 0 的位置关系是_________ 4.动圆 x 2 + y 2 ? (4m + 2) x ? 2my + 4m 2 + 4m + 1 = 0 的圆心的轨迹方程是
2 2

.

5. P 为圆 x + y = 1 上的动点,则点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 10 = 0 的距离的最小值为_______. 三、解答题 1.求过点 A(2, 4) 向圆 x 2 + y 2 = 4 所引的切线方程。

2.求直线 2 x ? y ? 1 = 0 被圆 x 2 + y 2 ? 2 y ? 1 = 0 所截得的弦长。

17

3.已知实数 x, y 满足 x 2 + y 2 = 1 ,求

y+2 的取值范围。 x +1

4.已知两圆 x 2 + y 2 ? 10 x ? 10 y = 0, x 2 + y 2 + 6 x ? 2 y ? 40 = 0 , 求(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长。

(数学 2 必修)第四章 圆与方程 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.圆: x 2 + y 2 ? 4 x + 6 y = 0 和圆: x 2 + y 2 ? 6 x = 0 交于 A, B 两点, 则 AB 的垂直平分线的方程是( A. x + y + 3 = 0 C. 3 x ? y ? 9 = 0 A.一个圆 C.两个圆 ) B. 2 x ? y ? 5 = 0 D. 4 x ? 3 y + 7 = 0
2

2. 方程 x ? 1 = 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是( B.两个半圆 D.半圆



3.已知圆 C : ( x ? a ) 2 + ( y ? 2) 2 = 4( a > 0) 及直线 l : x ? y + 3 = 0 , 当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时,则 a = ( A. 2 C. 2 ? 1 B. 2 ? )

2
3 x 的距离是( 3

D. 2 + 1 )

4.圆 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 的圆心到直线 y =

1 2 C. 1
A. A. 30 C. 60
0

3 2 D. 3
B. ) B. 45 D. 90
0 0

5.直线 3 x + y ? 2 3 = 0 截圆 x 2 + y 2 = 4 得的劣弧所对的圆心角为(
0

18

6.圆 x + y = 1 上的点到直线 3 x + 4 y ? 25 = 0 的距离的最小值是(
2 2



A.6 C.5 A.相离 C.内切 二、填空题

B.4 D.1 ) B.相交 D.外切

2 2 2 2 7.两圆 x + y = 9 和 x + y ? 8 x + 6 y + 9 = 0 的位置关系是(

1.若 A(1, ?2,1), B (2, 2, 2), 点 P 在 z 轴上,且 PA = PB ,则点 P 的坐标为 2.若曲线 y = 1 ? x 与直线 y = x + b 始终有交点,则 b 的取值范围是___________;
2

若有一个交点,则 b 的取值范围是________;若有两个交点,则 b 的取值范围是_______; 3.把圆的参数方程 ?

? x = 1 + 2 cos θ 化成普通方程是______________________. ? y = ?3 + 2 sin θ

4.已知圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 2 y ? 3 = 0 ,过点 P ( ?1, 2) 的直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,若使 AB 最小,则直线 l 的方程是________________。 5.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) 2 + y 2 = 3 ,那么

y 的最大值是________。 x 6.过圆 x 2 + ( y ? 2) 2 = 4 外一点 A(2, ?2) ,引圆的两条切线,切点为 T1 , T2 ,
则直线 T1T2 的方程为________。

三、解答题 1.求由曲线 x + y = x + y 围成的图形的面积。
2 2

2.设 x ? y + 1 = 0, 求 d = 的最小值。

x 2 + y 2 + 6 x ? 10 y + 34 + x 2 + y 2 ? 4 x ? 30 y + 229

3.求过点 M (5, 2), N (3, 2) 且圆心在直线 y = 2 x ? 3 上的圆的方程。

2 2 4.平面上有两点 A( ?1, 0), B (1, 0) ,点 P 在圆周 ( x ? 3) + ( y ? 4 ) = 4 上,求使 AP + BP 取最小值时点 P 的坐 2 2

19

标。 数学 2(必修)第一章 空间几何体 [基础训练 A 组] 一、选择题 1. A 2.A 3.B 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台 因为四个面是全等的正三角形,则 S表面积 = 4 S底面积 = 4 × 长方体的对角线是球的直径,

3 = 3 4

l = 32 + 4 2 + 52 = 5 2, 2 R = 5 2, R =
4.D

5 2 , S = 4π R 2 = 50π 2

正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a

a = 2r内切球,r内切球 =
5.D 6.D

a 3a , 3a = 2r外接球,r外接球 = ,r :r = 1:3 2 2 内切球 外接球 1 3 V = V大圆锥 ? V小圆锥 = π r 2 (1 + 1.5 ? 1) = π 3 2 2 2 2 2 2 2 设底面边长是 a ,底面的两条对角线分别为 l1 , l2 ,而 l1 = 15 ? 5 , l2 = 9 ? 5 ,
2 2 2

而 l1 + l2 = 4a , 即 15 ? 5 + 9 ? 5 = 4a , a = 8, S侧面积 = ch = 4 × 8 × 5 = 160
2 2 2 2 2

二、填空题 1. 5, 4,3 符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台 2. 1: 2 2 : 3 3 3.

r1 : r2 : r3 = 1: 2 : 3, r 31 : r23 : r33 = 13 : ( 2)3 : ( 3)3 = 1: 2 2 : 3 3

1 3 a 6

画出正方体,平面 AB1 D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点,

3 1 1 3 3 1 3 a, V = Sh = × × 2a 2 × = a 3 3 3 4 3 6 或:三棱锥 O ? AB1 D1 也可以看成三棱锥 A ? OB1 D1 ,显然它的高为 AO ,等腰三角形 OB1 D1 为底面。
三棱锥 O ? AB1 D1 的高 h = 4. 平行四边形或线段 5. 6 设 ab =

2, bc = 3, ac = 6, 则 abc = 6, c = 3, a = 2, c = 1

15

l = 3 + 2 +1 = 6 设 ab = 3, bc = 5, ac = 15 则 ( abc) 2 = 225, V = abc = 15

三、解答题 1.解: (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 M ,则仓库的体积

1 1 256 ? 16 ? V1 = Sh = × π × ? ? × 4 = π (M 3 ) 3 3 2? 3 ? 如果按方案二,仓库的高变成 8M ,则仓库的体积 1 1 288 ? 12 ? V2 = Sh = × π × ? ? × 8 = π (M 3 ) 3 3 3 ? 2? (2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M ,半径为 8M .
20
2

2

棱锥的母线长为 l = 8 + 4 = 4 5
2 2

则仓库的表面积 S1 = π × 8 × 4 5 = 32 5π ( M )
2

如果按方案二,仓库的高变成 8M . 棱锥的母线长为 l = 8 + 6 = 10 则仓库的表面积
2 2

S 2 = π × 6 × 10 = 60π ( M 2 )
(3)QV2 > V1 ,

S 2 < S1 ∴方案二比方案一更加经济

2. 解:设扇形的半径和圆锥的母线都为 l ,圆锥的半径为 r ,则

120 2 2π π l = 3π , l = 3 ; × 3 = 2π r , r = 1 ; 360 3 S表面积 = S侧面 + S底面 = π rl + π r 2 = 4π ,

1 1 2 2 V = Sh = × π × 12 × 2 2 = π 3 3 3
第一章 空间几何体 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D

1 (1 + 2 + 1) × 2 = 2 + 2 2 R 3R 1 3 2π r = π R, r = , h = ,V = π r 2 h = π R3 2 2 3 24 正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 3 = 2 R ,
恢复后的原图形为一直角梯形 S =

R = 3, S = 4π R 2 = 12π S侧面积 = π (r + 3r )l = 84π , r = 7
中截面的面积为 4 个单位,

V1 1 + 2 + 4 7 = = V2 4 + 6 + 9 19

过点 E , F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,

1 3 1 3 15 V = 2 × × × 3× 2 + × 3× 2 × = 3 4 2 2 2
二、填空题 1. 6π 2. 16π 画出圆台,则 r1 = 1, r2 = 2, l = 2, S圆台侧面 = π ( r1 + r2 )l = 6π 旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,

3. <

1 1 V = π r 2 h = π × 42 × 3 = 16π 3 3 4 3V 3 3 设V = π R = a , a = 3 V , R = 3 , 3 4π

S正 = 6a 2 = 6 3 V 2 = 3 216V 2 , S球 = 4π R 2 = 3 36π V 2 < 3 216V 2
4. 74 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

42 + (3 + 5) 2 = 80, 或 52 + (3 + 4) 2 = 74
5.(1) 4 (2)圆锥
21

6.

2 3π a 3π

设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 π l = 2π r 得 l = 2r ,
2
2

而 S圆锥表 = π r + π r ? 2r = a ,即 3π r = a, r = 三、解答题

a 3π a 2 3π a = ,即直径为 3π 3π 3π

1 3V ( S + SS ' + S ' )h, h = 3 S + SS ' + S ' 3 × 190000 h= = 75 3600 + 2400 + 1600 29 2 2 2. 解: π (2 + 5)l = π (2 + 5 ), l = 7
1. 解: V = 空间几何体 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.A 2.B 几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得 从此圆锥可以看出三个圆锥, r1 : r2 : r3 = 1: 2 : 3, l1 : l2 : l3 = 1: 2 : 3,

3.D 4.D 5.C 6.A

S1 : S 2 : S3 = 1: 4 : 9, S1 : ( S 2 ? S1 ) : ( S3 ? S 2 ) = 1: 3 : 5 1 1 1 1 1 5 V正方体 ? 8V三棱锥 = 1 ? 8 × × × × × = 3 2 2 2 2 6 1 V1 : V2 = ( Sh) : ( Sh) = 3 :1 3 V1 : V2 = 8 : 27, r1 : r2 = 2 : 3, S1 : S 2 = 4 : 9
此几何体是个圆锥, r = 3, l = 5, h = 4, S表面 = π × 3 + π × 3 × 5 = 24π
2

1 V = π × 32 × 4 = 12π 3
二、填空题 1.

25 3 π 7

设圆锥的底面半径为 r ,母线为 l ,则 2π r =

1 π l ,得 l = 6r , S = π r 2 + π r ? 6r = 7π r 2 = 15π , 3

15 15 ,圆锥的高 h = 35 ? 7 7 1 1 15 15 25 3 V = π r 2 h = π × × 35 × = π 3 3 7 7 7 Q 10 2 2 2 2. Q S全 = 2π R + π R = 3π R = Q, R = 9 3π 2 2 2 10 10 V = π R 3 = π R 2 ? h, h = R, S = 2π R 2 + 2π R ? R = π R 2 = Q 3 3 3 3 9 3. 8 r2 = 2r1 , V2 = 8V1 4 2 3 4. 12 V = Sh = π r h = π R , R = 3 64 × 27 = 12 3
得r =
22

5. 28

1 1 V = ( S + SS ' + S ' )h = × (4 + 4 × 16 + 16) × 3 = 28 3 3

三、解答题 1.解:圆锥的高 h =

42 ? 22 = 2 3 ,圆柱的底面半径 r = 1 ,

S表面 = 2 S 底面 + S侧面 = 2π + π × 3 = (2 + 3)π    2. 解: S表面 = S圆台底面 + S圆台侧面 + S圆锥侧面
= π × 52 + π × (2 + 5) × 3 2 + π × 2 × 2 2 = 25( 2 + 1)π V = V圆台 ? V圆锥

1 1 = π (r12 + r1r2 + r2 2 )h ? π r 2 h 3 3 148 π = 3
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组] 一、选择题 1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可在这个平面内 2. D 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;对角为直角的平面四边 形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中,某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形 3.D 4.B 5.D 6.C 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系 连接 VF , BF ,则 AC 垂直于平面 VBF ,即 AC ⊥ PF ,而 DE // AC ,∴ DE ⊥ PF 八卦图 可以想象为两个平面垂直相交,第三个平面与它们的交线再垂直相交 当三棱锥 D ? ABC 体积最大时,平面 DAC ⊥ ABC ,取 AC 的中点 O , 则△ DBO 是等要直角三角形,即 ∠DBO = 45 二、填空题 1.异面或相交 2. ?300 , 900 ? ? ? 就是不可能平行 直线 l 与平面 α 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值, m 在 α 内适当旋转就可以得到 l ⊥ m , 当
0
0

即 m 与 l 所成角的的最大值为 90 3.

0

6 1 3 1 3 6 作等积变换: × × (d1 + d 2 + d 3 + d 4 ) = × × h, 而 h = 3 3 4 3 4 3 0 0 4. 60 或 120 不妨固定 AB ,则 AC 有两种可能
对于(1) 、平行于同一直线的两个平面平行,反例为:把一支笔放在打开的课本之间; (2)是对的; (3)是错的; (4)是对的

5. 2

三、解答题
23

EH ? BCD ? ? 1.证明: FG ? BCD ? ? EH // BCD, BD ? BCD ? EH // BD EH // FG ? ?
2.略 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.C 正四棱柱的底面积为 4 ,正四棱柱的底面的边长为 2 ,正四棱柱的底面的对角线为 2 2 ,正四棱柱的对角 线为 2 6 ,而球的直径等于正四棱柱的对角线, 即 2R = 2 6 , R =

6, S球 = 4π R 2 = 24π
0

2.D 取 BC 的中点 G ,则 EG = 1, FG = 2, EF ⊥ FG , 则 EF 与 CD 所成的角 ∠EFG = 30 3.C 此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线 4.C 利用三棱锥 A1 ? AB1 D1 的体积变换: VA1 ? AB1D1 = VA? A1B1D1 ,则 × 2 × 4 = 5.B

1 3

1 ×6× h 3

VA? A1BD = VD ? A1BA

1 1 a2 3a 3a 2 = Sh = × × = 3 3 2 2 12

6. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题 1. 27 3. 60 4. 60 5.
0 0

分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分

2.异面直线;平行四边形; BD = AC ; BD ⊥ AC ; BD = AC 且 BD ⊥ AC 注意 P 在底面的射影是斜边的中点

3a 2

三、解答题 1.证明:Q b // c ,∴ 不妨设 b, c 共面于平面 α ,设 a I b = A, a I c = B

∴ A ∈ a, B ∈ a, A ∈ α , B ∈ α ,即 a ? α ,所以三线共面
2.提示:反证法 3.略 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练 C 组] 一、选择题 1. A ③若 m / /α , n / /α ,则 m / / n ,而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α // β ,而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2.C 设同一顶点的三条棱分别为 x, y , z ,则 x 2 + y 2 = a 2 , y 2 + z 2 = b 2 , x 2 + z 2 = c 2 得x + y +z =
2 2 2

3.B

1 2 2 1 2 (a + b 2 + c 2 ) ,则对角线长为 a2 + b2 + c2 (a + b 2 + c 2 ) = 2 2 2 作等积变换 VA? BCD = VC ? ABD
24

4.B 5.C 6.C

BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影
BC ⊥ PA ? BC ⊥ AH
取 AC 的中点 E ,取 CD 的中点 F , EF =

1 2 3 , BE = , BF = 2 2 2

cos θ =

EF 3 = BF 3
a 2 ,在△ SFC 中, EF = a , ∠EFG = 450 2 2

7.C 取 SB 的中点 G ,则 GE = GF = 二、填空题 1. 5cm 或 1cm 2. 48 3. 90 5. 11
0

分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况

每个表面有 4 个,共 6 × 4 个;每个对角面有 4 个,共 6 × 4 个 垂直时最大 4. 30
0

底面边长为 2 3 ,高为 1 , tan θ =

1 3
'

沿着 PA 将正三棱锥 P ? ABC 侧面展开,则 A, D, E , A' 共线,且 AA // BC [基础训练 A 组]

三、解答题:略 第三章 直线和方程 一、选择题

a = ?1, a = b, a ? b = 0 b 2.A 设 2 x + y + c = 0, 又过点 P ( ?1,3) ,则 ?2 + 3 + c = 0, c = ?1 ,即 2 x + y ? 1 = 0 4?m a c a c 3.B k = = ?2, m = ?8 4.C y = ? x + , k = ? > 0, < 0 m+2 b b b b 0 5.C x = 1 垂直于 x 轴,倾斜角为 90 ,而斜率不存在
1.D

tan α = ?1, k = ?1, ?

6.C

2m2 + m ? 3, m2 ? m 不能同时为 0

二、填空题

1 ? (?1) + 1 3 2 3 2 d= = 2 2 2 2. l2 : y = ?2 x + 3, l3 : y = ?2 x ? 3, l4 : x = 2 y + 3, ?1 ? 0 1 ' = ? , k = 2, y ? (?1) = 2( x ? 2) 3. 2 x ? y ? 5 = 0 k = 2?0 2
1. 4. 8

x 2 + y 2 可看成原点到直线上的点的距离的平方,垂直时最短: d = 2 x 3
平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

?4 2

=2 2

5. y =

三、解答题 1. 解: (1)把原点 (0, 0) 代入 Ax + By + C = 0 ,得 C = 0 ; (2)此时斜率存在且不为零 (3)此时斜率不存在,且不与 y 轴重合,即 B = 0 且 C ≠ 0 ; 即 A≠ 0且B ≠ 0; (4) A = C = 0, 且 B ≠ 0
25

(5)证明:Q P ( x0,y0 ) 在直线 Ax + By + C = 0 上

∴ Ax0 + By0 + C = 0, C = ? Ax0 ? By0

∴ A ( x ? x0 ) + B ( y ? y0 ) = 0 。

19 ? ? x = 13 ?2 x + 3 y ? 5 = 0 47 ? 2. 解:由 ? ,得 ? ,再设 2 x + y + c = 0 ,则 c = ? 13 ?3 x ? 2 y ? 3 = 0 ?y = 9 ? 13 ? 47 2x + y ? = 0 为所求。 13 3. 解:当截距为 0 时,设 y = kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k = 2 ,即 y = 2 x ; x y x y 当截距不为 0 时,设 + = 1, 或 + = 1, 过点 A(1, 2) , a a a ?a 则得 a = 3 ,或 a = ?1 ,即 x + y ? 3 = 0 ,或 x ? y + 1 = 0
这样的直线有 3 条: y = 2 x , x + y ? 3 = 0 ,或 x ? y + 1 = 0 。 4. 解:设直线为 y + 4 = k ( x + 5), 交 x 轴于点 ( ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0, 5k ? 4) ,

4 k

1 4 16 S = × ? 5 × 5k ? 4 = 5, 40 ? ? 25k = 10 2 k k 2 2 得 25k ? 30k + 16 = 0 ,或 25k ? 50k + 16 = 0 2 8 解得 k = , 或 k = 5 5 ∴ 2 x ? 5 y ? 10 = 0 ,或 8 x ? 5 y + 20 = 0 为所求。
第三章 直线和方程 [综合训练 B 组] 一、选择题

3 2 ?2 ? 3 m + 2 1 2.A k AB = k BC , = ,m = 1 3+ 2 2 ?3 2 2 3.B 令 x = 0, 则 y = ?b

1.B 线段 AB 的中点为 (2, ), 垂直平分线的 k = 2 , y ?

3 = 2( x ? 2), 4 x ? 2 y ? 5 = 0 2

4.C 由 kx ? y + 1 = 3k 得 k ( x ? 3) = y ? 1 对于任何 k ∈ R 都成立,则 ? 5.B

?x ? 3 = 0 ? y ?1 = 0

cos θ ? sin θ + sin θ ? (? cos θ ) = 0
1 ? (?6) 62 + 2 2 = 7 10 20

6.D 把 3 x + y ? 3 = 0 变化为 6 x + 2 y ? 6 = 0 ,则 d = 7.C

3 k PA = 2, k PB = , kl ≥ k PA ,或kl ≤ k PB 4
方程 x + y = 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2
26

二、填空题 1. 2

2. 7 x + 24 y + 70 = 0 ,或 7 x + 24 y ? 80 = 0 设直线为 7 x + 24 y + c = 0, d = 3. 3 4.

c+5 242 + 7 2

= 3, c = 70, 或 ? 80
15 5

a 2 + b 2 的最小值为原点到直线 3 x + 4 y = 15 的距离: d =
44 5

点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于 y ? 1 = 2( x ? 2) 对称,则点 (7, 3) 与点 (m, n)

23 m+7 ? ?n + 3 ? 1 = 2( ? 2) ?m = 5 ? 2 ? ? 2 也关于 y ? 1 = 2( x ? 2) 对称,则 ? ,得 ? ? n?3 = ? 1 ?n = 21 ?m ? 7 ? 2 5 ? ? 1 1 5. ( , ) ax + by = 1 变化为 ax + (k ? a ) y = 1, a ( x ? y ) + ky ? 1 = 0, k k ?x ? y = 0 对于任何 a ∈ R 都成立,则 ? ?ky ? 1 = 0
三、解答题 1.解:设直线为 y ? 2 = k ( x + 2), 交 x 轴于点 (

?2 ? 2, 0) ,交 y 轴于点 (0, 2k + 2) , k

1 2 2 S = × + 2 × 2k + 2 = 1, 4 + + 2k = 1 2 k k 2 2 得 2k + 3k + 2 = 0 ,或 2k + 5k + 2 = 0 1 解得 k = ? , 或 k = ?2 2 ∴ x + 3 y ? 2 = 0 ,或 2 x + y + 2 = 0 为所求。 ?4 x + y + 6 = 0 24 18 24 18 得两直线交于 ( ? , ) ,记为 A(? , ) ,则直线 AP 2.解:由 ? 23 23 23 23 ?3 x ? 5 y ? 6 = 0 4 24 垂直于所求直线 l ,即 kl = ,或 kl = 3 5 4 24 ∴ y = x ,或 y ? 1 = x, 3 5 即 4 x ? 3 y = 0 ,或 24 x ? 5 y + 5 = 0 为所求。
3. 证明:Q A, B, C 三点共线,∴ k AC = k AB

yc ? f (a ) f (b) ? f (a ) = c?a b?a c?a ∴ yc ? f (a ) = [ f (b) ? f (a )] b?a c?a 即 yc = f ( a ) + [ f (b) ? f (a )] b?a c?a ∴ f ( c ) 的近似值是: f ( a ) + [ f (b ) ? f ( a ) ] b?a

27

4. 解:由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y = ?

3 x + c, (c > 1) 3 c ?1 3 3 1 则 = AB × = 3, c = 3 , y = ? x + 3 过 P (m, ) 2 3 2 1 1+ 3 1 3 5 3 m + 3, m = 得 =? 2 3 2
[提高训练 C 组]

第三章 直线和方程 一、选择题 1.A 2.D 3.D

tan α = ?

1 3
4.A

PQ = (a ? c)2 + (b ? d )2 = (a ? c) 2 + m 2 (a ? c) 2 = a ? c 1 + m2
A(?2,1), B (4, ?3)

B(2,5), C (6, 2), BC = 5

5.D 斜率有可能不存在,截距也有可能为 0 6.B 点 F (1,1) 在直线 3 x + y ? 4 = 0 上,则过点 F (1,1) 且垂直于已知直线的直线为所求 二、填空题 1. ?2

l1 : y = 2 x + 3, l2 : ? x = ?2 y + 3, y =

2. x + y ? 7 = 0

1 3 1 x + , k 2 = , k 3 = ?2 2 2 2 0 0 0 P (3, 4) l 的倾斜角为 45 + 90 = 135 , tan1350 = ?1

3. 4 x ? y + 16 = 0 ,或 x + 3 y ? 9 = 0

?4 ?4 ? 3; x = 0, y = 3k + 4; ? 3 + 3k + 4 = 12 k k 4 1 3k ? ? 11 = 0,3k 2 ? 11k ? 4 = 0, k = 4, 或k = ? k 3 k ? ?x = k ?1 < 0 ky ? x = 2k ? ? 4. 1 5.二 ,? ? ?kx ? y = k ? 1 ? y = 2k ? 1 > 0 ? k ?1 ?
设 y ? 4 = k ( x + 3), y = 0, x = 三、解答题 1. 解:过点 M (3,5) 且垂直于 OM 的直线为所求的直线,即

3 3 k = ? , y ? 5 = ? ( x ? 3), 3 x + 5 y ? 52 = 0 5 5 2. 解: x = 1 显然符合条件;当 A(2,3) , B (0, ?5) 在所求直线同侧时, k AB = 4 ∴ y ? 2 = 4( x ? 1), 4 x ? y ? 2 = 0 4 x ? y ? 2 = 0 ,或 x = 1
3. 解:设 P (2t , t ) , 则 PA + PB = (2t ? 1) + (t ? 1) + (2t ? 2) + (t ? 2) = 10t ? 14t + 10
2 2 2 2 2 2 2

28

当t =

7 7 7 2 2 时, PA + PB 取得最小值,即 P ( , ) 10 5 10
( x ? 1)2 + (0 ? 1) 2 + ( x ? 2) 2 + (0 ? 2) 2 可看作点 ( x, 0)

4. 解: f ( x ) =

到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1)

∴ f ( x)min = 12 + 32 = 10
第四章 圆和方程 一、选择题 1.A 2.A 3.B [基础训练 A 组]

( x, y ) 关于原点 P (0, 0) 得 (? x, ? y ) ,则得 (? x + 2) 2 + (? y ) 2 = 5
设圆心为 C (1, 0) ,则 AB ⊥ CP, kCP = ?1, k AB = 1, y + 1 = x ? 2 圆心为 C (1,1), r = 1, d max =

2 +1
5, d = ?2 + λ 5 = 5, λ = ?3, 或λ = 7

4.A 直线 2 x ? y + λ = 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得 2 x ? y + λ + 2 = 0 圆 x + y + 2 x ? 4 y = 0 的圆心为 C ( ?1, 2), r =
2 2

5.B 两圆相交,外公切线有两条
2 6.D (x ? 2) + y 2 = 4 的在点 P (1, 3 ) 处的切线方程为 (1 ? 2)( x ? 2) + 3 y = 4

二、填空题 1. 1 点 P ( ? 1, 0) 在圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y + 3 = 0 上,即切线为 x ? y + 1 = 0 2. x 2 + y 2 = 4
2

OP = 2
圆心既在线段 AB 的垂直平分线即 y = ?3 ,又在
2

3. ( x ? 2) + ( y + 3) 2 = 5 4. 5

2 x ? y ? 7 = 0 上,即圆心为 (2, ?3) , r = 5
设切线为 OT ,则 OP ? OQ = OT

=5

5. 2 2 三、解答题

当 CP 垂直于已知直线时,四边形 PACB 的面积最小
2 2

1.解: ( a ? 1) + (b ? 1) 的最小值为点 (1,1) 到直线 x + y + 1 = 0 的距离

3 3 2 3 2 2 2 = , ( a + b ? 2a ? 2b + 2) min = 。 2 2 2 2.解: ( x + 1)( x ? 5) + ( y ? 2)( y + 6) = 0
而d = 得 x 2 + y 2 ? 4 x + 4 y ? 17 = 0 3.解:圆心显然在线段 AB 的垂直平分线 y = 6 上,设圆心为 (a, 6) ,半径为 r ,则

( x ? a )2 + ( y ? 6)2 = r 2 ,得 (1 ? a ) 2 + (10 ? 6) 2 = r 2 ,而 r = (a ? 13) , a = 3, r = 2 5, 5 ∴ ( x ? 3) 2 + ( y ? 6) 2 = 20 。 3t ? t = 4.解:设圆心为 (3t , t ), 半径为 r = 3t ,令 d = 2 (a ? 1) 2 + 16 =
2

a ? 13

5

2t
29

而 ( 7) 2 = r 2 ? d 2 ,9t 2 ? 2t 2 = 7, t = ±1

∴ ( x ? 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 9 ,或 ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2 = 9
圆和方程 一、选择题 1.D [综合训练 B 组]

d=

a?2 2

= 2, a ? 2 = 2, a = 4, 或a = 0
1 3 6 5 × 4× = 2 5 5

2.D 弦长为 4 , S = 3.C

2 2 ,相切时的斜率为 ± 4 4 2 2 3a + 4 4.D 设圆心为 ( a, 0), ( a > 0), = 2, a = 2, ( x ? 2) 2 + y 2 = 4 5 5.A 圆与 y 轴的正半轴交于 (0, 5), 0 < k < 5 tan α = 1

=

6.D 得三角形的三边 2,1, 3 ,得 60 的角
0

二、填空题 1. 4 5 2.

( x ? 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 25 , d = 5, r = 5, r 2 ? d 2 = 2 5 2k (3k + 2)2 + k 2 2k
k2

x0 2 + y0 2 + Dx0 + Ey0 + F
≤ = 2;

3.相切或相交

另法:直线恒过 (1,3) ,而 (1,3) 在圆上 4. x ? 2 y ? 1 = 0, ( x ≠ 1) 圆心为 (2m + 1, m), r = m , ( m ≠ 0) , 令 x = 2m + 1, y = m 5. 1

d ?r =

10 ?1 = 1 5

三、解答题 1.解:显然 x = 2 为所求切线之一;另设 y ? 4 = k ( x ? 2), kx ? y + 4 ? 2k = 0 而

3 = 2, k = ,3 x ? 4 y + 10 = 0 4 k +1 ∴ x = 2 或 3 x ? 4 y + 10 = 0 为所求。
2

4 ? 2k

2.解:圆心为 (0,1) ,则圆心到直线 2 x ? y ? 1 = 0 的距离为 得弦长的一半为 3.解:令 k =

2 ,半径为 2 5

y ? (?2) , 则 k 可看作圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点到点 (?1, ?2) 的连线的斜率 x ? (?1) 3 y+2 3 ≥ 。 而相切时的斜率为 ,∴ 4 x +1 4
30

30 2 30 ,即弦长为 。 5 5

4.解: (1) x + y ? 10 x ? 10 y = 0, ①; x + y + 6 x ? 2 y ? 40 = 0 ②;
2 2 2 2

② ? ①得: 2 x + y ? 5 = 0 为公共弦所在直线的方程; (2)弦长的一半为 50 ? 20 = 第四章 圆和方程 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.C 由平面几何知识知 AB 的垂直平分线就是连心线 2.B 4.A 6.B 对 x 分类讨论得两种情况 3.C

30 ,公共弦长为 2 30 。

d=

a?2+3 2

= 1, a = 2 ? 1
0

d=

3 1 1 / +1 = 3 3 2
7.B

5.C

直线的倾斜角为 120 ,得等边三角形

d ? r = 5 ?1 = 4

4?3 < 5 < 4+3

二、填空题 1. (0, 0,3) 设 P (0, 0, z ), PA = PB , 则 1 + 4 + ( z ? 1) 2 = 4 + 4 + ( z ? 2) 2 , z = 3 2. [ ?1, 2] ; [ ?1,1) U 4. x ? y + 3 = 0 5.

{ 2} ; ?1, 2 ) ?

曲线 y = 1 ? x 2 代表半圆

3. ( x ? 1) 2 + ( y + 3) 2 = 4 当 AB ⊥ CP 时, AB 最小, kCP = ?1, kl = 1, y ? 2 = x + 1

3



y = k , y = kx, ( x ? 2)2 + k 2 x 2 = 3, (1 + k 2 ) x 2 ? 4 x + 1 = 0 , x ? = 16 ? 4(1 + k 2 ) ≥ 0, ? 3 ≤ k ≤ 3
另可考虑斜率的几何意义来做 设切点为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则 AT1 的方程为 x1 x + ( y1 ? 2)( y ? 2) = 4

6. x ? 2 y + 2 = 0

AT2 的方程为 x2 x + ( y2 ? 2)( y ? 2) = 4 ,则 2 x1 ? 4( y1 ? 2) = 4, 2 x2 ? 4( y2 ? 2) = 4 ∴ 2 x ? 4( y ? 2) = 4, x ? 2 y + 2 = 0
三、解答题 1. 解:当 x ≥ 0, y ≥ 0 时, ( x ? ) + ( y ? ) =

1 2 1 2 1 1 ,表示的图形占整个图形的 2 2 2 4 1 2 1 2 1 而 ( x ? ) + ( y ? ) = ,表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 2 2 2 1 1 1 ∴ S = 4( × 1× 1 + × π × ) = 2 + π 2 2 2
x 2 + y 2 + 6 x ? 10 y + 34 + x 2 + y 2 ? 4 x ? 30 y + 229 = ( x + 3)2 + ( y ? 5) 2 + ( x ? 2) 2 + ( y ? 15) 2 可看作点 A(?3, 5) 和 B (2,15)
到直线 x ? y + 1 = 0, 上的点的距离之和,作 A( ?3, 5) 关于直线 x ? y + 1 = 0, 对称的点 A' (4, ?2) ,则 d min = A' B =

2. 解: d =

293

3.解:设圆心为 ( x, y ) ,而圆心在线段 MN 的垂直平分线 x = 4 上,

31

即?

?x = 4 , 得圆心为 (4,5) , r = 1 + 9 = 10 ? y = 2x ? 3
2 2

∴ ( x ? 4) 2 + ( y ? 5) 2 = 10
4.解: 在Δ ABP 中有 AP + BP =

1 2 2 (4OP 2 + AB 2 ) , 即当 OP 最小时,AP + BP 取最小值, OPmin = 5 ? 2 = 3 , 而 2 3 9 4 12 9 12 Px = 3 × = , Py = 3 × = , P ( , ) 5 5 5 5 5 5

32


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