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高中数学竞赛专题讲座---复数

复 数 专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握. 例 1 设数列 z1 , z 2 ,?, z n ,? 是首项为 48,公比为 (1)求 z 4 . (2)将这个数列中的实数项,不改变原来的次序,从首项开始,排成 a1 , a2 ,?, an ,?,试求 a3 . (3)求无穷级数 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?的和. 解: (1) r ? 1 ( 6 ? 2i ) 的等比复数列. 4 1 1 ? ? ( 6 ? 2i) ? (cos ? i sin ) . z 4 ? 48r 3 ? 12 2i . 4 6 6 2 6 (2)使 r 为实数的最小自然数是 6,数列 a1 , a2 ,?, an ,?是首项为 48,公比为 r 的等比数列.所以 a3 ? 3 . 4 6 (3)这个级数是公比 ? r ? ? 1 的无穷等比级数,从而和 ? 8 48 1 1 ? (? ) 8 ? 128 . 3 例 2 今定义复数列 a1 , a2 ,?, an ,?如下, a1 ? 1 ? i, a2 ? 1 ? 3i, an?1 ? a1 ? kan ( n ? 2) , k 为正 的常数.问复数 an 的辐角的正切与哪一个值最接近?(当 n ? ? 时) 分析:寻求 an 的一般式,再注意取极限的方法以及相关讨论. 解: a n ?1 的辐角记作 ? , an?1 ? a1 ? kan ? a1 (1 ? k ? ? ? k n?2 ) ? k n?1a2 . (1)当 k ? 1 时, an?1 ? (n ? 1)a1 ? a2 ? n ? (n ? 1 ? 3)i ,所以 tan? ? (2)当 k ? 1 时, a n ?1 ? n ?1? 3 ? 1(n ? ?) . n a1 (1 ? k n ?1 ) 1 ? k n 1 ? ( 3 ? 1)k n?1 ? 3k n ? k n ?1 a 2 ? ? 1? k 1? k 1? k ? 3k ? 3 ? 1 1 ? ( 3 ? 1)k n?1 ? 3k n (k ? 1) ? ∴ tan? ? ?? (n ? ?) . k n 1? k ?1 (0 ? k ? 1) ? 例 3 (1)设在复数列 z 0 , z1 ,?, z n ,? 之间有如下关系: z n?1 ? z n ? ? ( z n ? z n?1 )(n ? 1,2,3,?) ,其 中 ? (? ? 1) 是常复数.当 z0 ? 0, z1 ? 1 时,试将 z n 的值用 ? 表示. (2)若(1)中的 ? ? 1 ? 3i ,求在圆 | z |? 10 ( z 是复数)的内部总共含有 z n 的个数. 解: (1)z 2 ? z1 ? ? ( z1 ? z 0 ) ? ? , z3 ? z 2 ? ? ( z 2 ? z1 ) ? ? …… z n ? z n?1 ? ? ( z n?1 ? z n?2 ) ? ? 2 n?1 1?? n 于是,从 ? ? 1 得, z n ? . 1?? D27RS(F)xj: Tkw/4~-W lvob,zf50qc1.M usedinthgraypm (2) ? ? 1 ? 3i ? 2(cos ? 3 ? i sin ? 3 ) ,所以 ? n ? 2 n (cos n? n? ? i sin ) ,要使 z n 在圆 | z |? 10 的内 3 3 1 (1 ? 2 n ?1 o c s 3 n? ? 2 2n ) , 3 部, 它的充分必要条件是 z ? 10, , ∴ | z n |2 ? 100. 即 zn ? zn ? 1 而 zn ? zn ? 0 0 , ∴ (1 ? 2 1 3 n ?1 cos n? n? ? 2 2 n ) ? 100 .又 1 ? 2 n ?1 cos ? 2 2 n ? 1 ? 2 n?1 ? 2 2n ? (1 ? 2 n ) 2 , 3 3 能适合 (1 ? 2 n ) 2 ? 300的 n 只是 0,1,2,3,4 .在逐个验证这五个点确信都在圆 | z |? 10 的内部,故符合条件 的点共有 5 个. 例 4 设平面上有点 P0 , P 1 , ?,如图所示,其中,线段 OP 0, P 0P 1, P 1P 2 ,?,的长成首项为 1,公比为 r 的等比数列. (1)若 0 ? r ? 1 ,则当 n ? ? 时, Pn 与哪一点无限接近? y ?P P? 0 2 1 (2)将(1)中的极限点用 Q 表示.若固定 r ? 而 ? 变动时,点 Q 所 2 描述的是怎样的曲线? ? P1 O x 解: (1)? ? r (cos? ? i sin ? ) ,此时,若将表示点 Pn 的复数记作 z n ,则有 z n ? z n?1 ? ? n ,其中 z ?1 就是原点 O .于是 z n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n 1 ? ? n?1 1 | ? n?1 | r n?1 (? ? 1) . | z n ? , |? ? 1? ? 1? ? |1? ? | |1? ? | 因此,若 0 ? r ? 1 ,令 n ? ? ,则 | z n ? (2) z ? 1 1 |? 0 , z n 所表示的点与 所表示的点最靠近. 1?? 1?? 1 z ?1 1 ,则有 ? ? , r ? 固定, ? 做变动,点 ? 总在以原点为圆心的圆周上.但因 1?? z 2 | ? |? 1 1 1 4 |z| ? 2 .于是当点 ? 在以原点为中心, 为半径的圆上,点 ,故有 相应的在以点 为 2 2 1?? 3 | z ?1| 2 为半径的圆上. 3 圆心, 例 5 设在复平面上: (1)原点为 O ,表示复数 Z 的点为 A ,点 B 由 | AB |? k |

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