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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(实验班)文

2018-2019 学年度第二学期期末试卷 高二实验班文科数学

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.已知全集 ,集合



,则

A.

B.



C.

D.

2.下列有关命题的说法正确的是(

)

A. 命题“若 ,则 ”的否命题为:“若 ,则 ”

B. “

” 是“

”的必要不充分条件

C. 命题“若 ,则

”的逆否命题为真命题

D. 命题“

使得

”的否定是:“

均有

或 ”

3.若向量 a ? (x ?1, 2) 和向量 b ? (1, ?1) 平行,则 a ? b =( )

(A) 10

(B) 10 2

(C) 2

(D) 2 2

4.设实数 分别满足





,则 的大小关系为

A.

B.

C.

D.

5.函数 f (x) ? x ln x(x ? 0) 的单调递减区间是 (

A. (??, 1) e

B. (0, 1) e

C. (1 ,1) e


D. (1 , ??) e

6.已知函数

,则

A. 2019 7.设函数 A.

B. ,
B.

C. 2

D. 1

有且仅有一个零点,则实数 的值为( )

C.

D.

8.如图,在 ?ABC 中, BE 是边 AC 的中线, O 是 BE 边的中点,若 AB ? a, AC ? b ,

则 AO =( )

1

A. 1 a ? 1 b 22
9.已知偶函数

B. 1 a ? 1 b 24
的图象经过点

C. 1 a ? 1 b 42
,且当

D. 1 a ? 1 b 44
时,不等式

恒成立,则使得

成立的 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

10.已知 是定义在 上的奇函数,当 时,

,则

()

A.

B.

C.

D.

11.函数

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

12.已知非零向量 a,b 满足 a =2 b ,且(a–b) ? b,则 a 与 b 的夹角为( )

A. π 6

B. π 3

C. 2π 3

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

D. 5π 6

13.已知幂函数 f(x)=xa 的图象过点 则函数 g(x)=(x﹣1)f(x)在区间 上的最

小值是_ 14.若命题

_. ,则命题 _____________.

15.已知向量 a ? (2, 2), b ? (?8, 6) ,则 cos ? a, b ?? ___________.

16.已知



,若

,则实数 的取值范

围是_

__.

三、解答题(共 6 小题,第 17 小题 10 分,其它每小题 12 分,共 70 分)

17.已知

; :函数

在区间 上有零点.

2

(Ⅰ)若 ,求使

为真命题时实数的取值范围;

(Ⅱ)若 是 成立的充分不必要条件,求实数 的取值范围.

18.已知全集U ? R ,非空集合 A ? {x | x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? a2 ? 2 ? 0},

x ? 3a ? a

x?a

(1)当

a

?

1 2

时,求

?CRB?

?

A



(2)命题 p : x ? A ,命题 p : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

19.设函数

f

?

x?

?

x

?

1 x



x ????, 0? ? ?0, ???

)的图象为

C1



C1 关于点 A?2,1? 的对

称的图象为 C2 , C2 对应的函数为 y ? g ? x? .

(Ⅰ)求函数 y ? g ? x? 的解析式,并确定其定义域;

(Ⅱ)若直线 y ? b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点的坐标.

20.已知函数



Ⅰ设 a,

,证明:



Ⅱ当

时,函数

有零点,求实数 m 的取值范围.

21.已知函数

设函数

函数





若在

上单调递减,求 m 的取值范围; 已知

的最小值为 ,求 m 的值.

求函数



的零点的个数,并说明理由.

? ? 22.已知函数 f ? x? ? log2 2x ? k ?k ? R? 的图象过点 P?0,1?.

(1)求 k 的值并求函数 f ? x? 的值域;

(2)若关于 x 的方程 f ? x? ? x ? m 有实根,求实数 m 的取值范围;

? ? ? ? ? ? (3)若函数 h

x

? 2 f ?x?

?

a

?

?
2??

x 2

?1???

,

x

?

0, 4

,则是否存在实数 a ,使得函数 h

x

的最大值

为 0 ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

3

参考答案

1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.B 13.﹣1. 14.

15. ? 2 10

16.

17.(1) (2)

解:(Ⅰ)当 时,

,





函数

在区间

上单调递增

且函数

在区间 上有零点

解得

,则

.

为真命题,

则的取值范围是 (Ⅱ)

. ,

解得 ,且 是 成立的充分条件

又因为 是 成立的不必要条件,所以(1)、(2)等号不能同时成立

综上得,实数 的取值范围是

.

18.(1)

A

?

? ??

1 2

,

2

? ??



B

?

? ??

1 2

,

9 4

? ??



?Cu

B?

?

A

?

?

(2)

? ??

1 2

,1???

?

?1,

2?

解:

(1)

A

?

? ??

1 2

,

2

? ??



B

?

? ??

1 2

,

9 4

? ??



?CuB? ? A ? ?

4

(2) a2 ? 2 ? a,? B ? {x | a ? x ? a2 ? 2} ∵ p 是 q 的充分条件,∴ A ? B ①当 3a ?1 ? 2 ,即 a ?1时, A ? ? ,不符合非空集合 A 题意; ②当 3a ?1 ? 2 ,即 a ?1时, A ? {x | 2 ? x ? 3a ?1}要使 A ? B 需要

a ?1 { a?2
3a ?1 ? a2 ? 2

∴1? a ? 2

③当 3a ?1? 2 ,即 a ?1时, A ? {x | 3a ?1 ? x ? 2}要使 A ? B 需要

a ?1 { a ? 3a ?1
2 ? a2 ? 2

∴1 ? a ?1 2

综上所述,实数

a

的范围是

? ??

1 2

,1???

?

?1,

2?

.

19.(Ⅰ) g ? x? ? x ? 2 ? 1 ( x????, 4? ??4,??? ).(Ⅱ)见解析
x?4
解:

(Ⅰ)设 P?u,v?是 f ? x? ? x ? 1 上任意一点,∴ v ? u ? 1 ①

x

u

设 P?u,v?关于 A?2,1?对称的点为 Q? x, y? , ?

u?x?4 {

u ?4?x ,解得{



v? y ? 2

v?2? y

代入①得 2 ? y ? 4 ? x ? 1 ,∴ y ? x ? 2 ? 1 ,

4?x

x?4

? g ? x? ? x ? 2 ? 1 ( x????,4? ??4,??? ).
x?4

y?b

(Ⅱ)联立{ y ? x?2?

1

, x2 ??b ? 6? x ? 4b ? 9 ? 0,

x?4

? ? ? ?b ? 6?2 ? 4??4b ? 9? ? b2 ? 4b ? 0 b ? 0 或 b ? 4 .

? 当 b ? 0 时得交点 ?3, 0? ;当 b ? 4 时得交点 ?5, 4? .

20. 解

5







成立;

Ⅱ由













即函数 是奇函数,

若当

时,函数

有零点,

即当

时,函数









有解,















,则











则设函数



上为增函数,





,即



则要使

有零点,





21.解 函数



①在

上单调递减,可得



解得 ;

② 的对称轴为



6



,即 ,即 在 递减,可得

,即

成立;



,即 ,即 在 递增,可得

,即

不成立;



,即

, 的最小值为 或 ,



,解得



,解得

综上可得



,此时 ,此时

,不成立; ,不成立.

函数



的零点个数,

即为

与 的图象交点个数,

作出

与 在 的图像如下:

又 时,

,可知两交点中一个为

可得在

上有 1 个交点,



上零点个数为 1.

22.(1)1, ?0, ??? ;(2) ?0, ??? ;(3)存在 a ? 17 使得函数 h? x? 的最大值为 0.
8
? ? 解:(1)因为函数 f ? x? ? log2 2x ? k ?k ? R? 的图象过点 P?0,1?,

所以 f ?0? ?1,即 log2 ?1? k ? ?1,所以 k ?1 ,
? ? ? ? 所以 f ? x? ? log2 2x ?1 ,因为 2x ? 0 ,所以 2x ?1 ?1,所以 f ? x? ? log2 2x ?1 ? 0 ,

所以函数 f ? x? 的值域为 ?0, ??? .

? ? (2)因为关于 x 的方程 f ? x? ? x ? m 有实根,即方程 m ? log2 2x ?1 ? x 有实根, ? ? 即函数 y ? log2 2x ?1 ? x 与函数 y ? m有交点, ? ? 令 g? x? ? log2 2x ?1 ? x ,则函数 y ? g ? x? 的图象与直线 y ? m有交点,

7

? ? ? ? 又 g ? x? ? log2

2x ?1

? x ? log2

2x ?1

? log2 2x

?

log 2

2x ?1 2x

?

log 2

???1 ?

1 2x

? ??

任取 x1, x2 ? R且x1 ? x2 ,则 0 ? 2x1

?

2x2

,所以

1 2x1

?

1 2x2

,所以1 ?

1 2x1

?

1?

1 2x2



所以 g ?x1? ? g ?x2 ? ?

log 2

???1 ?

1 2 x1

? ??

?log2

???1 ?

1 2 x2

? ??

?

0

?g ?x1? ? g ?x2 ? ,

所以

g

?x?在

R

上是减函数(或由复合函数判断

g

?

x?

?

log2

???1 ?

1 2x

? ??

为单调递减),

因为 1 ?

1 2x

? 1,所以 g ? x?

?

log2 ???1?

1 2x

? ??

?

?

0,

??

?



所以实数 m 的取值范围是 ?0, ??? .

? ? (3)由题意知

h?

x?

?

2x

?1?

a

x ?1
?22

?

2x

?

x
2a?22

?1,

x ? 0, 4 ,



t

?

x
22

,则

?

?t

?

?

t2

?

2at

?1,

t

??1,

4?



当 a ? 5 时, ? ?t? ? ? ?4? ?17 ?8a ? 0,所以 a ? 17 ,

2

max

8

当a ?

5 时, 2

? ?t ? max

? ? ?1? ? 2 ? 2a ? 0 ,所以 a ?1(舍去),

综上,存在 a ? 17 使得函数 h? x? 的最大值为 0.
8

8


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