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【新步步高】2017版高考数学(理江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题三 第1讲三角函数图象与性质_图文

专题三 三角函数、解三角形与平面向量

第1讲 三角函数的图象与性质

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? π? ? ? 1.(2016· 四川改编)为了得到函数 y=sin?2x-3?的图象, 只需把函数 y=sin ? ?

2x

π 右 平行移动________ 6 的图象上所有的点向______ 个单位长度.
解析
? ? ? ? π? π? ? ? ? ? ?? 由题意可知,y=sin?2x- ?=sin?2?x- ??, 3? 6?? ? ? ?

π 则只需把 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位. 6

解析答案

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π 2.(2016· 课标全国甲改编)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长 12 kπ π x= + (k∈Z) 2 6 度,则平移后图象的对称轴为______________.

解析

π 由题意将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函 12
? π? ? y=2sin?2x+ ? ?, 6? ?

数的解析式为

π π kπ π 由 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得函数的对称轴为 x= + (k∈Z). 6 2 2 6
解析答案

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3.(2016· 课标全国乙改编)已知函数

? π? π ? ? f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|≤ ?,x=- 2? 4 ?

?π π 5π? ? ? 为 f(x)的零点,x= 为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)在? , ?上单调,则 4 36? ?18 9 ω 的最大值为________.

解析

答案

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4.(2016· 江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图 7 象的交点个数是________. 解析 在区间[0,3π]上分别作出y=sin 2x和y=cos x的简图如下:

由图象可得两图象有7个交点.
解析答案

考情考向分析

1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点 考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点.

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热点分类突破

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
1.三角函数:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 y sin α=y,cos α=x,tan α= .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二 x 正弦,三正切,四余弦. sin α 2.同角关系:sin α+cos α=1, =tan α. cos α
2 2

kπ 3.诱导公式:在 +α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. 2

2π 例 1 (1)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 弧长到 3 1 3 (- , ) 2 2 达 Q 点,则 Q 点的坐标为__________.
2 2

解析 设Q点的坐标为(x,y),
2π 1 2π 3 则 x=cos =- ,y=sin = . 3 2 3 2 1 3 ∴Q 点的坐标为(- , ). 2 2

解析答案

31 - 2 25 (2)已知 θ 是第三象限角, 且 sin θ-2cos θ=- , 则 sin θ+cos θ=________. 5 2 解析 由 sin θ-2cos θ=- 及 sin2θ+cos2θ=1 得, 5 22 8 21 3 7 2 2 (2cos θ- ) +cos θ=1?5cos θ- cos θ- =0?cos θ= 或 cos θ=- , 5 5 25 5 25 7 因为 θ 是第三象限角,所以 cos θ=- , 25
24 31 从而 sin θ=- ,sin θ+cos θ=- . 25 25

思维升华

解析答案

跟踪演练 1

? (1)已知点 P? ?sin ?

3π 3π? ? ,cos 且 θ∈[0,2π), ?落在角 θ 的终边上, 4 4?

7π 4 则 θ 的值为________. 3 π cos π -cos 4 4 解析 tan θ= = =-1, 3 π sin π sin 4 4

3π 3π 又 sin >0,cos <0, 4 4
7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π),所以 θ= . 4
解析答案

(2)如图,以 Ox 为始边作角 α (0<α<π),终边与单位圆相 交于点 P,已知点 P 的坐标为
? 3 4? ? ? ?- , ? 5 5? ?

,则

18 sin 2α+cos 2α+1 25 =________. 1+tan α
3 4 解析 由三角函数定义,得 cos α=- ,sin α= , 5 5
2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? ∴原式= = sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α

=2cos

2

? 3? 18 ? ?2 α=2×?- ? = . 5? 25 ?
解析答案

热点二 三角函数的图象及应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图:
π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描 2 2 点、连线可得.

(2)图象变换:

向左?φ>0?或向右?φ<0? y=sin x——————————→y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位
? ????????? y=sin(? x+? ) 纵坐标不变
1 横坐标变为原来的 (? ?0)倍

纵坐标变为原来的A?A>0?倍 ————————————→y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变

例 2

(1)(2015· 山东改编)要得到函数

右 12 =sin 4x 的图象向________ 平行移动________ 个单位长度.
解析
? ? ? ? π? π? ? ? ? ? ?? ∵y=sin?4x- ?=sin?4?x- ??, 3? 12?? ? ? ?
? π? ? ? y=sin ?4x- ?的图象,只需将函数 3? ?

? π? ? y=sin ?4x- ? ? 的图象,只需将函数 3? ? π

y

∴要得到 单位.

π y=sin 4x 的图象向右平移 个 12

解析答案

(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A ,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如 π 1 图所示,则 f( )的值为________. 3

思维升华

解析

答案

跟踪演练 2

1 (1)已知函数 f(x)=sin x(x∈[0, π])和函数 g(x)= tan x 的图象 2

3 π 4 交于 A,B,C 三点,则△ABC 的面积为________.

解析

答案

(2)(2015· 陕西) 如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足 函数
?π ? ? ? y=3sin ? x+φ?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大 ?6 ?

8 值为________.

解析 由题干图易得ymin=k-3=2,则k=5. ∴ymax=k+3=8.
解析答案

热点三 三角函数的性质 1.三角函数的单调区间:
π π y=sin x 的单调递增区间是[2kπ-2, 2kπ+2](k∈Z), 单调递减区间是[2kπ π 3π +2,2kπ+ 2 ](k∈Z); y=cos x 的单调递增区间是[2kπ-π, 2kπ] (k∈Z), 单调递减区间是[2kπ, 2kπ+π] (k∈Z); π π y=tan x 的递增区间是(kπ-2,kπ+2)(k∈Z).

2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
π π 当 φ=kπ+ (k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求得. 2 2 π y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+ (k∈Z)时为奇函数; 2

当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.

例3

(2015· 重庆)已知函数

?π ? ? f(x)=sin? -x? ?sin ?2 ?

x- 3cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值;

?π ? ? ? f(x)=sin? -x?sin ?2 ?

x- 3cos2x

3 =cos xsin x- (1+cos 2x) 2
? 1 3 3 π? 3 ? ? = sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- , 2 2 2 3? 2 ?

2- 3 因此 f(x)的最小正周期为 π,最大值为 . 2
解析答案

(2)讨论
解 当

?π 2π? ? f(x)在? , ? ? 上的单调性. 3? ?6
?π 2π? π ? ? x∈? , ?时,0≤2x- ≤π, 3? 3 ?6

π π π 5π 从而当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增; 3 2 6 12 π π 5π 2π 当 ≤2x- ≤π,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 3 12 3
?π ?5π 5π? 2π? ? ? ? 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增,在? , ? ?上单调递减. 12? 3? ?6 ?12

思维升华

解析答案

跟踪演练3


设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a π = 2sin(2x+4)+1+a, 2π 则 f(x)的最小正周期 T= 2 =π, π π π 且当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,f(x)单调递增. 8 8 3π π 所以[kπ- ,kπ+ ](k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. 8 8
解析答案

π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R )的 6 对称轴方程.



π π π 7π 当 x∈[0, ]时? ≤2x+ ≤ , 6 4 4 12

π π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,sin(2 x+ )=1. 4 2 8 4 所以 f(x)max= 2+1+a=2?a=1- 2. π π kπ π 由 2x+ =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8 kπ π 故 y=f(x)的对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 8
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高考押题精练

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1.已知函数

? π? ? f(x)=sin ?ωx+ ? ? (x∈R, ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距 5? ?

π 离为 . 为了得到函数 g(x) = cos ωx 的图象,只要将 y = f(x) 的图象向 2 3π 左 20 ________ 平移________ 个单位长度.

押题依据

本题结合函数图象的性质确定函数解析式,然后考查图象

的平移,很有代表性,考生应熟练掌握图象平移规则,防止出错.

押题依据

解析

答案

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π 2.如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|≤ )与 2 π 坐标轴的三个交点 P、Q、R 满足 P(2,0),∠PQR= ,M 为 4 16 3 3 QR 的中点,PM=2 5,则 A 的值为________.

押题依据

由三角函数的图象求解析式是高考的热点,本题结合平面

几何知识求A,考查了数形结合思想.

押题依据

解析

答案

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3.已知函数 f(x)=2asin ωx· cos ωx+2 3cos2ωx- 3 (a>0,ω>0)的最大值 为 2,x1,x2 是集合 M={ x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最 小值为 6.

(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程;

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,当
x∈(-1,2]时,求函数h(x)=f(x)· g(x)的值域.

押题依据

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