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椭圆的简单几何性质1标准课件(示范课)dhqw_图文

康县一中

复习:
1.椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于 |F1F2 |)的动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

观察:椭圆
2 2 x y 一、范围: ? 1, ? 1得: 2 2 a b -a≤x≤a, -b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b

a

F1

o c
B1

A2

F2

椭圆对称性
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

关于y轴对称
P2(-x,y) P(x,y)

Y

O

X

关于原点对称
P3(-x,-y) P1(x,-y)

关于x轴对称

二、椭圆的对称性 2 2 x y 在 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)之中, a b
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称; 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称; 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆 y 关于( 原点 )对称; 所以,坐标轴是 椭圆的对称轴,原点 是椭圆的对称中心。

o

x

中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

三、椭圆的顶点

令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点(
令 y=0,得 x=?, *顶点:椭圆与它的对称 轴的四个交点,叫做椭圆的 顶点。 *长轴、短轴: 线段 A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半

x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, a b

2

2

0, ±b ), 说明椭圆与 x轴的交点( ±a, 0 )。
y B1(0,b)
A1 o

A2(a,0) x
B2(0,-b)

轴长和短半轴长。

问题2:圆的形状都是相同的,而椭圆 却有些比较“扁”,有些比较“圆”, 用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度 呢?

四、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率.
[1]离心率的取值范围:因为 a > c > 0,所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响:

观察思考:随着c的变化,b是如何变化的? 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a,e就越接近 1,b就越小,椭圆就越扁 2)c 越接近 0,e就越接近 0,b就越大,椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合)e =0,则 b= a, 椭圆方程变为x2+ y2=a2(圆)

小结一:基本元素
{1}基本量:a、b、c、e、(共四个量) {2}基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) {3}基本线:对称轴(共两条线) 请考虑:基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系(位置、数量之间 的关系) y B1(0,b)

A1

o B2(0,-b)

A2 x

2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 求椭圆 16 x 例4 率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。

x y ? 2 ?1 解:把已知方程化成标准方程 2 5 4 a ? 5, b ? 4, c ? 25 ? 16 ? 3
椭圆的长轴长是: 2a=10 椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:

2

2

c 3 离心率: e ? ? ? 0.6 a 5
四个顶点坐标是:

F 1 (?3,0), F 2 (3,0)

A1 (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4)

2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 求椭圆 16 x 例1 率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。

4 2 y ? ? 25 ? x 把已知方程变形为: 5

在0≤ x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y):
X Y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4
Y

5 0

先描点画出椭圆的一部分, 再利用椭圆的对称性, 画出整个椭圆。 椭圆的简单画法: 矩形

O

X

椭圆四个顶点

连线成图

椭圆的简单画法
x y ? ?1 (1 ) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义 一个框,四个点,注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现 y
y
M

F1
F2
x

M x




F1
2 2

O

O F2

方 范

程 围

2 2 x y x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 b a a b |x|? a |y|? b |x|? b |y|? a

对称性 焦 点

关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(?c,0) (?a,0)、(0,?b) (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a)





离心率

c e? a

巩固练习:

x2 y2 1. 若点P(x,y)在椭圆 25 ? 9 ? 1

上,则点P(x,y)横坐标x的取值范围 上的点有 (1)P(-2,4) (2)P(-4,2) (3) P(-2,-4) (4)P(2,-4)



x2 y2 2.若点P(2,4)在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,下列是椭圆 a b

3. 中心在原点,焦点在x轴上,长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ? 4.说出椭圆 4 x 点和焦点坐标
2

? y 2 ? 16 的长轴长,短轴长,顶

1 x2 y2 已知椭圆 ? ? 1的离心率 e ? ,求k 的值 2 k ?8 9
解:当椭圆的焦点在
2

思考:

x 轴上时,

2 2 c ? k ?1. b ? 9 ,得 a ? k ?8 , 1 由 e ? ,得: k ? 4 2

当椭圆的焦点在
2 , a ?9 b
2

y 轴上时,

? k ?8

,得 c ? 1 ? k .
2

1 5 1? k 1 ? ,即 k ? ? . 由e? ,得 9 4 2 4

5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4

小结:
1.知识小结:

(1) 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。
(2) 研究了椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系 2.数学思想方法:

(1)数与形的结合,用代数的方法解决几何问题。
(2)分类讨论的数学思想

1、教材P49 习题2.2 第4、5题 2、《三维设计》P26 第二课时

0? ,其长轴长是短轴长 例2 椭圆的一个顶点为 A?2, 的2倍,求椭圆的标准方程.
分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置

a 0? 为长轴端点时, 解:(1)当 A?2,

? 2 ,b ? 1,

2 2 x y 椭圆的标准方程为: ? ?1 ; 4 1 0? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 , (2)当 A?2, x2 y2 ? 1; 椭圆的标准方程为: ? 4 16 2 2 x2 y2 x y ? ?1 或 ? ?1 综上所述,椭圆的标准方程是 4 1 4 16

四、椭圆的离心率
离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 : c e? 叫做椭圆的离心率。 a
[1]离心率的取值范围:0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆 [3]e与a,b的关系:

c e? ? a

a ?b b ? 1? a a
2 2 2

2

2

四、椭圆的离心率
离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围:0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,椭圆就越扁; 2)e 越接近 0,椭圆就越圆。 [3]e与a,b的关系:

c e? a

c e? ? a

a ?b b ? 1? a a
2 2 2

2

2

复习:
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1
O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

方 程

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y B2 B1

y a
B1

2

2

?

A2 Y
_

x b

2

2

?1

图 形

F1

F2

A1

0

A2

x

F1 O F2

B2

_

X

A1

范 围 对 称 性

? a ? x ? a,?b ? y ? b

? b ? x ? b,?a ? y ? a

关于x轴,y轴,原点对称。
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

顶 A (-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0, b) 点 1 离 心 率

c e ? (0 ? e ? 1) a

康县一中

一个框,四个点,注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义
y
y
M

F1
F2
x

M x




F1
2 2

O

O F2

方 范

程 围

2 2 x y x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 b a a b |x|? a |y|? b |x|? b |y|? a

对称性 焦 点

关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(?c,0) (?a,0)、(0,?b) (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a)





离心率

c e? a

新课讲授
例 5. 如图, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转 椭圆面的一部分. 过对称的截口 BAC 是椭圆的 一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门 位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F1 发 出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一 个焦点 F2.已知 BC ? F1 F2, | F1 B |? 2.8cm, | F1 F2 |? 4.5cm.建立适当 的坐标系,求截口 BAC 所 在椭圆的方程.

例6.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到
4 25 定直线l :x= 的距离的比是常数 , 求点 5 4

M的轨迹.
y
M

l

d
F

o

x

新课讲授
探究:若点 M(x,y)与定点 F(c,0)的距离 2 c a 和它到直线 l:x ? 的距离的比是常数 a c (a ? c ? 0) ,求点 M 的轨迹方程.

l'

y

l

M
c c F? O F x

探究、 点M(x,y)与定点F(c,0)的距离 和它到定直线
a2 c l : x ? 的距离比是常数 (a ? c ? 0). 求M点的轨迹。 c a

解:如图,设d是点M到直线L的距离,根据题意,所求轨
迹的集合是: MF c? P ? {M | ? ? d a? 由此得 :

? x ? c? ? y2
2

2 2 2 令 a ? c ? b , 可化得 : (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ).
2 2 2 2 2 2 2 2

a2 ?x c

c ? , 平方,化简得 : a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

这是一个椭圆的标准方程,所以点M的 轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。

利用椭圆的几何性质求标准方程 例7 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长等于20,离心率3/5。 (2) 6 (2)椭圆过(3,0),离心率e= ; x2 y2 ? ? 1或 3 9 3 c 3 解:(1): 2a ? 20, e ? ? y2 x2 ? ?1 a 5 9 27

x y y x ? 椭圆方程为: ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64
注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量

? a ? 10, c ? 6 ? b ? 8.
2 2 2

2

x2 y2 想一想:点P是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的动点, a b a (?a,0)时,P到原点O的最大距离为________; 当P的坐标为_______ 设F1 (c, 0), 则

(0,?b)时,P到原点O的最小距离为_________. b 当P的坐标为______

a?c 当P的坐标为 (-a,0) _____ 时,| PF1 | 的距离最大为 ______;

a?c . 当P的坐标为 (a,0) ______ 时,| PF1 | 的最小距离为 ________ y
o x

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a









|x|≤ a,|y|≤ b

|x|≤ b,|y|≤ a

对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称。

(?a,0) , (0, ?b) (?b,0) , (0, ?a)

(?c,0)

(0,?c)

长半轴长为a,短半轴长为b.

a,b,c关系 离 心 率

焦距为2c;

a2=b2+c2
c e ? a

例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程: (2)长轴的长等于20,离心率等于3/5 。 (2)、由已知,

?a ? 10, c ? 6,
2 2

c 3 2a ? 20, e ? ? , a 5
2

?b ? 10 ? 6 ? 64.
由于椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上, 所以所求椭圆的标准方程为 :

x y y x ? ? 1或 ? ? 1. 100 64 100 64

2

2

2

2

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

例题讲解
例 5.设 M(x,y)与定点 F(4,0)的距离和它到

25 4 x? 直线 l: 的距离的比是常数 ,求点 4 5
M 的轨迹方程.

2.1.2 椭圆的简单几何性质
(第二课时)

练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程
6 (1)椭圆过(3,0),离心率e= ; 3

(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点, F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴 长是6且cos∠OFA=2/3;

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

c 3 解(2): 2a ? 20, e ? ? a 52

? a ? 10, c ? 6

?b ? 8.

x y2 y2 x2 ? 椭圆方程为: ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64

注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量

x2 y2 例3:已知椭圆 + = 1,过点P(2,1)作一弦,使弦在这 16 4 点被平分,求此弦所在直线的方程。
y

P(2,1)

-4

o

4

x

x2 y2 例3:已知椭圆 + = 1,过点P(2,1)作一弦,使弦在这 16 4 点被平分,求此弦所在直线的方程。
y

P(2,1)

-4

o

4

x

方法感悟

1.椭圆的几何性质的作用 椭圆的焦点决定椭圆的位置,范围决定椭圆的 大小,离心率决定了椭圆的扁圆程度,对称性 是椭圆的重要特征,顶点是椭圆与对称轴的交 点,是椭圆重要的特殊点;若已知椭圆的标准 方程,则根据a、b的值可确定其性质. 2.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一 个量,其取值范围是0<e<1.离心率越大,椭圆 越扁;离心率越小,椭圆越接近于圆.

二、 直线与圆的位置关系的判定 1.代数方法

直线方程L:Ax+By+C=0 圆的方程C:(x-a)2+(y-b)2=r2
由方程组: >0
=0 <0

Ax+By+C=0 (x-a)2+(y-b)2=r2
两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

直线与椭圆的位置关系
康县一中 杜红全

(1)什么是椭圆的离心率?
椭圆的焦距与长轴长的比 椭圆的离心率. (2)离心率的取值范围?

c e = ,叫做 a
0<e<1

(3)椭圆离心率的几何意义是什么? 椭圆扁圆的程度 (4)离心率对椭圆形状怎样影响的? 离心率越大,椭圆越扁;离心率越小, 椭圆越接近于圆.

思考1:在直角坐标系中,已知点M(x0,y0) 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,如何判断点 和圆C: M在圆外、圆上、圆内?
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;

(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

1、点与椭圆的位置关系

x2 y2 点P ( x0 , y0 )与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)位置关系 : a b x 0 2 y0 2 点P 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1; a b 2 2 x0 y0 点P 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1; a b 2 2 x0 y0 点P 在椭圆外 ? 2 ? 2 ? 1; a b

1、点与椭圆的位置关系

x y 例1、点A(a ,1)在椭圆 ? 的内部,求a的 4 2 取值范围。

2

2

思考2、直线与圆的位置关系的判定

1.几何方法 直线与圆相离
直线与圆相切 直线与圆相交

d>r d=r

d<r

思考2:直线与圆的位置关系的判定 2.代数方法

直线方程L:Ax+By+C=0 圆的方程C:(x-a)2+(y-b)2=r2
由方程组: >0
=0 <0
相交 相切 相离

Ax+By+C=0 (x-a)2+(y-b)2=r2

直线与椭圆的位置关系

相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 种类 相切 :

相离(没有交点)
相切(一个交点) 相交(二个交点)

思考3:怎么判断它们之间的位置关系?能用几 何法吗? 因为椭圆不具备圆特有的性 质,即圆心到圆上各点的距 不能! 离都相等。 所以只能用 代数法

思考3:
三种位置关系的处理思想是什么?
1、形方面:交点个数; 2、数方面:转化为一元二次方程利 用判别式。

2、直线与椭圆的位置关系的判断 : 设直线方程为y ? kx ? m , x y 椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), a b ? y ? kx ? m ? 2 联立 ? x y2 ? a 2 ? b2 ? 1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? (b ? a k ) x ? 2kma x ? a m ? a b ? 0, 则 ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与椭圆相离;
2 2

当m取何值时,使直线 例 2、 与椭圆
2 2

9 x ? 16 y ? 144

y ? x?m

(1)相交;(2)相切;(3)相离

x2 2 例 3、 设AB是过椭圆 ? y ? 1右焦点弦,且AB的 4

? 倾斜角为 4
的长。

, 求弦AB所在的直线方程及弦AB

x2 y2 设直线方程为y ? kx ? m , 椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 a b 2 2 y x 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 直线与椭圆的两个交点为 a b A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 1 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? 2 | y1 ? y2 | k
2
.

三.弦长公式

特别地当直线斜率不存在时,则 当直线斜率为0时,则
AB ? x1 ? x2

AB ? y1 ? y2

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件; 2、弦长的计算方法: (1)垂径定理:|AB|= 2 r 2 ? d 2 (只适用于圆) (2)弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2

= 1?

1 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 2 k

(适用于任何二次曲线曲线)

作业 1.过椭圆x 2 ? 9y 2 ? 9的右焦点作倾斜角为30 0
的直线, 交椭圆于A, B两点, 求弦AB的长.

2、直线l:y=x+4与椭圆

离,求实数m的取值范围.

x y 相 ? ?1 4 m
2 2

2

2

x y 3、直线L:y=2x+3与椭圆 ? ?1 16 9
的位置关系如何?

例1.过椭圆x 2 ? 9y 2 ? 9的右焦点作倾斜角为30 0 的直线, 交椭圆于A, B两点, 求弦AB的长.
3 解 : 由已知可得, 右焦点C ( 2 2 , 0), 直线AB为 : y ? ( x ? 2 2 ), 3 代入椭圆方程并整理得 : 4 x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0, 15 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? 3 2 , x1 x2 ? 4 ? 3? ?| AB |? 1 ? ? ? 3 ? ? ? ?
2

15 (3 2 ) ? 4 ? ?2 4
2

椭圆的弦长公式
当直线与二次曲线相交于两点 A,B 时,得到弦 AB。 (1)若直线 AB 具有斜率 k , 设直线与二次曲线的两个交点坐标分别为 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) , 则它的弦长
2 AB ? 1? k2 x1 ? x2 ? (1? k2 ) ? ( x ? x ) ? 1 2 ? 4x1x2 ? ? ? 1?

1 ? y1 ? y2 2 k

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设

而不求的技巧而已 (因为 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ,运用韦达定理来进行计 算. (2)当直线斜率不存在是,则 AB ? y1 ? y2 .


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椭圆的简单几何性质1标准课件(优质课)_图文.ppt

椭圆的简单几何性质1标准课件(优质课) - 高中数学(人教A版)选修2-1第二章

椭圆的简单几何性质1标准课件_图文.ppt

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椭圆的简单几何性质课件(公开课)第一课时_图文.ppt

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《椭圆的几何性质1》(课件)_图文.ppt

《椭圆的几何性质1(课件) - 椭圆的简单几何性质 (一) 古丈一中 杨海坤 一、教材分析 (一)教材的地位和作用 “椭圆的简单几何性质”是人教A版高中实 验教材...

椭圆的简单基本性质优秀课件(公开课)_图文.ppt

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《椭圆的简单几何性质》PPT课件_图文.ppt

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椭圆的简单几何性质_(公开课)_图文.ppt

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椭圆的简单几何性质-(公开课)_图文.ppt

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椭圆的简单几何性质--课件 - 椭圆的简单几何性质(一) 创设情境,认识 椭圆基本形状 2011年11月1日,我国 “神舟八号”最新型的飞船”发射成 功 ,,这标志着我...

椭圆的简单几何性质(一)_图文.ppt

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