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2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4:4.2 曲线的极坐标方程


4.2

曲线的极坐标方程

[对应学生用书 P12]

1.曲线的极坐标方程 一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f(ρ,θ)=0;并且极坐标适 合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线上,那么这个方程称为曲线的极坐标方程,这条曲线称为这 个极坐标方程的曲线. 2.求曲线的极坐标方程的基本步骤 (1)建系:建立适当的极坐标系; (2)设点:在曲线上任取一点 P(ρ,θ); (3)列式:根据曲线上点所满足的条件写出等式; (4)化简:用极坐标 ρ,θ 表示上述等式,并化简得极坐标方程; (5)证明:证明所得的方程是曲线的极坐标方程. 3.直线的极坐标方程 (1)若直线 l 经过点 M(ρ0,θ0),且直线 l 的倾斜 角为 α,则此直线的极坐标方程为 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). (2)几种常见直线的极坐标方程:

4.圆的极坐标方程 (1)若圆心的坐标为 M(ρ0,θ0),圆的半径为 r,则圆的极坐标方程为 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)
2 +ρ0 -r2=0.

(2)几种常见圆的极坐标方程:

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[对应学生用书 P12] 求曲线的极坐标方程 π? 3π [例 1] 设 P? ?2,4?,直线 l 经过 P 点且与极轴所成的角为 4 ,求直线 l 的极坐标方程. [思路点拨] 取直线上任意点 M(ρ,θ),构造三角形求 OM. [精解详析] 如图,设 M(ρ,θ)为直线 l 上除 P 点外的任意一点,连接 3π OM,OP,该直线交 Ox 于点 A,则有 OM=ρ,OP=2,∠xAM= ,∠ 4 π π OPM= ,∠MOP=θ- ,所以有 OMcos∠MOP=OP, 2 4 π? 即 ρcos? ?θ-4?=2,显然 P 点也在这条直线上. π? 所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-4?=2.

求平面曲线的极坐标方程,就是要找极径 ρ 和极角 θ 之间的关系,常用解三角形(正弦 定理、余弦定理及直角三角形的边角关系)的知识来建立 ρ、θ 之间的关系.

1.已知动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为 e,求点 M 的极坐标方程. 解:过点 F 作直线 l 的垂线,垂足为 K,以点 F 为极点,FK 的反向延长线 Fx 为极轴, 建立极坐标系(如图).

设 M(ρ,θ)是曲线上任意一点,连接 MF, 作 MA⊥l,MB⊥Fx,垂足分别为 A,B, MF 那么 =e. MA

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设点 F 到直线 l 的距离为 FK=p. 由 MF=ρ,MA=BK=p+ρcos θ, 得 ep =e,即 ρ= . p+ρcos θ 1-ecos θ ρ

2.从极点 O 作圆 ρ=2acos θ 的弦 OM,求各弦的中点 P 的轨迹方程. 解:设 P 点的极坐标是(ρ,θ),M 的极坐标是(ρ1,θ1). ∵点 M 在圆 ρ=2acos θ 上, ∴ρ1=2acos θ1. ∵P 是 OM 的中点,

? ?ρ1=2ρ, ∴? ?θ1=θ. ?
将它代入 ρ1=2acos θ1 得 2ρ=2acos θ, 故 P 的轨迹方程是 ρ=acos θ. 直线的极坐标方程

π [例 2] 求过点 A(1,0)且倾斜角为 的直线的极坐标方程. 4 [思路点拨] 法一:按照求极坐标方程的步骤建系、设点、坐标化可求. 法二:先求直角方程,再将互化公式代入可得. [精解详析] 法一:如图,设 M(ρ,θ)(ρ≥0)为直线上除点 A 以外的任意一点, π 3π 则∠xAM= ,∠OAM= , 4 4 π ∠OMA= -θ, 4 在△OAM 中,由正弦定理得 OM OA ρ 1 = ,即 = , 3π π sin∠OAM sin∠OMA ? -θ? sin sin 4 ?4 ?

π ? 2 所以 ρsin? ?4-θ?= 2 ,

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π π 2 ? 即 ρ? ?sin4cos θ-cos4sin θ?= 2 , 化简,得 ρ(cos θ-sin θ)=1, 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程, 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ-sin θ)=1. 法二:以极点 O 为直角坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy, π 直线的斜率 k=tan =1, 4 直线方程为 y=x-1,将 y=ρsin θ,x=ρcos θ(ρ≥0)代入上式,得 ρsin θ=ρcos θ-1,所以 ρ(cos θ-sin θ)=1.

求直线的极坐标方程的一般方法为:在直线上设 M(ρ,θ)为任意一点,连接 OM,构造 出含有 OM 的三角形,再利用三角形知识求 OM,即把 OM 用 θ 表示,这就是我们所需求的 ρ 与 θ 的关系,即为直线的极坐标方程,也可先求出直角坐标方程,再变换为极坐标方程.

3.求满足下列条件的直线的极坐标方程: π -2, ?且与极轴平行; (1)过点? 3? ? π? (2)过点? ?-2,-3?且与极轴垂直; π (3)过极点且与极轴成 角. 3 π 4π -2, ?与点?2, ?相同, 解:(1)点? 3? 3? ? ? 4π? 所以过点? ?2, 3 ?且与极轴平行的直线极坐标方程为 ρsin θ=- 3. π? ? 2π? (2)点? ?-2,-3?与点?2, 3 ?相同, 2π? 所以过点? ?2, 3 ?且与极轴垂直的直线极坐标方程为 ρcos θ=-1. π π (3)过极点且与极轴成 的角的直线方程为 θ= . 3 3 4.求过点(-2,3),且斜率为 2 的直线的极坐标方程. 解:由题意可知,直线的直角坐标方程为 y-3=2(x+2),即 2x-y+7=0.设 M(ρ,θ)

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为直线上任意一点,将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 2x-y+7=0 得 2ρcos θ-ρsin θ+7=0.故 所求的极坐标方程为 2ρcos θ-ρsin θ+7=0. 圆的极坐标方程 3π 2, ?, [例 3] 求圆心在 A? 并把它化为直角坐标方程. 2 ? 并且过极点的圆的极坐标方程, ? [思路点拨] 设 P(ρ,θ)是圆上任意一点,结合图形,构造三角形后可求解. [精解详析] 如图,设 P(ρ,θ)为圆上除 O、B 外的任意一点,连接 OP,PB,则有 OB 3π? π =4,OP=ρ,∠POB=? ?θ- 2 ?,∠BPO=2,从而△BOP 为直角三角 3π? 形, 所以有 OP=OBcos∠POB, 即 ρ=4cos? ?θ- 2 ?=-4sin θ.点 O(0,0), 3π? B? ?4, 2 ?也适合此方程. 故所求圆的极坐标方程为 ρ=-4sin θ. 化为直角坐标方程为 x2+y2+4y=0.

求与圆有关的极坐标方程时, 关键是找出曲线上点满足的几何条件, 转化为解三角形问 题,从而建立 ρ、θ 满足的关系式即方程,也可先求直角坐标方程,再化为极坐标方程.

5.求满足下列条件的圆的极坐标方程: (1)半径为 4,在极坐标系中圆心坐标为(4,π); (2)在直角坐标系中,圆心为(-1,1),且过原点. ρ 解:(1)因为 =4sin(θ-90° )=-4cos θ, 2 所以圆的极坐标方程为 ρ=-8cos θ. (2)因为圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2, 即 x2+y2=-2(x-y). 由坐标变换公式,得 ρ2=-2(ρcos θ-ρsin θ), 所以圆的极坐标方程为 ρ=2(sin θ-cos θ). 6.求以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的极坐标方程.

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解:如图所示,设圆心为 C(1,1),P(ρ,θ)为圆上任意一点,过 C 作 CD ⊥OP 于点 D, ∵CO=CP,∴OP=2DO. 在 Rt△CDO 中,∠DOC=θ-1, ∴DO=cos(θ-1). ∴OP=2cos(θ-1),因此圆的极坐标方程为 ρ=2cos(θ-1).

[对应学生用书 P14] 1.将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化. 1 (1)y2+x2-2x-1=0;(2)ρ= . 2-cos θ 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ,代入原方程, 得 ρ2-2ρcos θ-1=0. 1 (2)由 ρ= 得 2ρ-ρcos θ=1, 2-cos θ 所以 2ρ=ρcos θ+1,令 x=ρcos θ,ρ2=x2+y2, 得2 x2+y2=x+1,

两边平方整理得 3x2+4y2-2x-1=0. π? 2.(北京高考改编)在极坐标系中,求点? ?2,6?到直线 ρsin θ=2 的距离. π? 解:极坐标系中点? ?2,6?对应直角坐标系中坐标为( 3,1),极坐标系直线 ρsin θ=2 对 应直角坐标系中直线方程为 y=2,所以距离为 1. 3.在极坐标系中,已知圆 ρ=2cos θ 与直线 3ρcos θ+4ρsin θ+a=0 相切,求实数 a 的 值. 解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1, 直线的方程为 3x+4y+a=0.

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|3×1+4×0+a| 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,即有 =1,解得 a=-8 或 a= 32+42 2. 故 a 的值为-8 或 2. π? 4.极坐标方程(ρ-2)? ?θ-3?=0(ρ≥0)表示的图形是什么? π? π 解:由(ρ-2)? ?θ-3?=0(ρ≥0),得 ρ=2 或者 θ=3(ρ≥0),其中前者表示的图形是圆,后 者表示的图形是一条射线. 5.(安徽高考改编)在极坐标系中,求圆 ρ=2cos θ 的垂直于极轴的两条切线的方程. 解:由 ρ=2cos θ 可得 x2+y2=2x?(x-1)2+y2=1,所以圆的圆心为(1,0),半径为 1, 与 x 轴垂直的圆的切线方程分别是 x=0,x=2,在以原点为极点的极坐标系中,与之对应 π 的方程是 θ= (ρ∈R)和 ρcos θ=2. 2 π? 6. (天津高考改编)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ, 圆心为 C, 点 P 的极坐标为? ?4,3?, 求 CP 的长. 解:如图,由圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ 知 OC=2,又因为点 P 的 π? π 极坐标为? ?4,3?,P 的直角坐标为(2,2 3),所以 OP=4,∠POC=3,在△ π POC 中 , 由 余 弦 定 理 得 CP2 = OP2 + OC2 - 2OP· OC· cos = 16 + 4 - 3 1 2×4×2× =12,所以 CP=2 3. 2 π? 7.在极坐标系中,O 为极点,求过圆 C:ρ=6cos? ?θ-3?的圆心 C 且与直线 OC 垂直的 直线 l 的极坐标方程. π? ? π? 解:圆心 C 的坐标为? ?3,3?,设直线 l 上任意一点 P(ρ,θ),则有 ρcos?θ-3?=3. π θ- ?=3. 故直线 l 的极坐标方程为 ρcos? ? 3? π? 8.在极坐标系中,点 O(0,0),B? ?2 2,4?.

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(1)求以 OB 为直径的圆 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 的极坐标方程为 ρcos A+ρsin A=4,判断直线 l 与圆 C 的位置关系. π 解:(1)设 P(ρ,θ)是所求圆 C 上任意一点,因为 OB 为直径,所以∠OPB= ,所以 OP 2 π? =OBcos? ?θ-4?, π? 2 2 即 ρ=2 2cos? ?θ-4?,化为直角坐标方程,得 x +y -2x-2y=0. (2)圆 C 的圆心为 C(1,1),半径 r= 2,直线 l 的直角坐标方程为 x+y-4=0, |1+1-4| 所以圆心到直线 l 距离 d= = 2=r. 12+12 故直线与圆 C 相切.

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