tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

椭圆及其标准方程教学设计


椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程教学设计

姓名:齐瑞敏 时间:2013 年 3 月

第 1 页

共 8 页

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程
一、教材及学情分析
本节课是《 (选修 2-1) ·数学》第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时。 用一个平面去截一个对顶的圆锥,当平面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分 别是圆、椭圆、抛物线、双曲线,我们将这些曲线统称为圆锥曲线。在这一章中,我们将继续用坐标法探 究圆锥曲线的几何特征,建立它们的方程,通过方程研究它们的简单性质,并用坐标法解决一些与圆锥曲 线有关的简单几何问题和实际问题,进一步感受数形结合的基本思想。 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在 必修二中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个 基本的几何图形,在这一章中,教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于 教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应 用和巩固,因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如:数形结合思想、化归思想等。因此,教学时应重视体 现数学的思想方法及价值。 根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用动态作图优势为学生的数学探究与 数学思维提供支持。

二、教学目标
1.知识与技能:是学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推到及标准方程(两种形式) 2.过程与方法: (1)通过引导学生亲自动手尝试画椭圆,让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养 学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力。 (2)通过椭圆概念的引入和标准方程的推导过程,培养学生分析探索能力,熟练掌握解决解析几何问 题的方法——坐标法。 3.情感、态度、价值观: (1)充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、 反思,促进形成研究氛围和合作意识 (2)重视知识的形成过程教学,让学生知其然并知其所以然,通过学习新知识体会到前人探索的艰 辛过程与创新的乐趣 (3)通过对椭圆定义的严密化,培养学生形成扎实严谨的科学作风 (4)通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美 (5)利用椭圆知识解决实际问题,使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量,增强学习数学的 兴趣和信心

三、重点、难点
重点:掌握椭圆的定义及标准方程,理解坐标法的基本思想。 难点:椭圆标准方程的推导与化简,椭圆常数中加以限制的原因,含两个根号的等式的化简

四、教学方法:
(1)用模型结合多媒体课件演示椭圆,再给出椭圆定义,最后加以强调,加强概念的形成过程教学。 (2)对椭圆标准方程的推导,可以采用观察、分析、归纳、抽象、概括、自主探究(即教师通过问题诱
第 2 页 共 8 页

椭圆及其标准方程 导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律) 、合作交流的教学方法,调动学生 参与课堂的主动性和积极性。

五.教具准备:多媒体课件和自制教具:有水的透明玻璃杯,绘图板、图钉、细绳。 六、教学过程 (一)创设情境,认识椭圆(5 分钟) 1. 材料及问题:
材料 1:对椭圆的感性认识。通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片,让学生从感性上认识椭 圆。 材料 2: “嫦娥一号”模拟轨道图. 2007 年 10 月 24 日,我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功 , 开始了举世瞩目的太空之旅,流传了 几千年的飞天神话,变成了现实 ,这标志着我国航天事业又上了一个新台阶,这是中国人的骄傲.请问: “嫦娥一号” 绕地球飞行的运行轨道是什么?(课件演示轨道图) (设计意图:利用多媒体,展示学生常 见的椭圆形状的物品,让学生从感性上认识椭圆:通过“嫦娥一号”的轨道录像,让学生感受现实,激发 学生的学习兴趣,培养爱国思想。 ) 材料 3:用圆柱状透明玻璃水杯盛半杯水,将水杯放在水平桌面上,截面为圆形。当端起水杯喝水时,水 杯倾斜,再观察水平面,此时截面为椭圆形。 看来,椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线.圆是到定点距离等于定长的点的轨迹,根据圆的定义, 用一根细绳就可画出一个圆.将细绳的一头固定在黑板上,在另一端系上一支粉笔,将细绳绷紧并绕固定 端点旋转一周即可。 想一想:用绳和笔怎样能做出一个椭圆呢? 2.学生分组试验 (1)取一条细绳; (2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点 F1 、 F2 ; (3)用铅笔尖( M )把细绳拉紧,在板上慢慢移动观察画出的图形是什么? (教师巡视指导,展示学生成果) (4)用绘图板和图钉及笔做一个椭圆让学生对比观察。 3.分析实验,得出规律 (1)在画出一个椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? (2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? (3)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?
第 3 页 共 8 页

椭圆及其标准方程 (4)改变绳子长度与两定点距离的大小,轨迹又是什么? 学生总结规律: | MF 1 | + | MF 2 |> | F 1F 2 | 轨迹为椭圆;

| MF1 | + | MF2 |= | F1F2 | 轨迹为线段 ; | MF1 | + | MF2 |< | F1F2 | 轨迹不存在.
(设计意图:在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个实验,一来是为了给学生 一个动手实验的机会, 让学生体会椭圆上点的运动规律; 二是通过实践思考, 为进一步上升到理论做准备。 )

想一想:椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么?(椭圆的定义) ;能否用代数 方法精确地刻画出这种共同的几何特征? (椭圆的标准方程) . 这就是我们这节课的重点内容. (设计意图:从学生实验中导出新课,明确研究课题) (二)意义建构——感知数学(3 分钟)
椭圆定义的初步生成 学生每 2 人一组,合作探究,教师巡视指导。 请学生代表本小组交流探究结论:根据椭圆画法,从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定 长(绳长)的点的轨迹为椭圆(绳长大于两定点间距离) 。

(三)形成理论——建立数学(5 分钟)
1.椭圆定义的完善 提出问题:能不能用自己的话来说一下自己理解的椭圆的定义?绳子定长这个常数可以是任意正实数 吗?有什么限制条件吗? 引导学生回答:在“定义”中需要加上“常数> F1 F2 ”的限制。继续深化问题:若常数= F1 F2 或常 数< F1 F2 ,情况会发生什么变化? 应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边” 、 “两点之间线段最短”为理论依据,得出结论: (1)当常数= F1 F2 时,与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是线段 F1F2 ; 常数< F1 F2 时,与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数的点的轨迹不存在. 请学生给出经过修改的椭圆定义,教师用幻灯片给出完善的椭圆定义,并介绍焦点、焦距的定义. (2)当

问题:椭圆定义用集合语言如何表示? MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c) 。
(设计意图: 使学生经历椭圆概念的生成和完善过程,提高其归纳概括能力, 加深对椭圆本质的认识, 并逐渐养成严谨的科学作风)

(四)合理建系,推导方程. (15 分钟) 1.复习求曲线的方程的基本步骤:⑴建系;⑵设点;⑶列式;⑷化简;
(5)验证(可省略) (由学生回答,不正确的教师给予纠正。 )

2.如何选取坐标系?
【学情预设】学生可能会建系如下几种情况: 方案一:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 的中点为原点;
第 4 页 共 8 页

椭圆及其标准方程 方案二:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1 为原点; 方案三:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 与 x 轴的左交点为原点; 方案四:把 F1、F2 建在 y 轴上,以 F1F2 的中点为原点; 教师折椭圆,学生观察椭圆的几何特征(对称性) ,如何建系能使方程更简洁?学生讨论,经过比较 确定方案一. (设计意图:积极鼓励学生用不同建系方法,让他们充分暴露自然思维,通过比较,得出最简洁的方 案,而不是被动地接受教材或老师强加给的方法. )

3. 推导标准方程 (1) 选取方案一建系方案,让学生动手,尝试推导
以过 F1 、 F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分或线为 y 轴,建立平面直角坐标系。设

F1 F2 ? 2c(c ? 0) ,点 M ( x, y) 为椭圆上任意一点,
则 P ? M MF , 1 ? MF 2 ? 2a (称此式为几何条件) ∴ 得

?

?

?x ? c ?2 ? y 2

?

?x ? c ?2 ? y 2

? 2a (实现集合条件代数化) ,

(想一想:下面怎样化简?)

①教师为突破难点,进行引导设问:
我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢? (移项两次平方) 化简,得

( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 。
y M b F1 0 a c F 2 x

② b 的引入:
2 2 由椭圆的定义可知, 2a ? 2c , ∴ a ? c ? 0 .

让点 M 运动到 y 轴正半轴上(如图) ,由学生观察图形直观获得

a,
图2

c 的 几 何 意 义 , 进 而 自 然 引 进 b , 此 时 设 b2 ? a 2 ? c 2 , 于 是 得
b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 , 两边同时除以 a 2 b 2 ,得到方程:
(2)建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程。

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ?(称为椭圆的标准方程) 。 a 2 b2

要建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程,又不想重复上述繁琐的化简过程,如何做? 先有学生思考,并发表观点之后再讲评
第 5 页 共 8 页

椭圆及其标准方程 方法 1:按步骤列出方程,利用两方程结构的异同(结构相同,只是字母 x , y 交换了位置) ,直接 得到方程. 方法 2: (视情况决定讲与否(预设))借助于化归思想,抓住图 1(前面方程推导时用过)与图 3 的 联系(关于直线 y ? x 对称)即可化未知为已知,将已知的焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程.只需将图 1 沿直线 y ? x 翻折即可转化成图 3;

图1

图3

(3)教师应用多媒体,把其它建系得出的方程展示给学生,相比之下,其它的建系方式 得到的方程不够简洁。
(设计意图:椭圆的标准方程的导出,先放手给学生尝试,教师协从指导.再展示学生结果;教师对照 图形,加以引导,让学生明白方程中字母的几何意义,对方程的理解有很大的作用;利用类比对称,化归 的思想得出焦点在y轴上的标准方程,避免重复的繁杂计算。 )

(4)辨析焦点分别在 x 轴、 y 轴上的椭圆的标准方程的异同点 区别:要判断焦点在哪个轴上,只需比较 x 2 与 y 2 项分母的大小即可.若 x 2 项分母大,则 焦点在 x 轴上;若 y 2 项分母大,则焦点在 y 轴上.反之亦然. 联系:它们都是二元二次方程,共同形式为 Ax2 ? By2 ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B? 两种情况中都有 a 2 ? c 2 ? b2 (五)数学应用——巩固新知(10 分钟) 例 1 下列哪些是椭圆的方程,如果是,判断它的焦点在哪个坐标轴上?并指明 a 、b ,写出焦点坐
标.

x2 y2 (1) ? ?1 9 4

(2)9x2 ? 25y 2 ? 225? 0
x2 y2 (4) 2 ? 2 ? 1(m ? 0) m m ?1
第 6 页 共 8 页

x2 y2 (3) ? ?4 25 16

椭圆及其标准方程 注意:分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上,反之亦然。 (设计意图:进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握。 )

x2 y2 ? ?1 探究:已知椭圆的方程为: 36 100 ,则 a=____,b=____,c=___, 焦点坐标为:___ 、
___, 焦距等于____。 如果曲线上一点 P 到焦点 F1 的距离为 8, 则点 P 到另一个焦点 F2 的距离等于______。 (设计意图:巩固椭圆定义)

例 2:已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 F1 ? ?1,0?、F2 ?1,0? ,椭圆上一点 M 到 F1、F2 的距 离之和为 4,求该椭圆的标准方程。
(先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息, 再由学生自己动手完成. 教师巡视, 投影学生答案点评, 学生讨论总结,给出最终合理的解答过程。 )

解: ? 2a ? 4 ? a ? 2 ? c ? 1? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 x2 y 2 ? 椭圆的标准方程为 ? ?1 4 3
(设计意图:学会用待定系数法求椭圆标准方程) 变式一: 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 F1 ? 0, ?1?、F2 ? 0,1? , 椭圆上一点 M 到 F1、F2 的 距离之和为 4,求该椭圆的标准方程.

解: ? 2a ? 4 ? a ? 2 ? c ? 1? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 椭圆的标准方程为 y 2 x2 ? ?1 4 3

(设计意图:提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程)
? 3? 变式二:已知椭圆的两个焦点分别是 F1 ? ?1,0?、F2 ?1,0? ,椭圆经过点 M ? 1, ? ,求该椭 ? 2?

圆的标准方程.
解: ? 2a ? MF1 ? MF2 ? 3? 3 5 3 2 2 2 2 ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? a ? 2 ? c ? 1? b ? a ? c ? 3 ?2? 2 2 2
2

x2 y 2 ? 椭圆的标准方程为 ? ?1 4 3 (设计意图:使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用)

例 3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
两个焦点的坐标分别是 ? 0 , 2? ,并且经过点 P ? ? ? 2? 、 ? 0 ,

? 3 5? , ?. ? 2 2?

(先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息, 再由学生自己动手完成. 教师巡视, 投影学生答案点评, 学生讨论总结,给出最终合理的解答过程。 )
第 7 页 共 8 页

椭圆及其标准方程

解题思路 1:先根据已知条件设出焦点在 y 轴上的椭圆方程的标准方程

y2 x2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? ,再 a2 b2

将椭圆上点的坐标 ? ?

? 3 5? , ? 代入此方程,并结合 a 、 b 、 c 间的关系求出 a 2 、 b 2 的值,从而得到椭圆的 2 2? ?

标准方程为

y2 x2 ? ?1。 10 6

(设计意图:学会用待定系数法球椭圆的标准方程。) 解题思路 2:利用椭圆定义(椭圆上的点 ? ?

? 3 5? , ? 到两个焦点 ? 0 , 2 ? 的距离之和为常 ? 2? 、 ? 0 , ? 2 2?
2

数 2 a )求出 a 值,再结合已知条件和 a 、 b 、 c 间的关系求出 b 的值,进而写出标准方程。

(设计意图:使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用。 ) (六)回顾反思——归纳提炼(2 分钟) 1.两个知识点:椭圆的定义、椭圆标准方程 2.两种数学方法:用坐标化的方法求动点轨迹方程、化简双根式方程的方法。 3.两种数学思想:数形结合思想、化归思想。 4.解决不同问题的不同做法。 (设计意图:在总结时采用“一个知识点、两种方法、三种思想”的方式,目标明确, 重点清晰,易于掌握所学内容,构建知识链。 ) (七)课后作业,巩固提高(5 分钟) 1.自己巩固 2.必做题:课本 42 页练习 A 组 3.选做题:课本 42 页练习 B 组 (八)板书设计: §8.1 椭圆及其标准方程 一.椭圆的定义 三.例题 四.小结 五.作业

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c)
二.椭圆的标准方程

x2 y 2 焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? a b
焦点在 y 轴上;
y 2 x2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? a 2 b2

七.教后反思: 从教学内容、教学环节、师生互动、教学效果等几个方面进行反思,并写教学反思记录。

第 8 页

共 8 页


推荐相关:

《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计_图文.doc

椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计 - 《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计 一.教材及学情分析: 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》 (人民...

椭圆及其标准方程优质课教案.doc

椭圆及其标准方程优质课教案 - 课题:椭圆及其标准方程 一、教学目标 学习椭圆的

椭圆及其标准方程教案.doc

椭圆及其标准方程教案 - 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使

椭圆及其标准方程优质课比赛教案.doc

椭圆及其标准方程优质课比赛教案 - 课题:椭圆及其标准方程 教材:人教版高二(上)第八章第一节 授课教师:河南许昌高级中学 赵小强 教学目标: (一)知识目标:掌握...

《椭圆及其标准方程》教学设计.doc

《椭圆及其标准方程》教学设计 - 椭圆及其标准方程教学设计 一、设计思想: 通过

高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计.doc

高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计 - 《椭圆及其标准方程教学设计说明 一、教学内容解析 本节课是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学》...

高中数学椭圆及其标准方程的教学设计_图文.doc

18785481311 黄芬 高中数学椭圆及其标准方程教学设计 学校名称 罗甸第一中学 联系电话 固定电话:18785481311 论文内容摘要(200 字左右) 在教学设计中,应注意充分调动...

椭圆及其标准方程教学设计.doc

椭圆及其标准方程教学设计 - 超级好的资料,保证是精品文档... 《椭圆及其标准

椭圆及其标准方程教学设计(精).doc

椭圆及其标准方程教学设计(精) - 椭圆及其标准方程教学设计 课题 椭圆及其标准

椭圆及其标准方程 (教学设计).doc

椭圆及其标准方程 (教学设计) - 《椭圆及其标准方程》的教学设计 武威市民勤县

椭圆及其标准方程教学设计与反思.doc

椭圆及其标准方程教学设计与反思 - 《椭圆及其标准方程》教学设计及反思 教学目标

《椭圆的定义及其标准方程》教学设计_图文.doc

3.教学目标 知识与技能:掌握椭圆的定义;理解椭圆标准方程的推导过程, 掌握椭圆标准方程的两种形式,会运用待定系数法求椭圆标准方 程。 过程与方法:经历从具体...

全国青年教师素养大赛一等奖椭圆及其标准方程教学设计.doc

全国青年教师素养大赛一等奖椭圆及其标准方程教学设计 - 中国青年教师,素养大赛一

高二数学上8.1椭圆及其标准方程优秀教案.doc

高二数学上8.1椭圆及其标准方程优秀教案 - 8.1 一、教学目标 1.知识教学椭圆及其标准方程 使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. 2....

椭圆及其标准方程(教案).doc

椭圆及其标准方程(教案) - 椭圆及其标准方程(第一课时)教案 宁夏六盘山高级中

椭圆教学设计(人教版).doc

椭圆教学设计(人教版) - 《椭圆及其标准方程教学设计 椭圆及其标准方程》 龙

...届青年数学教师优质课教学设计:椭圆及其标准方程 Wo....doc

全国第八届青年数学教师优质课教学设计:椭圆及其标准方程 Word版含答案 - 《椭圆及其标准方程教学设计说明 内蒙古包头市包钢第一中学 一、教学内容解析 本节课是...

人教版高中数学选修2-1椭圆及其标准方程(1)教案.doc

人教版高中数学选修2-1椭圆及其标准方程(1)教案 - 椭圆及其标准方程(1)

高中人教A版选修2-1《椭圆及其标准方程》教案.doc

高中人教A版选修2-1《椭圆及其标准方程教案 - 数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案

椭圆及其标准方程教学设计.doc

椭圆及其标准方程教学设计 - 《椭圆及其标准方程》教学设计 椭圆及其标准方程》

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com