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马鞍山二中2012—2013学年度第一学期高二期末素质测试(数学理科)word版带答案


高二数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,计 50 分)
1.命题“若 a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是( A、若 a+b 不是偶数,则 a、b 都不是偶数 C、若 a、b 都不是偶数,则 a+b 不是偶数 A、k<0 A、指数函数都是增函数 C、有些三角形没有外接圆 4.椭圆 B、k<-1 ) B、有一个事件的概率大于 1 吗? D、存在一个实数 x,使 x2≤0 ) C、(2, 0),(-2, 0) D、(0, 2),(0, -2) ) B、若 a+b 不是偶数,则 a、b 不都是偶数 D、若 a、b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数 ) D、k>-2 C、k<1

2. “直线 y=kx+1 的倾斜角为钝角”的一个必要不充分条件是( 3.下列语句为特称命题且为假命题的是(

y 2 x2 ? ? 1 的焦点坐标为( 9 5
2

A、(3, 0),(-3, 0) 5.双曲线 x ? A、y=±3x
2

B、(0, 3),(0, -3) )

y ? 1的渐近线方程为( 3
B、y=± 3 x

C、y=±

1 x 3

D、y=±

3 x 3

6.过点(1, 1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A、1 条 为( A、0 A、(a+b)+c= a+(b+c) B、2 条 C、3 条 D、0 条



? ??? ? ??? ? ???? ??? 7.已知 S 是⊿ABC 所在平面外一点,D 是 SC 的中点,若 BD =x AB +y AC +z AS ,则 x+y+z 的值
) B、1 C、2 ) ) D、3

8.若 a、b、c 为任意向量,λ∈R,下列等式不一定成立的是(

B、(a+b)· c= a· b+ a· c C、λ(a+b)=λa+λb D、(a· b)c= a(b· c)

9.已知 A(x, 5-x, 2x-1),B(1, x+2, 2-x),当| AB |取最小值时,x 的值等于( A、

??? ?

8 7 1 2

B、-

8 7

C、19

D、

19 14


10.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,则异面直线 AB 与 CD 的夹角的余弦值是( A、B、

1 2

C、

3 3
条件;

D、

6 3

二、填空题(本大题 5 小题,每小题 5 分,计 25 分)
11.在⊿ABC 中, “A<B”是“sinA<sinB”的 12.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则点 P 到 16 9
; ; 、b2= ;

左焦点的距离为 13.抛物线 y=

1 2 x 的焦点坐标是 4

14.已知 a=(1, 1, 0),b=(1, 1 ,1 ),若 b=b1+b2,且 b1∥a,b2⊥a,则 b1=

15.已知空间四边形 ABCD 的四条边和对角线长都为 a,点 E、F、G 分别是 AB,AD,DC 的中点,

???? ???? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? a2 BD ; 则四个数量积① BA ·AC ; ② AD · ③ FG ·AC ; ④ EF · CB 中,其中运算结果为的 式 2
子的序号为 ;

三、解答题(本大题共 6 小题,计 75 分)
16. (12 分)给定两个命题:命题甲:关于 x 的不等式 x 2 + (a-1)x +a2 ≤0 的解集为 Ф;命题乙:函数 f (x)=(2a2-a) x 在 R 上是增函数。分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围。 (1) 甲、乙中至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。

17. (12 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m, 4)到其焦点 F 的距离为 (1)求 p 与 m 的值;

17 。 4

(2)若直线 l 过焦点 F 交抛物线于 P,Q 两点,且|PQ|=5,求直线 l 的方程。

18. (12 分)若 a、b、c 均为实数,且 a=x2-2y+ 少有一个大于 0。

? ? ? ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ 。求证:a,b,c 中至 2 3 6
P 第 19 题

19. (12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 ,BC=1,PA=2,E 为 PD 的 中点。 (1)求异面直线 AC 与 PB 的距离; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离。
A E C

D

B A 第 20 题

20. (13 分)如图,⊿BCD 与⊿MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3 。 (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

M B D

21、 (14 分)设椭圆 C:

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 2 a b

2

2

的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 l 的倾斜角为 60?,且

??? ? ??? ? AF ? 2 FB 。

C

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程。 4

*******此页自行保存,只要上交答题卷,请将有关答案填入相应答题栏 ******* ............................

2012-2013 学年度第一学期期末考试高二数学理科***答题卷*** 一、选择题(5× 10=50) 题号 答案 二、填空题(5× 5=25)
11) 、 14) 、 ; 12) 、 ; 15) 、 ; 13)、 。 ;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

三、解答题(本大题共 6 小题,计 75 分)
16. (12 分)给定两个命题:命题甲:关于 x 的不等式 x 2 + (a-1)x +a2 ≤0 的解集为 Ф;命题乙:函数 f (x)=(2a2-a) x 在 R 上是增函数。分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围。 (1) 甲、乙中至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。

17. (12 分)若 a、b、c 均为实数,且 a=x2-2y+ 少有一个大于 0。

? ? ? ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ 。求证:a,b,c 中至 2 3 6

18. (12 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m, 4)到其焦点 F 的距离为 (1)求 p 与 m 的值;

17 。 4

(2)若直线 l 过焦点 F 交抛物线于 P,Q 两点,且|PQ|=5,求直线 l 的方程。

19. (12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 , BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点。 (1)求异面直线 AC 与 PB 的距离; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离。
P 第 19 题

E C

D

A

B

20. (13 分)如图,⊿BCD 与⊿MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平 面 BCD,AB=2 3 。 (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小;
A 第 20 题

M B D

C

21、 (14 分)设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 a 2 b2 ??? ? ??? ? B 两点,直线 l 的倾斜角为 60?, AF ? 2FB 。
(1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程。 4

参考答案
一、选择题(3× 12=36) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 B 6 A 7 A 8 D 9 A 10 B

二、填空题(4× 5=20)
11) 、 1) 充要条件 ; ; 12) 、 13 ; 13) 、 ( 0,

14) 、 (1, 1, 0) ; (0, 0, 1) ;

15) 、

②③



三、解答题(本大题共 6 小题,计 75 分)
16. (12 分)给定两个命题:命题甲:关于 x 的不等式 x2 + (a-1)x +a2 ≤0 的解集为 Ф;命题乙: 函数 f (x)=(2a2-a) x 在 R 上是增函数。分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围。 (1) 甲、乙中至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。 解:由甲命题为真,得(a-1)2-4a2<0,? (3a-1)(a+1)>0,∴a< -1 或 a>

1 , 3
???4

由乙命题为真,得 2a2-a>1,? (2a+1)(a-1)>0,∴a< 分

1 或 a>1。 2

1 1 1 1 , ],故所求范围是(-∞, - )∪( , +∞) ???8 分 2 3 2 3 1 1 (2)若甲、乙全真,可得 a∈(-∞, -1)∪(1, +∞),故所求范围是[-1, - )∪( ,1] ???12 2 3
(1)若甲、乙全假,可得 a∈[分 17. (12 分)若 a、b、c 均为实数,且 a=x2-2y+ c 中至少有一个大于 0。 解:假设 a、b、c 均不大于零,则 a+b+c≤0 (*) 分 而由已知得, a+b+c=x2-2x+y2-2y+z2-2z+ 分 由于 π -3<0,所以 a+b+c>0,与(*)式矛盾,故假设错误, 所以,原命题成立。 分 18. (12 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m, 4)到其焦点 F 的距离为 ???12 ???2

? ? ? ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ 。求证:a,b, 2 3 6

? ? ? + + =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π -3 2 3 6

???8

17 。 4

-7-

(1)求 p 与 m 的值; (2)若直线 l 过焦点 F 交抛物线于 P,Q 两点,且|PQ|=5,求直线 l 的方程。

17 p p =4+ ,∴p= ,x2=y,∴m2=4,m=±2 ???5 分 4 2 2 1 1 1 (2)依题可设 PQ 的方程为 l:y=kx+ ,与 x2=y 联立,消去 x,得 y2-( +k2)y+ =0, 4 2 16 1 ∴y1+y2= +k2,而|PQ|= y1+y2+p=1+k2,k2=5-1=4,k=±2 ???10 2
解:(1)依题 分 ∴直线 l 的方程为 y=2x+ 分 19. (12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧 P 棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 ,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点。 (1)求异面直线 AC 与 PB 的距离; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离。 答案:(1)、
E C 第 19 题

1 1 或 y= -2x+ , 4 4

???12

D

2 57 3 ;(2)1; 。 19 6

A

B

AD、 AP 的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系,利用 解析:以 A 为原点,以向量 AB、
向量条件下的距离公式求解,以下省略。 20. (13 分)如图,⊿BCD 与⊿MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3 。 (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。 解:(1)取 CD 中点 O,则 MO⊥CD, ∵面 MCD⊥面 BCD 交于 CD,∴MO⊥面 BCD, 又 AB⊥面 BCD,∴AB∥MO。 取 AB 中点 F,连 OF,由题设可知 MO= 3 ,AF= 3 , ∴OF∥AM,故 OF 与平面 BCD 所成的角等于所求的角。 而在 Rt⊿BEF 中,BO= 3 ,BF= 3 ,∠BOF=45?,即所求的角为 45?。 分 (2)延长 BO、AM 相交于点 G,∵MO∥AB 且 MO= ???6
y C x B O H F M D G A z 第 20 题

??? ? ???? ??? ?

1 AB, 2

-8-

∴OG=BO= 3 ,又 CO=1,∴CG=2,作 EH⊥CG 于 H, 由于 ME⊥平面 BCD,则 MH⊥CG,∴∠MHO 即为所求二面角的平面角。 在 Rt⊿OCG 中,由 OH·CG=OC·OG,得 OH=

1? 3 3 , = 2 2
???

从而 MH= 3 ?

3 15 MO 3 2 5 ,∴sin∠MHO= 。 ? ? ? MH 5 4 2 15 2

13 分 另解:依题易知 OB、OC、OM 两两垂直,故可以如图建立空间直角坐标系,利用空间向量进 行求解,过程略。 21、 (14 分)设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 a 2 b2
??? ? ??? ?

A、B 两点,直线 l 的倾斜角为 60?, AF ? 2 FB 。 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程。 4

解:(1)设 F(c, 0),则 c2=a2-b2,且直线 l 的方程为 y= 3 (x-c),设 A(x1, y1)、B(x2, y2), 由 AF ? 2 FB ,得 ?

??? ?

??? ?

?c ? x1 ? 2( x2 ? c) ,∴y1+y2= -y2,y1y2=-2y22, ? y ? 2 y ? 1 2

联立直线 l 与椭圆 C 的方程,并消元、整理,得 (3a2 ? b2 ) y2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0 ,

? ?2 3b 2 c ? y ? ? 2 ? 2 3a 2 ? b 2 于是 ? ?4a2=9c2,∴e= ; 4 3 ??2 y 2 ? ?3b 2 ? 3a 2 ? b 2 ?
(2)∵|AB|= 1 ?

???7 分

1 2 4 3ab2 15 | y1 ? y2 | ,∴ ? 2 ? 2 3 4 3 3a ? b

①; 由 e=

2 ,得 5a2=9b2 ②, 3

联立①②解得 a=3,b2=5,∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 9 5

???14 分

-9-


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