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随机事件的概率[教师版]


随机事件的概率
一、知识梳理: 1.随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 (1)随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件 2.随机事件的概率 事件 A 的概率:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总接近于某个常数, n

在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。 由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0。 3.古典概型 (1)古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个 基本事件出现的可能性相等; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 ; 总的基本事件个数

说明.求古典概型概率的方法: (1)等可能性事件的概率,步骤: ①明确事件 A 的意义,确定是否等可能性事件. ②求出一次实验可能出现的结果的总数 n; ◎求 m,n 时,要注意是否与顺序、位置有关,是“有放回”还是“无放回”抽取,正确 排列、组合公式或计数原理求出分母 n 和分子 m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关, 解题时可以灵活处理)。 ◎ “非等可能”与“等可能”混同 问题 1: 掷两枚骰子,求事件 A 为出现的点数之和等于 3 的概率。 错解:掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,??,12},有利于事件 A 的结 果只有 3,故
P ( A) ? 1 11 。

分析:公式 而取数值 2 和 3 不是等可能的,2 只有这样情况(1,1)才出,而 3 有两种情况(1,2) , (2,1)可出现,其它的情况可类推。 正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况: (1,1)(1,2) , ,?, (1,6)(2,1)(2, , , 2) ,?, (2,6) ,?, (6,1)(6,2) , ,?, (6,6) ,结果总数为 6×6=36。在这些结果中, 事件 A 的含有两种结果(1,2)(2,1) , 。
? P ( A) ? 2 1 ? 36 18

P( A) ?

有利于事件A的基本事件数 基本事件的总数 仅当所述的试验结果是等可能性时才成立,

◎“可辩认”与“不可辨认”混同 问题 2: 将 n 个球等可能地放入到 N 个编号的盒子中去(每个盒子容纳球的个数不限) , 求事件 A=“某指定的 n 个盒子中恰好各有一球的概率” 。 错解:将 n 个球等可能地放入到 N 个编号的盒子中,所有可能的结果数为 Nn,而事件 A 含 有 n!种结果。

? P( A) ?

n! . NN
1

分析:这种解法不全面,如果球是编号的(即可辨认的) ,则答案是对的;若球是不可

辩认的,则答案完全错了。因为球是不可辩认的,故只考虑盒子中球的个数,不考虑放的是 哪几个球。我们在此用符号“□”表示一个盒子, “○”表示球,先将盒子按号码排列起来 1 2 3 4 5?N 这样的 N 个盒子由 N+1 个“|”构成,然后把 n 个球任意放 入N个 盒子中,比如:|○|○○|?|○○○|,在这样的放法中,符号“|”和“○”共占有:N+1+n 个位置,在这 N+1+n 个位置中,开始和末了的位置上必须是“|” ,其余的 N+n-1 个位置上 “|”和“O”可以任意次序排列。则 N-1 个“1”和 n 个“○”在中间的 N+n-1 个位置上的 可以区别的所有可能结果数是
1 C
n N ? n ?1

n C N ?n?1 ,将 n 个不可辨认的球放入指定的 n 个盒子,使每盒

恰有一球的放法只有 1 种,故事件 A 含 1 个结果,从而
P( A) ? ? n!( N ? 1)! . ( N ? n ? 1)!

正解:分两种情况:
P ( A) ?

(1)当球是可辩认的,则

n!( N ? 1)! n! ; N n (2)当球是不可辨认的,则 P(A) ? ( N ? n ? 1)! 。

m 求出概率值. n (2)通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.
③用等可能性事件概率公式 P= 4.几何概型:如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型。 特别提醒: 几何概型的特点:1 试验的结果是无限不可数的;2 每个结果出现的可能性相等。 ○ ○
构成事件A的区域长度(面积或体 积) 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积) 几何概型的概率公式: P(A)=

二、基础检测: 1.下面事件:①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面朝上;②异性电荷,相互吸引;③在 0 标准大气压下,水在0 C结冰,是随机事件的有( C ) A.②; B.③; C.①; D.②、③ 2. 下列叙述错误的是( A ) A.频率是随机的,在试验前不能确定,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概 率 B.若随机事件A发生的概率为 p ? A ? ,则 0 ? p ? A ? ? 1 C.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件 D.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同 3.从一批准备出厂的电视机中,随机抽取10台进行质检,其中有一台是次品,则这批电视 机中次品率( D ) A.大于0.1 B.小于0.1 C.等于0.1 D.不确定 4.某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次而接通电话 的概率为( B ) A. 9/10 B. 3/10 C. 1/8 D. 1/10 5.袋中有红球、黄球、白球各1个,每次任取一个,有放回地抽取3次,则下旬事件中概率
2

是8/9的是( B ) A.颜色全相同 B.颜色不全相同 C.颜色全不同 D.颜色无红色 6. 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有 10 位同学参加,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其他 班有 5 位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的 3 位同学恰好被排在一起(指 演讲序号相连) ,而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 A.

1 10

B.

1 20

C.

1 40

D.

1 120

解析:10 位同学总参赛次序 A 10 .一班 3 位同学恰好排在一起,而二班的 2 位同学没有排 10 在一起的方法数为先将一班 3 人捆在一起 A 3 ,与另外 5 人全排列 A 6 ,二班 2 位同学不排在一 3 6
2 2 起,采用插空法 A 7 ,即 A 3 A 6 A 7 .∴所求概率为 3 6
2 A3A6 A7 3 6

A10 10

=

1 . 20

7.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1、2、3、4、5、6 的正方体玩具) 先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是

5 25 31 91 B. C. D. 216 216 216 216 解析:质地均匀的骰子先后抛掷 3 次,共有 6×6×6 种结果.3 次均不出现 6 点向上的掷 法有 5×5×5 种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现 6 点向上的概率
A.

5 ? 5 ? 5 125 91 = ,由对立事件概率公式,知 3 次至少出现一次 6 点向上的概率是 . 6 ? 6 ? 6 216 216 8.一盒中装有 20 个大小相同的弹子球,其中红球 10 个,白球 6 个,黄球 4 个,一小孩随手 拿出 4 个,求至少有 3 个红球的概率为________.
为 解析:恰有 3 个红球的概率 P1=
3 1 C10 C10 4 C 20 4 C10 14 80 = .有 4 个红球的概率 P2= 4 = . 323 C 20 323

94 . 323 9.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,则以第一次向上点数为横坐标 x,第二次 向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=27 的内部的概率________. 解析:基本事件总数为 36,点(x,y) ,在圆 x2+y2=27 的内部记为事件 D,则 D 包含 17 个
至少有 3 个红球的概率 P=P1+P2=

17 事件,所以 P(D)= 36 。
10.在 Rt△ABC 中,∠A=30°,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,则使|AM|>|AC|的 概率为 .

[审题视点] 如图所示,

因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB 内作射线 CM 看做是等可能的,基本事件

3

是射线 CM 落在∠ACB 内任一处,使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关,这符合几何 概型的条件. 解 设事件 D 为“作射线 CM,使|AM|>|AC|”.在 AB 上取点 C′使|AC′|=|AC|,因为△

ACC′是等腰三角形,所以∠ACC′=
15 1 所以 P(D)= = . 90 6

180°-30° =75°,μ A=90-75=15,μ Ω =90, 2

几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测度”.因为射线 CM 落在 ∠ACB 内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度”,就是错误的,因为 M 在 AB 上的落 点不是等可能的. 11.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷 在这个平面,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 解析:平面被这一组平行线分割成条状区域,现对两条平行线之间的区域考虑:平行线间的 距离为3 cm,硬币半径为1 cm,要想硬币不与两条平行线相碰,硬币中心与两条平行线 的距离都应大于1 cm,如图:

硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时, 才能让硬币与两条平行线都不相碰, 则硬币中 1 1 心落在阴影部分的概率为 .整个平面由无数个这样的条状区域组成,故所求概率是 . 3 3
12.两人相约 6 时到 7 时在某地见面,先到者等候另一人 10 分钟,如果另一人还没到,这

时方可离去,则这两人能会面的概率为 [解题思路]:此题涉及了两个变量,应设未知数,根据条件列出不等式,转化为坐标平面内 的平面区域,用几何概型求解。渗透了转化,数形结合等重要的数学思想方法

y 解析:设 x 、 分别表示两人到达的时刻

y C 10 0 10 A x B



?0 ? x ? 60 ? ?0 ? y ? 60 ?| x ? y |? 10 ?

?0 ? x ? 60 ?0 ? y ? 60 ? ? ? x ? y ? 10 ? x ? y ? ?10 即? 其平面区域为
P( A) ?

设“两人能见面”为事件A,则

d的面积 602 ? 502 11 ? ? D的面积 60 36

三、典例导悟: 例 1.把 4 个不同的球任意投入 4 个不同的盒子内(每盒装球数不限) ,计算: (1)无空盒的概率; (2)恰有一个空盒的概率. 解:4 个球任意投入 4 个不同的盒子内有 44 种等可能的结果.

4

(1)其中无空盒的结果有 A 4 种,所求概率 P= 4

A4 4 4
4

=

3 . 32

(2) 先求恰有一空盒的结果数: 选定一个空盒有 C 1 种, 选两个球放入一盒有 C 2 A 1 种, 4 4 3 其余两球放入两盒有 A 2 种.故恰有一个空盒的结果数为 C 1 C 2 A 1 A 2 ,所求概率 P(A) 2 4 4 3 2
C1 C 2 A 1 A 2 4 4 3 2 4
4

=

=

9 . 16

例 2.将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点 数.
? x ? 0, ? (1)若点 P(a,b)落在不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域的事件记为 A,求事件 A 的 ?x ? y ? 4 ?

概率; (2)若点 P(a,b)落在直线 x+y=m(m 为常数)上,且使此事件的概率最大,求 m 的值. 解: (1)基本事件总数为 6×6=36.
y 4 3 2 1 O 1 2 3 4 x

当 a=1 时,b=1,2,3;当 a=2 时,b=1,2;当 a=3 时,b=1. 共有 (1,1) 1,2) 1,3) 2,1) 2,2) 3,1) 个点落在条件区域内,∴P , ( , ( ( , , ( , ( 6 (A) = (2)当 m=7 时,(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共有 6 种,此时 P= 大 例 3.某人有 5 把钥匙,一把是房门钥匙,但忘记了开房门的是哪一把.于是,他逐把不 重复地试开,问: (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少?(2)三次内打开的概率是多少? (3)如果 5 把内有 2 把房门钥匙,那么三次内打开的概率是多少? 解:5 把钥匙,逐把试开有 A 5 种等可能的结果. 5 (1)第三次打开房门的结果有 A 4 种,因此第三次打开房门的概率 P(A)= 4
3A 4 4 A5 5 A4 4 A5 5

6 1 = . 36 6

6 1 = 最 6 36

=

1 . 5

(2)三次内打开房门的结果有 3A 4 种,因此,所求概率 P(A)= 4

=

3 . 5

(3)方法一:因 5 把内有 2 把房门钥匙,故三次内打不开的结果有 A 3 A 2 种,从而三 3 2
5

次内打开的结果有 A 5 -A 3 A 2 种,所求概率 P(A)= 5 3 2

A5 ? A3A 2 5 3 2 A5 5

=

9 . 10

方法二:三次内打开的结果包括:三次内恰有一次打开的结果有 C 1 A 1 A 1 A 3 种;三次 2 3 2 3
2 2 内恰有 2 次打开的结果有 A 3 A 3 种.因此,三次内打开的结果有 C 1 A 1 A 1 A 3 +A 3 A 3 种,所 3 2 3 2 3 3
2 C1 A 1 A 1 A 3 ? A 3 A 3 2 3 2 3 3

求概率 P(A)=

A5 5

=
2

9 . 10
2

例 4. 设有关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方 程有实根的概率. 解 设事件 A 为“方程 x +2ax+b =0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x +2ax+b =0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0), (2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取 9 3 值.事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件 A 的区域为{(a, 1 2 3×2- ×2 2 2 b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},所以所求的概率为 P(A)= = . 3×2 3 例5.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙 两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的 概率. 解:甲比乙早到4小时内乙需等待,甲比乙晚到2小时内甲需等待. 以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一 艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4,在如图所示的平面直角坐标系 内,(x,y)的所有可能结果是边长为24的正方形,而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段 时间”的可能结果由阴影部分表示.由几何概型公式得: 1 1 242-2×222-2×202 67 67 P(A)= =288.故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是288. 242
2 2 2 2

6


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