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北京市海淀区2015届高三上学期期中练习数学理试题(解析版)


2014-2015 年海淀高三年级第一学期期中考试 数学(理)试卷解析

一、选择题部分
1. 设集合 A ? ?x ? R | x ? 1 ? , B ? ?x ? R | ?1 ? x ? 2? ,则 A A. ?1, ?? ?

B?(



?

B. ?1, ?? ?

C. ?1,2

?

D. ?1,1?

?

【分析】本题考查集合的表示与运算,难度不大,掌握表示方法、了解运算概念即可解决。集合的 核心考察主要就集中在集合的表示和运算上,常与基本的解不等式结合考察;同时还要强调,集合 作为基本的数学语言,考生应该注意掌握,可以读懂用集合语言表述的答案,同时也可以灵活使用 集合语言表述数学问题。 【解】C.

A ? ?1, ??? ,B ? ? ?1, 2? , 通过数轴表示可知, 两个集合的公共部分为 ?x ? R |1 ? x ? 2? , 即 ?1, 2? ,
故选 C. 2. 已知向量 a ? ? 2, ?1? , b ? ? 3, x ? ,若 a ? b ? 3 ,则 x ? ( A. 6 B. 5 C. 4

) D. 3

【分析】本题考察平面向量的坐标表示及坐标表示下的点乘运算( a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,

a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ),考核难度较低,属于基本的运算方法的考核。对于这部分的考核,考生需要
注意,向量的坐标表示和基本运算属于常规的运算工具,考生应该把重点放在这种运算的应用上, 结合应用之后的向量问题的难度较大,而且重点的难度不在于向量,多在基本的代数运算,可以参 考 2013 年重庆高考第 10 题。 【解】D. 根据平面向量坐标下的运算法则,可知 a ? b ? 2 ? 3 ? ? ?1? x ? 6 ? x ? 3 ,求解方程可以得到 x ? 3 , 故选 D. 3. 若等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a3 ? 5 ,且公比 q ? 2 ,则 a3 ? a5 ? ( A. 10 B. 13 C. 20 ) D. 25

【分析】本题考察等比数列的基本性质,难度不大,但入手角度较多。对于做题经验较为丰富的同 学,可以选择猜想实验,即可以轻松发现本题的数列通项为 an ? 2n?1 ,可以直接求得答案;或者使 用等比数列的性质去解决,这是一种经典的“对应项”问题,即 a1 与 a3 对应,a3 与 a5 对应,则加和 可以公比推导;亦或者使用等差等比数列中最基本的“基本量法”建立关于基本量 a1 和 q 的方程, 求解基本量取处理问题。 【解】C. 方法一:根据观察,数列可以为 1, 2, 4,8,16,.... ,即 an ? 2n?1 ,那么 a3 ? a5 ? 4 ? 16 ? 20 ,故选 C. 方法二:对于 a3 ? a5 ? a1q ? a3q ? 4 ? a1 ? a3 ? ,又 a1 ? a3 ? 5 ,则 a3 ? a5 ? 4 ? 5 ? 20 ,故选 C.
2 2

方法三:对于 a1 ? a3 ? a1 ? a1q2 ? a1 ? 4a1 ? 5 ,解方程可得, a1 ? 1 ,那么通项 an ? 2n?1 ,可知

a3 ? 4 , a5 ? 16 ,则 a3 ? a5 ? 20 ,故选 C.

4. 要得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象(
3?



? 个单位 3 ? C. 向右平移 个单位 3
A. 向左平移

? 个单位 6 ? D. 向右平移 个单位 6
B. 向左平移

【分析】本题考察三角函数的图象变化的基本方法,难度中等,但是包含很多细节,容易导致考生 失误,常见的关注点有如下三点:(1)在自变量前存在系数时,要注意平移的大小,平移是针对于 x 的变化,而不是函数内部整体;(2 )关注两个图象关系,哪个是原始的函数图象,哪个是变化后 的函数图像, 避免审题失误; (3) 关注变化前后图象的函数名, 若问题是从 cos 变为 sin (或反之) , 要注意应先利用诱导公式变名后,再利用图象变化原则进行变化。 【解】B. 首先分析哪个是原始函数,本题中,原始函数为 y ? sin 2 x ,要将其变化为 y ? sin 2 ? x ? 显是利用 x ?

? ?

?? ? ,明
6?

?
6
1

替换 x ,再根据“左加右减”的原则可知,应该向左平移

? 个单位,故选 B. 6

1 ? 1 ?3 5. 设 a ? ? ? , b ? log 2 , c ? log2 3 ,则( 3 ?2?
A. a ? b ? c B. c ? a ? b

) D. c ? b ? a

C. a ? c ? b

【分析】本题是一种十分常见的考核方法,即数大小的比较,这类型问题处理方法主要有两种: (1) 利用函数单调性解决数的大小比较;(2)利用对数指数函数的函数值的大小,与“分界点”进行比 较,得到结论。本题则需要使用方法(2),使用十分常规的“分界点”0 和 1, 。这类型问题在近些

1 ,sin1 等; 2 1 另外,也会出现一些不是 0 和 1 的“分界点”,如判断 log5 2 和 log7 3 的大小时,选择分界点 才 2 1 可以做出( log 5 2 ? log 5 5 ? ? log 7 7 ? log 7 3 )。 2
年趋向于复杂, 不单单只考核对数和指数, 又是还会结合一些特殊的三角函数, 例如 sin 【解】B.

1 ? 1 ?3 对于 a ? ? ? ,则 0 ? a ? 1 ;对于 b ? log2 ,则 b ? 0 ;对于 c ? log2 3,则 c ? 1 ,那么可得 3 ?2?
b ? 0 ? a ? 1 ? c ,那么 c ? a ? b ,故选 B.
6. 设 a, b ? R ,则“ ab ? 0 且 a ? b ”是“ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

1

1 1 ? ”的( a b



B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【分析】本题是结合不等式的基本性质考核充分必要条件,难度适中,充分必要条件是高考的必考 题型之一,这类型的考核以充分必要条件为框架,结合不同的知识点进行考核,多是在考核这个结 合着的知识点的细节,北京近两年结合的都是数列的知识点,所以,充分必要条件问题的复习重点 不应该过多点的放在充分必要条件上,而是要放在其余的知识细节上。 【解】A. 对于“ ab ? 0 且 a ? b ”的充分性考核,可以有两种方法:第一种方法可以采用函数 f ? x ? ? 于 ab ? 0 ,可知 a , b 同号,对于函数 f ? x ? ? 由于 a ? b ,则 f ?a ? ? f ?b ? ,即

1 ,由 x

1 而言,在 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 这两个区间单调递减, x

1 1 ? 。第二种方法单纯使用不等式性质,由于 a ? b ,左右分别 a b

先同时除以 a ,再同时除以 b ,由于 ab ? 0 ,则 a , b 同号,若均大于 0 ,则两次除法不变号,可得

1 1 1 1 ? ;若 a , b 同时大于 0 ,则两次除法变了两次号,最终并没有变化,同样 ? ,那么可知条 b a b a 件“ ab ? 0 且 a ? b ”具有充分性。对于其必要性的考核,可以找出明显的反例,即 a ? 0 但 b ? 0 ,
是明显的反例,故不具备必要性。故选 A.

7. 已知函数 f ? x ? ? ? 的取值范围为(

? ? ? x, x ? 0 , 若关于 x 的方程 f ? x ? ? a ? x ? 1? 有三个不相等的实数根, 则实数 a ? ? x, x ? 0


A. [ , ??)

1 2

B.

? 0, ?? ?

C. ? 0,1?

( 0, ) D.

1 2

【分析】本题属于常规的函数与方程的设问方法,利用函数图象的交点个数来判断方程根的个数, 此处有三个不相等的实根本质是 y ? f ? x ? 的图象和 y ? a ? x ? 1? 有三个交点。图象交点的研究需要 对于常见的图象绘制了如指掌,同时,参数变化对于图象的影响也需要掌握良好。就本题而言,综 合程度较高,但是仍然属于常见的综合问题,把切线、直线方程、分段函数、方程与函数的内容通 过图象的载体结合在一起,本题需要注意切线起到的特殊作用,很多函数问题的“临界点”都是切 线,本题图象如下图所示:

分段函数和过定点 ? ?1,0? 的直线在如上图位置时恰好相切,此时有两个交点,若直线斜率变大,则 只存在一个交点,若直线斜率减小,则会出现三个交点,如下图所示:

但是,斜率不能无限下降,当斜率等于 0 时,就只存在一个交点,当斜率继续减小时,交点个数不 会超过 1 个。可知满足条件的直线应该在切线和 x 的范围内。对于此类型问题,核心的处理方式类 似,但在高三的复习中,务必关注切线的“临界”作用。 【解】D. 根据上述分析 ,首先计 算切线斜率 ,假设直 线与 y ?

x 的切点为 ? x0 , y0 ? ,对函数求导可得

? ? y ? a ? x ? 1? 0 ? 0 1 ? ,那么可以得到如下三个方程: ? y0 ? x0 ,讲后两个方程代入到第一个方程中, y' ? 2 x ? ?a ? 1 ? 2 x0 ?
得到

x0 ?

1 1 1 ? ,根据分析可知, ? x0 ? 1? ,即 2x0 ? x0 ?1,解得 x0 ? 1 ,从而斜率 a ? 2 x0 2 2 x0
1 2

若要有三个交点,则斜率 a ? (0, ) ,故选 D.

8. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,在同一个坐标系中, an ? f ? n ? 及 Sn ? g ? n ? 的部分图象如图 所示,则( an (Sn ) ) 0.7 -0.4 O -0.8 )

7

8

n

A. 当 n ? 4 时, Sn 取得最大值 C. 当 n ? 4 时, Sn 取得最小值

B. 当 n ? 3 时, Sn 取得最大值 D. 当 n ? 3 时, Sn 取得最小值

【分析】本题是综合考察等差数列及其前 n 项和性质的问题,其中对逻辑推理的要求很高。首先, 考生需要对于图象中三个点具体表示的含义有做出具体详尽的分析,三个点的含义是处理这个问题 的前提和基础,要分析清楚含义,考生要有有条理清晰的分析能力及较好的数列基础。当分析出三 个点的含义之后,对于前 n 项和的最值问题也存在两种做法,第一种可以直接利用题目中点的坐标 完成数列通项公式的求解,第二种方法就是直接利用等差数列的性质进行处理。本题的难度较高, 对学生的数学思维能力提出了挑战,十分符合北京高考的命题思路和方向,熟悉的知识点,但是给 出了不同于以往的题目特征。 【解】A.

a7 ? 0 , 首先分析图象中三个点各自的含义, 若横坐标为 8 的点表示 a8 , 那么 a7 的情况分为两种: (1)
在这种情况下,根据图象可知, S7 必然小于 0 ,但我们可以根据图象发现, a7 ? 0 , a8 ? 0 ,等差 数列为单调递减的,说明数列从第一项至第七项应该都是大于 0 的,那么前 7 项和 S7 ? 0 ,与图象

给出的信息矛盾, 故 a7 ? 0 不成立; (2) 在这种情况下, 根据图象可以推理出前 7 项和 S7 ? 0 , a7 ? 0 , 但是, a7 ? a8 ? 0 ,说明数列单调递增,且从第一项至第八项均小于 0 ,那么前 7 项和必然大于 0 , 又产生矛盾。说明横坐标为 8 处的点表示的是数列的前 8 项和 S8 ,此时需要分析横坐标为 7 处的两 个点各自的含义,若 a7 ? 0.7 ,则 a8 ? S8 ? S7 ? ?0.4 ? ? ?0.8? ? 0.4 ,说明数列单调递减,那么可 知数列在第一项至第 8 项均为正数,那么 S8 ? S7 ? 0 ,与图象信息矛盾,故 a7 ? ?0.8 , S7 ? 0.7 ,

S8 ? ?0.4 ,可以解得 a8 ? S8 ? S7 ? ?1.1 ,可知等差数列公差为 d ? ?0.3 ,接下来可以有两种基本
思路去处理。 方法一:直接求解数列通项,根据公差 d ? ?0.3 ,解得 a1 ? 1 ,那么可以解得前 n 项和的表达式为

Sn ?

1.15 11.5 d 2 ? d? ? , 距它最近的整 n ? ? a1 ? ? n ? ?0.15n2 ? 1.15n ,可知其对称轴 n ? ? 2 ? ? ?0.15? 3 2 2? ?

数为 n ? 4 ,故其在 n ? 4 时取最大值,故选 A. 方法二:从前 n 项和的最值性质可以看出,数列本身正负发生改变的地方是产生最值的地方,根据 分析可知, a7 ? ?0.8 ,那么 a6 ? ?0.5, a5 ? ?0.2 , a4 ? 0.1 ,可见,数列从第一项至第四项均是 正数,此时前 n 项和越加越大,最大值在第四项取到,故选 A.

二、填空题部分
9. 设复数 z ?

i ,则 z ? _______________. 1? i

【分析】本题考察复数运算中的模的运算,虽然简单,但是方法的选择不同也会带来不同的效果。 复数的运算在高考的考核中难度较低,通常是填选的前几个基础问题,重点在于掌握基本的运算法 则和复平面的理解。本题中模的运算也可以有两种手段,第一就是直接对复数 z 进行分母实数化处 理,从而得到 a ? bi 的形式,利用 z ?

a 2 ? b 2 处理,第二种处理方法可以利用复数除法的性质,



z z1 ? 1 ,以此直接求解。复数难度不大,掌握基本的方法可以直接求解,若要进行最有效最快 z2 z2

速的求解,还需对这部分的常见性质有所掌握。 【解】

2 2

方 法 一 : 首 先 进 行 分 母实 数 化 处 理 , 即 z ?
2 2

i ?1 ? i ? i i ? i 2 i ?1 1 1 ? ? ? ? ? ? i ,则 2 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 1 ? i 2 2 2

2 2 ? 1? ?1? ,故填 . z ? ?? ? ?? ? ? 2 2 ? 2? ?2?
方法二:根据复数运算的除法性质,可知 z ?

i i , 其 中 i ? 1 , 1? i ? 2 , 故 ? 1? i 1? i

z ?

2 1 2 ,故填 . ? 2 2 2
x?a

10. 已知函数 y ? 2

的图象关于 y 轴对称,则实数 a 的值是_______________.

【分析】本题考察函数的基本性质,本题处理的方法如果不同,那么本题侧重的知识点就有所不同, 但本质上都是围绕着函数的对称性进行问题的求解。第一种入手的方法就是从条件“关于 y 轴对称” 入手,得知函数为偶函数,从而利用偶函数的代数性质,进行求解;另外一种处理手段是通过解析 式 y?2
x?a

对原始的 y ? 2x 图象带来的图象变化入手可以解得问题,或者直接使用图象变化的二级

结论,即 y ? f

? x ? a ? 的图象关于 x ? a 对称,利用二级结论解决小题是最快的求解手段,而且,

近几年北京高考对于函数图象变化的考核明显增多,望考生在后续复习时加大关注力度。 【解】 0 方法一:由于函数图像关于 y 轴对称,那么函数为偶函数,那么 2
x?a

?2

? x?a

,根据指数函数的单

调性可知, x ? a ? ? x ? a ,只有当 a ? 0 时,等式恒成立,故填 0 . 方法二:根据函数图像的变化规律可知,函数 y ? 2
x x?a

,由函数 y ? 2x 得到,首先将函数 y ? 2x 关

于 y 轴进行翻折,可以得到函数 y ? 2 ,此时函数关于 y 轴对称,再将图象向左平移 a 个单位得到

y?2

x?a

,此时函数关于

x ? ?a 对称,根据题目条件可知对称轴为 y 轴,故 x ? ? a ? 0 ,故填 0 .

【注:此法结论可以当作一个二级结论记下,在考试小题求解中直接使用】

11.

? ? ? x ? sin x ?dx ? ________________.
?

?

【分析】本题考察基本的定积分运算,难度不大,但同样可以从两个角度入手,其一就是常规的定 积分运算,其二就是利用定积分的几何含义进行分析 【解】 0

2 ? ? x2 ? ??2 ? ? ? ?? ? 方法一: ? ? x ? sin x ?dx ? ? ? cos x ? ?? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? ? 0 ,故填 0 . ?? ? ? 2 ? x ?? ? 2 ? ? ? 2 ?

?

x ??

方法二:由于定积分性质可知,对于奇函数,若积分对应的区间关于原点对称,那么积分的结果一 定为 0 (通过图像也可以判别),故填 0 . 12. 为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单位: mg / L ) 随时间 t (单位: h )的变化关系为 C ?

20t ,则经过_____ h 后池水中药品的浓度达到最大。 t ?4
2

【分析】本题直观从题面看的话是一个函数应用问题,但本质上只是一个均值不等式的应用问题, 经典的一次比二次的代数式最值求解,这种最值求解也经常在解析几何中的最值问题中出现。当然, 本题也可以理解为对勾函数的问题,但对勾函数的最值求解也可以用均值不等式求解。本题如果选 择求导找最值同样可以,但是难度较大,不建议。 【解】 2 方法一:利用导数研究函数单调性,其关系式 C ?

20? 2? t ?? 2? t ? 20t ,求导可得 ,当 C ' ? 2 t2 ? 4 t2 ? 4

?

?

t ? ? 0, 2? 时, C ' ? 0 ,函数递增,当 t ? ? 2, ??? , C ' ? 0 ,函数递减,可知,当 t ? 2 时,函数取
最大值,故填 2 . 方法二:对于解析式 C ?

20t 20 20 20 4 ? 2 ? ? ? 5 ,当 t ? 时取得最值,此时 t ? 2 , t t ?4 t ?4 t? 4 4 2 t? t t t
2

故填 2 . 13. 如 图 所 示 , 在 ?ABC 中 , D 为 BC 边 上 的 一 点 , 且

B D ? 2 D C, 若 A C? m A? B

nA Dm, n ? R ) , 则 (

m ? n ? _____________.
【分析】本题考察向量的线性表示,属于常规问题,难度适中,可以通过两个思路去解决问题,第 一,利用几何关系处理问题,通过建立平行线寻找几个向量的关系;第二,则可以使用向量之间的 相 互 表达 的手 段去 处理 ,或 者直 接使 用共 线定 理( 即: 若 A, B, C 共 线 ,且 AB ? ? BC , 则

1 ? OA ? OC )。 ? ?1 ? ?1 【解】 ?2 OB ?

? AB 方 法 一 : 由 于 B D ? 2 D C, 则 BC ? ?3 CD, 其 中 BC ? AC , CD ? AD ? AC , 那 么 BC ? ?3 CD 可 转 化 为 A C? A B ? 3 ?

?

AD ?

? A,C可 以 得 到

?2 AC ? ?3 AD ? AB , 即

1 3 1 3 1 3 AB ? AD ,则 m ? ? , n ? ,那么 m ? n ? ? ? ? ?2 ,故填 ?2 . 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 方法二: 直接利用共线定理, 则 ? ? ?3 , 则 AC ? ? AB ? AD , 则m ? ? , n ? , BC ? ?3CD , 2 2 2 2 1 3 那么 m ? n ? ? ? ? ?2 ,故填 ?2 . 2 2 方法三:利用几何方法,如右图所示构造辅助线,做 AB 的 三 等 2 分点 E ,根据平行线等分定理则 DE ? AC ,在新构造的 3 2 1 2 1 ?AED 中, ED ? AE ? AD ,又 ED ? AC , AE ? AB ,那么 AC ? AB ? AD ,可以得 3 3 3 3 1 3 1 3 1 3 到 AC ? ? AB ? AD ,则 m ? ? , n ? ,那么 m ? n ? ? ? ? ?2 ,故填 ?2 . 2 2 2 2 2 2 AC ? ?
14. 已知函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ( A, ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 设集合

M ? { 直线 l | l 为曲线 y ? f ? x ? 在点 ? x 0 , f ? x0 ?? 处的切线, x0 ??0, ? ?} . 若集合 M 中有且只有两
条直线相互垂直,则 ? ? _______; A ? ________. 【分析】本题是一个综合性较强的考题,与往年 14 题的命题思路有些不同,重点放在了知识的综合 和深入理解上。题目利用三角函数为基本背景,以切线关系为桥梁,代数的数值关系为核心构成的, 同时利用集合的数学语言描述问题,内容十分丰富。首先需要理解集合 M 是一个切线集合,同时

x0 ??0, ? ? 这个条件要特别注意,这说明集合 M 是一个完整周期内的全部切线,所以对于只影响左
右位置的参数 ? 对于本题无关紧要。那么这道题目本质就是在说,三角函数一个周期内只存在一组 相互垂直的直线,要去求出参数 A 的值,那么我们就要关注所有的切线斜率及其之间的关系,这个 斜率构成的集合中,只有两个斜率乘积为 ?1 即可。

【解】 2,

1 2

由于函数的周期为 ? ,则 T ?

2?

?

? ? ,可以解得 ? ? 2 ,那么函数为 f ? x ? ? Asin ? 2x ? ? ? ,接下

来求解函数在一个周期内的所有切线的斜率, f ' ? x ? ? 2 A cos ? 2x ? ? ? ,由于 x0 可以取遍一个周期 内的所有的点,故 cos ? 2x0 ? ? ? 的范围为 ?1,1 ,则 f ' ? x0 ? ? ?2 A, 2 A ,那么集合 M 中所有的 直线斜率取值范围为 ?2 A, 2 A ,那么要有在这个集合中只存在两个数互为负倒数。对于区间

?

?

?

?

?

?

??2 A, 2 A? 而言,其负倒数的对应区间为 ? ? ??, ?
?

1 ? ? 2A?

? 1 ? , ?? ? ,若区间 ? ?2 A, 2 A? 中有两个值 ? ? 2A ?
1 ? ?2 A (或 2A

互为负倒数,则其与对应的负倒数区间的交集中有且只有两个元素,那么 ?

1 1 1 ? 2 A ),解得 A ? ? ,又 A ? 0 ,故 A ? . 2A 2 2

三、解答题部分
15. 已知函数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x ?

? ?

??

?. 3?

(Ⅰ)求 f ?

?? ? ? 的值; ?2?

(Ⅱ)求 f ? x ? 的单调递增区间.

【解】(Ⅰ) f ( ) ? sin

π π π 1 1 ? sin( ? ) ? 1 ? ? . 2 2 3 2 2 π (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) 3 π π ?sin x ? ( sx in co ?s x c o s s i n ) 3 3

π 2

(3 分)

(5 分)

1 3 ?sin x ? ( s ixn? 2 2

1 cx o s? ) 2

3 xs ? in 2

π xc ?o s x ? s.i n ( 3
(9 分)

)

函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2kπ ? 由 2kπ ?

π π , 2kπ ? ](k ? Z) , 2 2
(11 分)

π π π ≤x ? ≤2kπ ? (k ? Z) , 2 3 2 π 5π (k ? Z) . 得 2kπ ? ≤x≤2kπ ? 6 6 π 5π ](k ? Z) . 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [2kπ ? , 2kπ ? 6 6
16. 已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, a1 ? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? n? 的前 n 项和 Sn .

(13 分)

1 ,且 a1 , a3 , ?a2 成等差数列. 2

【解】(Ⅰ)因为 a1 , a3 , ?a2 成等差数列,

所以 2a3 ? a1 ? a2 . 设数列 {an } 的公比为 q(q ? 0) ,由 a1 ?

(2 分)

1 可得 2
(4 分)

1 1 1 2 ? q2 ? ? q , 2 2 2
即 2q 2 ? q ? 1 ? 0 .

1 或 q ? ?1 (舍). 2 1 1 1 所以 an ? ? ( ) n ?1 ? n . 2 2 2 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: an ? n ? n ? n . 2 1 1 1 1 所以 S n ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1? 2 ? 3 ? ? n 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n(n ? 1) ? 1 ? 1 ? n(n ? 1) . ?2 1 2 2n 2 1? 2
解得: q ?

(5 分) (7 分)

(8 分) (9 分)

(13 分)

?D ? 2?B , 17. 如图所示, 在四边形 ABCD 中, 且 AD ? 1 ,
cos B ? 3 . 3

CD ? 3 ,

(Ⅰ)求 ?ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

【解】(Ⅰ)因为 ?D ? 2?B , cos B ? 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

3 , 3
(3 分)

1 . 3

因为 ?D ? (0, π) ,

所以 sin D ? 1 ? cos D ?
2

2 2 . 3

(5 分)

因为 AD ? 1, CD ? 3 ,

所以 △ ACD 的面积 S ?

1 1 2 2 AD ? CD ? sin D ? ?1? 3 ? ? 2 . (7 分) 2 2 3

(Ⅱ)在△ ACD 中, AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 . 所以 AC ? 2 3 . 因为 BC ? 2 3 , (9 分)

AC AB , ? sin B sin ?ACB

(11 分)

所以

2 3 AB AB AB AB . ? ? ? ? sin B sin(? ? 2 B) sin 2 B 2sin B cos B 2 3 sin B 3
(13 分)

所以 AB ? 4 . 18. 已知函数 f ? x ? ? 2a ln x ? x ? 1 .
2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 在区间 1, ?? ? 上的最大值; (Ⅲ)若 f ? x ? ? 0 在区间 1, ?? ? 上恒成立,求 a 的最大值. 【解】(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? 1 .

?

?

f ?( x) ?

2 ?2( x 2 ? 1) ? 2x ? ,x ? 0. x x
?2( x 2 ? 1) ? 0. x

(2 分)

令 f ?( x) ?

因为 x ? 0 , 所以 x ? 1 . 所以 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (1, ??) . (Ⅱ) f ?( x) ? (3 分) (4 分)

2a ? 2( x 2 ? a) , x ? 0. ? 2x ? x x
(5 分)

令 f '( x) ? 0 ,由 a ? 0 ,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍去).

① 当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, ??) 上 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数. 所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; (7 分)

② 当 a ? 1 ,即 a ? 1 时, x 在 [1, ??) 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表

x
f '( x)

1

(1, a )
+

a
0
a ln a - a + 1

( a,+


)

f ( x)

0



所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 .(10 分) 综上所述:当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知:当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 在区间 [1, ?? ) 上恒成立; (11 分) 当 a ? 1 时,由于 f ( x) 在区间 [1, a ] 上是增函数, 所以 f ( a ) ? f (1) ? 0 ,即在区间 [1, ?? ) 上存在 x ?

a 使得 f ( x) ? 0 .
(13 分)

综上所述, a 的最大值为 1 .

(14 分)

19. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a1 的值;

n ?1 ? an ? ( n ? 1, 2,3,... ). 2

(Ⅱ)求证: ? n ? 2? an ? 1 ? ? n ?1? an?1 ( n ? 2 ); (Ⅲ)判断数列 ?an ? 是否为等差数列,并说明理由. 【解】(Ⅰ)解:由题意知: S1 ? 解得: a1 ? 1 . (Ⅱ)证明:因为 S n ?

1 ? a1 1 ? a1 ,即 a1 ? . 2 2
(2 分)

n(1 ? an ) (n ? 1, 2,3, ) , 2

所以 S n ?1 ?

(n ? 1)(1 ? an ?1 ) ( n ≥ 2 ). 2

(4 分) (6 分)

因为 an ? Sn ? Sn?1 ( n ≥ 2 ). 所以 an ?

nan ? 1 ? (n ? 1)an ?1 ,即 (n ? 2)an ? 1 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) . 2
(7 分)

(Ⅲ)数列 {an } 是等差数列.理由如下:

(8 分)

(n ? 2)(1 ? an ? 2 ) ( n ≥ 3 ),由(Ⅱ)可得: 2 (n ? 1)an ?1 ? 1 ? (n ? 2)an ? 2 ( n ≥ 3 ). an?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2 na ? 2(n ? 1)an ?1 ? (n ? 2)an ? 2 所以 an ? an ?1 ? n , 2
又 Sn?2 ? 即 (n ? 2)an ? 2(n ? 2)an?1 ? (n ? 2)an?2 ? 0 . 因为 n ≥ 3 , 所以 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0 ,即 an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ( n ≥ 3 ). 所以 数列 {an } 是以 1 为首项, a2 ? 1 为公差的等差数列.

(9 分)

(11 分)

(13 分)

20. 设函数 f ? x ? ?

1 1? ? , L 为曲线 C : y ? f ? x ? 在点 ? ?1, ? 处的切线. 5 x ? 16 x ? 23 ? 12 ?
2

(Ⅰ)求 L 的方程; (Ⅱ)当 x ? ? 时,证明:除切点 ? ?1,

1 5

? ?

1? ? 之外,曲线 C 在直线 L 的下方; 12 ?

(Ⅲ)设 x1 , x2 , x3 ? R ,且满足 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 ,求 f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? 的最大值. 【解】(Ⅰ) f ?( x) ? ? 所以 f ?(?1) ? ?
10 x ? 16 . (5 x ? 16 x ? 23) 2
2

1 . 24
(3 分)

1 1 所以 L 的方程为 y ? 1 ? ? 1 ( x ? 1) ,即 y ? ? x ? . 24 24 12 24
(Ⅱ)要证除切点 (?1,

1 ) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方,只需证明 ?x ? (??, ?1) 12

1 (?1, ? ) , 5

1 1 1 恒成立. ?? x? 5x2 ? 16x ? 23 24 24 因为 5 x 2 ? 16 x ? 23 ? 0 ,

1 3 2 (?1, ? ) , 5x ? 11x ? 7 x ? 1 ? 0 恒成立即可. 5 (5 分) 1 设 g ( x) ? 5x3 ? 11x2 ? 7 x ? 1 ( x ≤ ? ). 5
所以 只需证明 ?x ? (??, ?1) 则 g ?( x) ? 15x2 ? 22x ? 7 ? ( x ? 1)(15x ? 7) . 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1 , x2 ? ?

7 . 15

(6 分)

1 当 x 在 (??, ? ] 上变化时, g '( x), g ? x ? 的变化情况如下表 5
x
g '( x )

(??, ?1)
+ ↗

?1
0 0

(?1, ?
-

7 ) 15

-

7 15
0

(-

7 1 ,- ) 15 5
+ ↗

?

1 5

g ( x)



0

1 3 2 (?1, ? ) , 5x ? 11x ? 7 x ? 1 ? 0 恒成立. 5 1 1 1 (Ⅲ)(ⅰ)当 x1 ? ? , x2 ? ? , 且 x3 ? ? 时, 5 5 5
所以 ?x ? (??, ?1) 由(Ⅱ)可知: f ( x1 ) ?

(8 分)

1 1 1 ≤ ? x1 ? , 5 x12 ? 16 x1 ? 23 24 24 1 1 1 1 1 1 f ( x2 ) ? ≤ ? x2 ? , f ( x3 ) ? 2 . ≤? x3 ? 2 5 x2 ? 16 x2 ? 23 24 24 5 x3 ? 16 x3 ? 23 24 24

三式相加,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ? 因为 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 ,

1 1 ( x1 ? x2 ? x3 ) ? . 24 8

1 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ≤ ,且当 x1 ? x2 ? x3 ? ?1时取等号. 4 1 (ⅱ)当 x1 , x2 , x3 中至少有一个大于等于 ? 时, 5

(11 分)

1 8 51 1 8 51 不妨设 x1 ≥ ? ,则 5x12 ? 16x1 ? 23 ? 5( x1 ? )2 ? ≥ 5(? ? )2 ? ? 20 , 5 5 5 5 5 5 8 51 51 8 51 51 因为 5x22 ? 16x2 ? 23 ? 5( x2 ? )2 ? ≥ , 5x32 ? 16 x3 ? 23 ? 5( x3 ? )2 ? ≥ , 5 5 5 5 5 5
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )≤

1 5 5 1 ? ? ? . 20 51 51 4 1 . 4
(14 分)

综上所述,当 x1 ? x2 ? x3 ? ?1时 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 取到最大值


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