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高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直的证明问题课件文_图文

第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题

高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用平面的 基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真 假进行判断,属基础题;2.以解答题的形式考查,主要是对线 线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、 棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等.

真题感悟
(2016·全国Ⅰ卷)如图,已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面 ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正 投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明:G是AB的中点; (2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由), 并求四面体P-DEF的体积.

(1)证明 因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD. 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE. 且PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,又PG?平面PED, 故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点. (2)解 在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA 于点F,F即为E在平面PAC内的正投影. 理 由 如 下 : 由 已 知 可 得 PB⊥PA , PB⊥PC , 又 EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,PA∩PC=P, 因此EF⊥平面PAC, 即点F为E在平面PAC内的正投影.

连接 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正 三角形 ABC 的中心.由(1)知,G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD=23CG.由题设可得 PC⊥平面 PAB,DE⊥平面 PAB,
所以 DE∥PC,因此 PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE= 2,PE=2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2. 所以四面体 P-DEF 的体积 V=13×12×2×2×2=43.

考点整合
1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3)面面平行的判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α, b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m, l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β. (4) 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 : α⊥β , α ∩ β = l , a? α , a⊥l?a⊥β.

热点一 空间平行、垂直关系的证明 【例1】 (2016·山东卷)在如图所示的几何体中,
D是AC的中点,EF∥DB. (1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB; (2) 已 知 G , H 分 别 是 EC 和 FB 的 中 点 . 求 证 : GH∥平面ABC.

证明 (1)因为EF∥DB, 所以EF与DB确定平面BDEF, 连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点, 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF. 因为FB?平面BDEF,所以AC⊥FB.

(2)设FC的中点为I,连接GI,HI. 在△CEF中,因为G是CE的中点, 所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB. 在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC. 又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC, 因为GH?平面GHI,所以GH∥平面ABC.

探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常 见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明 线线垂直.

【训练1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC, AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M, N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点. 求证:(1)CE∥平面PAD; (2)平面EFG⊥平面EMN.

证明 (1)法一 如图 1,取 PA 的中点 H,连接 EH,DH. 又因为 E 为 PB 的中点,所以 EH∥AB,且 EH=12AB.
图1 又 AB∥CD,CD=12AB,所以 EH∥CD,且 EH=CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形.所以 CE∥DH.又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD,因此,CE∥平面 PAD.

法二 如图 2,连接 CF.因为 F 为 AB 的中点,所以 AF=12AB.
图2 又 CD=12AB,所以 AF=CD,又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形.因此 CF∥AD. 又 CF?平面 PAD,AD?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,PA?平面 PAD,

所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF,所以CE∥平面PAD. (2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA. 又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG. 又EF∩FG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG, 因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点, 所以MN∥DC,又AB∥DC,所以MN∥AB, 所以MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN, 所以平面EFG⊥平面EMN.

热点二 利用平行、垂直关系判断点的存在性
【例 2】 (2016·四川卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°, BC=CD=12AD. (1) 在 平 面 PAD 内 找 一 点 M , 使 得 直 线 CM∥ 平 面 PAB,并说明理由. (2)证明:平面PAB⊥平面PBD.

(1)解 取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为 所求的一个点,理由如下:
因为 AD∥BC,BC=12AD.所以 BC∥AM,且 BC=AM. 所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB. 又AB?平面PAB.CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN 上任意一点)

(2)证明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.
因为 AD∥BC,BC=12AD,所以直线 AB 与 CD 相交, 所以 PA⊥平面 ABCD.从而 PA⊥BD.连接 BM,
因为 AD∥BC,BC=12AD,所以 BC∥MD,且 BC=MD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形,所以 BM=CD=12AD,所以 BD⊥AB.又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD?平面 PBD,所以平面 PAB⊥平面 PBD. 探究提高 探求点的位置常常是线段的中点、三等分点 等,关键是通过垂直、平行关系寻找线线平行.

【训练 2】 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,

并求MPMC的值.
(1)解 由题设 AB=1,AC=2,∠BAC=60°,

可得

S△ABC



1 2

·AB·AC·sin

60°=

3 2

.



PA⊥ 平 面

ABC,可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高,又 PA=1.

所以三棱锥

P-ABC

的体积

V=13·S△ABC·PA=

3 6 `.

(2)证明 在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N,在平 面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.由PA⊥平 面ABC知PA⊥AC, 所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN, 又BM?平面MBN,所以AC⊥BM. 在 Rt△BAN 中,AN=AB·cos∠BAC=12, 从而 NC=AC-AN=32,由 MN∥PA,得MPMC=NANC=13.

热点三 平面图形翻折中的平行、垂直关系
【例3】 (2016·全国Ⅱ卷)如图,菱形ABCD的 对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在 AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H, 将△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (1)证明:AC⊥HD′; (2)若 AB=5,AC=6,AE=54,OD′=2 2,求五棱锥 D′-ABCFE 的体积.

(1)证明 由已知得 AC⊥BD,AD=CD,又由 AE=CF 得AADE =CCDF,故 AC∥EF,由此得 EF⊥HD,折后 EF 与 HD 保 持垂直关系,即 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′. (2)解 由 EF∥AC 得ODHO=AADE=14. 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB2-AO2=4, 所以 OH=1,D′H=DH=3,
于是 OD′2+OH2=(2 2)2+12=9=D′H2,故 OD′⊥OH.

由(1)知 AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以 AC⊥

平面 BHD′,于是 AC⊥OD′,又由 OD′⊥OH,AC∩OH=

O,所以 OD′⊥平面 ABC.

又由AECF=DDHO得 EF=92.

五边形 ABCFE 的面积 S=12×6×8-12×92×3=649.

所以五棱锥 D′-ABCFE 的体积 V=13×649×2

2=232

2 .

探究提高 (1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位 置关系和数量关系改变,哪些不变,抓住翻折前后不变的 量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把 平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥, 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.

【训练 3】 (2016·江西八校联考)如图 1,在边长为 1 的等边三

角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,AD=AE,F 是

BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得

到如图

2

所示的三棱锥

A-BCF,其中

BC=

2 2.

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD=23时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. (1)证明 在等边△ABC 中,AD=AE, ∴ADDB=EACE在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立. ∴DE∥BC,又 DE?平面 BCF,BC?平面 BCF,∴DE∥平面 BCF. (2)证明 在等边△ABC 中,F 是 BC 的中点, ∴AF⊥CF.

∵在三棱锥 A-BCF 中,BC= 22,BF=CF=12, ∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF. 又 BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)解 由(1)、(2)可知 GE⊥平面 DFG, 即 GE 为三棱锥 E-DFG 的高. VF-DEG=VE-DFG=13×12×DG×FG×GE =13×12×13×???13× 23???×13=3234.

1.空间中点、线、面的位置关系的判定 (1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例. (2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上, 抽象出空间线、面的位置关系的定义.
2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下: (1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线 同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:三 是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面 面平行的性质定理进行平行转换.

(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即 高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线 垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α, a?α?l⊥a. 3.在应用直线和平面平行的性质定理时,要防止出现“一条直线 平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误. 4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的 不变“性”与“量”,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段 的长度、角度等.

再见


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