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11.13 函数零点与一元二次方程根的分布


函数零点与一元二次方程根的分布

y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? ( a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。 函数与方程思想:若 y = f ( x ) 与 x 轴有交点 x0 ? f ( x0 )=0 若 y = f ( x )与 y = g ( x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x ) = g ( x) 有解 x0 。
函数的零点:对于函数 一元二次方程根的分布 一、一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个 根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax 【定理 1】 x1
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。
? ? ? b 2 ? 4ac ? 0

? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? ?



b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?

推论: x1

? 0 , x2 ? 0 ?

? ? b ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 或? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? f (0) ? c ? 0 ? f (0) ? c ? 0 ? ? b ? 0 ?b ? 0 ?
2

?

【定理 2】 x1

? 0 , x2 ? 0 ? ? ?

? ? ? b 2 ? 4ac ? 0 b ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x 2 ? ?0 ? a ?

,推论: x1

? 0 , x2 ? 0 ? ? ?a ? 0

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ?b ? 0

或?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?a ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ?b ? 0

【定理 3】 x1

? 0 ? x2 ?

c ?0 a b ? 0; a
2 x1 ○

1 x1 【定理 4】 ○

? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

b ?0。 a

二.一元二次方程的非零分布—— k 分布 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为常数。则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 ,
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ?? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。
【定理 1】 k

? x1 ? x2

【定理 2】 x1

? x2 ? k

【定理 3】 x1

? k ? x2 ? af (k ) ? 0 。

推论 1 推论 2

x1 ? 0 ? x2 ? ac ? 0 。 x1 ? 1 ? x2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。

【定理 4】有且仅有 k1

? x1 (或 x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0

?a ? 0 ? f ( k ) ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 1 ? 1 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? ? f ( k ) ? 0 或 ? ? ? 2 f ( k ? 2) ? 0 ?f (p ) ? 0 ? f ( p1 ) ? 0 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? ? f ( p2 ) ? 0 ?
? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? f (k1 ) ? 0 ? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? k1 ? ? ? k2 k1 ? ? ? k2 ? ? 2a 2a ? ?

【定理 6】 k1

? x1 ? x2 ? k 2 ?

三、例题

【例1】 若一元二次方程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数,求 k 的取值范围。
2

【例2】

k 在何范围内取值,一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负根?

【例3】 (1)已知方程 x ? 11x ? m ? 2 ? 0 的两实根都大于 1,求 m 的取值范围。
2

? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两个实根都大于-1,求 m 的取值范围。 (3)若一元二次方程 mx ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两实根都小于 2,求 m 的取值范围。
(2)若一元二次方程 mx
2 2

【例4】 (1)已知方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 有一根大于 2,另一根比 2 小,求 m 的取值范围。
2 2

(2)已知方程 x

2

? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有一实根在 0 和 1 之间,求 m 的取值范围。


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