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(教师用书)高中数学 3.1.1-2 变化率问题 导数的概念课件 新人教A版选修1-1_图文

3.1 3.1.1 3.1.2 变化率与导数 变化率问题 导数的概念 教师用书独具演示 ●三维目标 1.知识与技能 通过大量的实例的分析,让学生经历由平均变化率过渡到 瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化 率就是导数. 2.过程与方法 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通 过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一 般的数学思想方法. 3.情感、态度与价值观 学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中,通过动 手算、动脑思和集体合作讨论,发展思维能力,树立敢于战胜 困难的信息,养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯,激发 求知欲,增强合作交流意识. ●重点、难点 重点:了解导数概念的形成,理解导数有内涵. 难点:在平均变化率的基础上探求瞬时变化率,深刻理解 导数的内涵. 通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解,以化 解重点;通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点. ●教学建议 学生对平均变化率已有了很好的认识,同时在物理课程中 已学习过瞬时速度,因此,学生已经具备了一定的认知基础, 于是,在教学设计中,宜采用相互讨论、探究规律和引导发现 的教学方法,本着为学生发展的原则,通过师生互动、共同探 索,形成概念,并学以致用. 在学生的认知基础上,为了让学生明确导数就是瞬时变化 率, 函数 f(x)在 x=x0 处的导数反映了函数 f(x)在 x=x0 处附近变 化的快慢,从而更好地理解导数的概念.在学法指导上,应回 避了学生较难理解的极限思想,而是通过让学生体验逼近的思 想,让他们通过自主探究,发现导数的内涵.使学生在学习过 程中探究能力,分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度 的提升. ●教学流程 演示结束 1.理解函数在某点附近的平均变 化率.(重点) 课标 2.会求函数在某点处的导数.( 解读 难点) 3.了解平均变化率与瞬时变化率 的关系.(易混点) 函数的变化率 【问题导思】 实例: (1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加的会越来越慢. (2)从高空放下一件物体,随着时间的变化,物体下降的速 度会越来越快. 1.如何用数学的观点刻画物体运动的快慢? 【提示】 可以运用平均变化率来刻画. 2.实例(2)中,当 t1≈t2 时刻时,平均变化率有什么样的特 点? 【提示】 平均变化率接近 t1 或 t2 时刻的速度. 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-f?x1? Δy (1)定义式: = x2-x1 . Δx (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量 之比 . (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx (1)定义式: lim = Δx→0 . Δx→0 Δx (2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时, 平均变化率 趋近的值. (3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢. 函数f(x)在x=x0处的导数 平均变化率的计算 求函数 f(x)=x2 在 x=1,2,3 附近的平均变化率,取 1 Δx 都为3,在哪一点附近平均变化率最大? 【思路探究】 (1)Δx、Δy 分别为多少?(2)平均变化率怎 么求?(3)哪一点附近的平均变化率大? 【自主解答】 在 x=1 附近的平均变化率为 f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2-1 k1= = =2+Δx; Δx Δx 在 x=2 附近的平均变化率为 f?2+Δx?-f?2? ?2+Δx?2-22 k2= = =4+Δx; Δx Δx 在 x=3 附近的平均变化率为 f?3+Δx?-f?3? ?3+Δx?2-32 k3= = =6+Δx. Δx Δx 1 若 Δx=3, 1 7 1 13 1 19 则 k1=2+3=3,k2=4+3= 3 ,k3=6+3= 3 . 由于 k1<k2<k3, 故在 x=3 附近的平均变化率最大. 1.解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量 Δx 与函 数值的增量 Δy. 2.求函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量:Δx=x2-x1. (2)求函数值的增量:Δy=f(x2)-f(x1). Δy f?x2?-f?x1? (3)作商求函数的平均变化率: = . Δx x2-x1 π π π 求函数 y=sin x 在 0 到6之间和3到2之间的平均变化率,并 比较它们的大小. 【解】 π 函数 y = sin x 在 0 到 之间的平均变化率为 6 π sin6-sin 0 3 =π, π -0 6 π π sin -sin 3?2- 3? π π 2 3 在 到 之间的平均变化率为 = . 3 2 π π π 2-3 3 3?2- 3? ∵2- 3<1,∴π> . π π 3 π π ∴函数 y=sin x 在 0 到6之间的平均变化率为π,在3到2之 3?2- 3? π 间的平均变化率为 , 且在 0 到6 之间的平均变化率较大. π 求瞬时速度 若一物体运动方程如下:(位移 s:m,时间 t: s) ?3t2+2 ? s=? 2 ? 29 + 3 ? t - 3 ? ? ?t≥3? ?0≤t<3? 求(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度. (2)物体的初速度 v0. 【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一 段函数的解析式?(2)物体的初速度 v0 的含义是什么?如何去 求? 【自主解答】 (1)∵物体在 t∈[3,5]内时,s=3t2+2,且时 间增量 Δt=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速

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