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高考数学选择题神奇巧解专题43页


神奇巧解高考数学选择题专题 前 言

高考数学选择题,知识覆盖面宽,概括性强,小巧灵活,有一定深度与 综合性,而且分值大,能否迅速、准确地解答出来,成为全卷得分的关键。 选择题的解答思路不外乎两条:一是直接法,即从题干出发,探求结果, 这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能, 这一般适用于题 号在前 1~6 的题目;二是间接法,即从选项出发,或者将题干与选项联合考察 而得到结果。因为选择题有备选项,又无须写出解答过程,因此存在一些特殊 的解答方法,可以快速准确地得到结果,这就是间接法。这类选择题通常用来 考核考生的思维品质,包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑 性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性;同直接法相比,间接法所需要的 时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一,是节约解题时间的重要手段。 然而,有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心,认为这样做“不 可靠” ,以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证;甚至有思 想不解放的,认为这样做“不道德” ,而不明白这其实正是高考命题者的真实 意图所在, 高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要 手段。 解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等 价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、 现场操作, 等等。 考生应该有意识地积累一些经典题型, 分门别类, 经常玩味, 以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之,并配备足够 的对应练习题,每题至少提供有一种解法。 例题与题组
1

一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思 维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多。 【例题】 、 (07 江苏 6) 设函数 f ( x) 定义在实数集上, 它的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ?1,则有(
1 3 2 3 2 3 2 1 3 C、 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

) 。
2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3

A、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

B、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

【解析】 、当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ?1, f ( x) 的 图象关于直线 x ? 1 对称,则图象如图所示。 这个图象是个示意图,事实上,就算画出
f ( x) ?| x ? 1| 的图象代替它也可以。由图知,

符合要求的选项是 B, 【练习 1】 、若 P(2,-1)为圆 ( x ?1)2 ? y2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( ) B、 2 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0

A、 x ? y ? 3 ? 0

(提示:画出圆和过点 P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选 A)
?x ? y ? 2 ? 0 y ? 【练习 2】(07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 1 、 ,则 的 x ?x ? y ? 7 ? 0 ?

取值范围是( A、 ? , 6? ?5 ? ? ?
9
y x


9? B、 ? ??, ? ? ? 6, ?? ? ? ? 5?

C、 ? ??,3? ? ?6, ???

D、 ?3,6?

(提示:把 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选 A。 )
2

【练习 3】 、曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? ? ?2, 2?) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个公共点时,
k 的取值范围是(



A、 (0,

5 ) 12 5 C、 ( , ?? ) 12

B、 ( , )

1 1 4 3 5 3 D、 ( , ) 12 4
y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? ? ?2, 2?) 的图象为

(提示:事实上 不难看出,曲线 方程

x2 ? ( y ?1)2 ? 4(?2 ? x ? 2,1 ? y ? 3) ,表示以(1,0)为圆心,2 为半径的上半圆,

如图。直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 过定点(2,4) ,那么斜率的范围就清楚了,选 D)] 【练习 4】 、函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A、 ?? ?,0? C、 ?0,???
1 B、 ?0, ? ? ? ? 2?



D、 ? ,?? ? ? ?
1 ?2 ?

(提示:作出该函数的图象如右,知应该选 B)

【练习 5】 、曲线

|x| | y| ? ? 1 与直线 y ? 2 x ? m 2 3

有两个交点,则 m 的取值范围是( A、 m ? 4 或 m ? ?4 C、 m ? 3 或 m ? ?3



B、 ? 4 ? m ? 4 D、 ? 3 ? m ? 3

(提示:作出曲线的图象如右,因为直线
y ? 2 x ? m 与其有两个交点,则 m ? 4 或 m ? ?4 ,选 A)

3

【 练 习 6 】 ( 06 湖 南 理 8 ) 设 函 数 f ( x) ? 、

x?a , 集 合 M ? ?x | f ( x) ? 0? , x ?1

P ? ? x | f ' ( x) ? 0? ,若 M ? P ,则实数 a 的取值范围是(



A、 (??,1)

B、 (0,1)

C、 (1, ??)

D、 [1, ??)
x ? a x ?1?1? a 1? a ? ? 1? 。当 x ?1 x ?1 x ?1

(提示:数形结合,先画出 f ( x) 的图象。 f ( x) ?
a ? 1 时,图象如左;当 a ? 1 时图象如右。

由图象知,当 a ? 1 时函数 f ( x) 在 (1, ??) 上递增, f ' ( x) ? 0 ,同时 f ( x) ? 0 的 解集为 (1, ??) 的真子集,选 C) 【练习 7】 、 (06 湖南理 10) 若圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同的点 到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( ) A、 ? ?
, ?12 4 ? ?

? ??

B、 ? , ?

?12 12 ? ?

? 5? ?

C、 ? , ? ?6 3? ? ?

? ?

? D、 ?0, ? ? ?
? 2?

(提示:数形结合,先画出圆的图形。圆方程化为
( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,由题意知,圆心到直线

的距离 d 应该满足 0 ? d ? 2 ,在已知圆中画一个半 径为 2 的同心圆,则过原点的直线 l : ax ? by ? 0 与小圆有公共点,∴选 B。 ) 【练习 8】(07 浙江文 10)若非零向量 a,b 满足|a-b|=| b |,则( ) 、
4

A、|2b| > | a-2b | C、|2a| > | 2a-b |

B、|2b| < | a-2b | D、|2a| < | 2a-b |

(提示:关键是要画出向量 a,b 的关系图,为此 先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | ? |a-b|2= | b |2 ? a2+b2-2a·b= b2 ? a· (a-2b)=0 ? a⊥(a-2b) ,又 a-(a-2b)=2b,所以|a|,| a-2b |, |2b|为边长构成直角三角形,|2b|为斜边,如上图, ∴|2b| > | a-2b |,选 A。 另外也可以这样解:先构造等腰△OAB,使 OB=AB, 再构造 R△OAC,如下图,因为 OC>AC,所以选 A。 )

【练习 9】 、方程 cosx=lgx 的实根的个数是( A、1 B、2 C、3 D、4



(提示:在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象,如图,

由两个函数图象的交点的个数为 3,知应选 C)
5

【练习 10】 、(06 江苏 7)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( ) A、 A ? C B、 C ? A C、 A ? C D、 A ? ?

(提示:若 A ? B ? C ? ? ,则 A ? B ? A, B ? C ? B ? A 成立,排除 C、D 选项,作出 Venn 图,可知 A 成立)

【 练 习 11 】 (07 天 津 理 7) 在 R 上 定 义 的 函 数 、

f ( x)

是偶函数,且 )

f ( x) ? f ( 2 x 。若 f ( x) 在区间[1,2]上是减函数,则 f ( x) ( ? )

A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 (提示:数形结合法, f ( x) 是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结 论,如下左图知选 B)

【练习 12】(07 山东文 11 改编)方程 x3 ? ( ) x ?2 的解 x0 的取值区间是( 、 A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (2,3) D、 (3,4)
1 2

1 2



(提示:数形结合,在同一坐标系中作出函数 y ? x3 , y ? ( ) x ? 2 的图象,则立 刻知选 B,如上右图)
6

二、特值代验 包括选取符合题意的特殊数值、特殊位臵和特殊图形,代入或者比照选项 来确定答案。这种方法叫做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。 【例题】(93 年全国高考)在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5a6 ? 9 , 、 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A、12 B、10 ) C、8 D、 2 ? log3 5

【解析】 、思路一(小题大做) :由条件有 9 ? a5a6 ? a1q4 ?a1q5 ? a12q9 , 从而
10 a1 ? 2 ? 3 ? a10 ? a1 ? 1?2???9 ? (a12q9 )5 ? 310 , a a ?? q

所以原式= log3 (a1a2 ?a10 ) ? log3 310 ? 10 ,选 B。 思 路 二 ( 小 题 小 做 ): 由 9 ? a5 a6 ? a4 a7? = log3 (a5a6 )5 ? log3 310 ? 3 ,选 B。 思路三(小题巧做) :因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列
a5 ? a6 ? 3, q ? 1 即可,选 B。 a3 a8 ? a2 ?a9知 原 a式 a1 1 0

【练习 1】(07 江西文 8)若 0 ? x ? 、 A、 sin x ?
2

?
2

,则下列命题中正确的是(
3



?

x

B、 sin x ?
? ?
6 3

2

?

x

C、 sin x ?

?

x

D、 sin x ?

3

?

x

(提示:取 x ? , 验证即可,选 B) 【练习 2】(06 北京理 7)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ?? 23 n?10 ( n ? N) ,则 f (n) ? 、 ( ) A、 (8n ? 1)
2 7

B、 (8n?1 ? 1)

2 7

C、 (8n?3 ? 1)

2 7

D、 (nn? 4 ? 1)

2 7

(提示:思路一:f(n)是以 2 为首项,8 为公比的等比数列的前 n ? 4 项 的和,

7

所以 f (n) ?

2(1 ? 8n? 4 ) 2 n? 4 ? (n ? 1) ,选 D。这属于直接法。 1? 8 7
4 7 10

思路 2:令 n ? 0 ,则 f (0) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 只有 D 成立。 )

2 ?1 ? (23 )4 ? ? ? 1? 2

2 ? (84 ? 1) ,对照选项, 7

【练习 3】(06 全国 1 理 9)设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0,如果 、 平面向量 b1、b2、b3 满足| bi|=2| ai |,且 ai 顺时针旋转 30? 以后与 bi 同向, 其中 i=1、2、3 则( A、-b1+b2+b3=0 ) B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0

(提示:因为 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形,不妨设其为正 三角形,则 bi 实际上是将三角形顺时针旋转 30? 后再将其各边延长 2 倍,仍为 封闭三角形,故选 D。 ) 【练习 4】 、若 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) , f ?1 (2) ? 0, 则 f ?1 ( x ?1) 的图象是( )

A、

B、

C、

D、

(提示:抓住特殊点 2, f ?1 (2) ? 0 ,所以对数函数 f ?1 ( x) 是减函数,图象往 左移动一个单位得 f ?1 ( x ?1) ,必过原点,选 A) 【练习 5】 、若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的对称轴是( A、 x ? 0 B、 x ? 1 C、 x ?
1 2



D、 x ? 2

(提示:因为若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,作一个特殊函数 y ? ( x ?1)2 ,则

8

y ? f (2 x) 变为 y ? (2 x ?1)2 ,即知 y ? f (2 x) 的对称轴是 x ?

1 ,选 C) 2

【练习 6】 、已知数列{an}的通项公式为 an=2n-1,其前 n 和为 Sn,那么 Cn1S1+ Cn2S2+?+ CnnSn=( A、2n-3n B、3n -2n ) C、5n -2n D、3n -4n

(提示:愚蠢的解法是:先根据通项公式 an=2n-1 求得和的公式 Sn,再代 入式子 Cn1S1+ Cn2S2+?+ CnnSn,再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解,有些 书上就是这么做的!其实这既然是小题,就应该按照小题的解思路来求做:令 n=2,代入式子,再对照选项,选 B) 【练习 7】(06 辽宁理 10)直线 y ? 2k 与曲线 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x ( k ? R, k ? 1 ) 、 的公共点的个数是( A、1 B、2 ) C、3 D、4
y2 ? 1 ,这是两个椭圆,与直线 y ? 2 有 4 9

(提示:取 k ? 1 ,原方程变为 ( x ? 1)2 ? 个公共点,选 D)

【练习 8】 、如图左,若 D、E、F 分别是 三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC 上的点, 且 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平 面 DEF 截三棱锥 S-ABC 所得的上下两部分 的体积之比为( A、4:31 C、4:23 ) B、6:23 D、2:25

(提示:特殊化处理,不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱锥,K 是 FC 的中点, V1 ,V2 V1 ,V2 分别表示上下两部分的体积
9



VS ? DEF SS ? DEF 2h 2 2 2 8 V 8?4 4 ,? 1 ? ,选 C) ? ?( ) ? ? ? VS ? ABC SS ? ABC 3h 3 3 27 V2 27 ? 8 ? 4 23

【练习 9】 、△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,
???? ??? ??? ??? ? ? ? OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则 m 的取值是(

) D、2

A、-1

B、1

C、-2

(提示:特殊化处理,不妨设△ABC 为直角三角形,则圆心 O 在斜边中点处, 此时有 OH ? OA ? OB ? OC , m ? 1 ,选 B。 ) 【练习 10】 、双曲线方程为 A、 k ? 5 B、 2 ? k ? 5
x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是( k ?2 5?k
???? ??? ??? ??? ? ? ?



C、 ?2 ? k ? 2

D、 ?2 ? k ? 2 或 k ? 5

(提示:在选项中选一些特殊值例如 k ? 6,0 代入验证即可,选 D) 三、筛选判断 包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证,或者逻辑排除法, 即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。 【例题】 、设集合 A 和 B 都属于正整数集,映射 f: A ? B 把集合 A 中的元 素 n 映射到集合 B 中的元素,则在映射 f 下,像 20 的原像是( A、2 B、3 C、4 D、5 )

【解析】 、经逐一验证,在 2、3、4、5 中,只有 4 符合方程 2n ? n =20,选 C。 【练习 1】(06 安徽理 6)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 、 的图象按向量 a= (? , 0) 平移以后的图象如图所示,则
6

?

平移以后的图象所对应的函数解析式是( A、 y ? sin( x ? )
6


7? 12

?

B、 y ? sin( x ? )
6

?

C、 y ? sin(2 x ? )
3

?

D、 y ? sin(2 x ? )
3

?

(提示: 若选 A 或 B, 则周期为 2? , 与图象所示周期不符; 若选 D, 则与 “按
10

向量 a= (? , 0) 平移” 不符,选 C。此题属于容易题)
6

?

【练习 2】(06 重庆理 9)如图,单位圆中 ? 的 、 AB 长度为 x , f ( x) 表示 ? 与弦 AB 所围成的弓形的面的 AB 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象是(
2? 2?


2? 2?

? ?
2?

?
? 2?

? ?
2?

? ?
2?

A、

B、

C、

D、

(提示:解法 1 设 ?AOB ? ? ,则 x ? ? , 则 S 弓形=S 扇形- S△AOB= x ?1 ? 2 ? sin cos
2 2 1 1 ? ( x ? sin ? ) ? ( x ? sin x) ,当 x ? (0, ? ) 时, 2 2 1 2 1 2

?

?

sin x ? 0 , 则 x ? s i n x ? x , 其 图 象 位于 y ? x

? 下 方 ; 当 x ? (? , 2 )时 , s i nx ? 0,

x ? sin x ? x ,其图象位于 y ? x 上方。所以只有选

D。这种方法属于小题大作。

解法 2 结合直觉法逐一验证。显然,面积 f ( x) 不是弧长 x 的一次函数, 排除 A;当 x 从很小的值逐渐增大时, f ( x) 的增长不会太快,排除 B;只要 x ? ? 则必然有面积 f ( x) ? ? ,排除 C,选 D。事实上,直觉好的学生完全可以直接选 D) 【练习 3】(06 天津文 8)若椭圆的中心点为 E(-1,0) 、 ,它的一个焦点为

11

F(-3,0) ,相应于焦点的准线方程是 x ? ? ,则这个椭圆的方程是( A、
2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3

7 2



B、

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3

C、

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

D、

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

(提示:椭圆中心为(-1,0) ,排除 A、C,椭圆相当于向左平移了 1 个单 位长度,故 c=2, ?
a2 7 ? 1 ? ? ,∴ a2 ? 5 ,选 D) c 2
2 ? 2 的解集是( x ?1

【练习 4】 、不等式 x ? A、 (?1,0) ? (1, ??) C、 (?1,0) ? (0,1)



B、 (??, ?1) ? (0,1) D、 (??, ?1) ? (1, ??)

(提示:如果直接解,差不多相当于一道大题!取 x ? 2 ,代入原不等式, 成立,排除 B、C;取 x ? ?2 ,排除 D,选 A) 【练习 5】(06 江西理 12)某地一年内的气温 、 Q(t) (℃)与时间 t(月份)之间的关系如右图, 已知该年的平均气温为 10℃。令 C(t)表示时间 段[0,t]的平均气温,C(t)与 t 之间的函数关系 如下图,则正确的应该是( )

A、 D、

B、

C、

12

(提示:由图可以发现,t=6 时,C(t)=0,排除 C;t=12 时,C(t)=10, 排除 D;t>6 时的某一段气温超过 10℃,排除 B,选 A。 ) 【练习 6】 、集合 M ? ?(2n ?1)? | n ? Z? 与集合 N ? ?(4k ?1)? | k ? Z? 之间的关系是 ( ) A、 M ? N B、 M ? N C、 M ? N D、 M ? N

(提示:C、D 是矛盾对立关系,必有一真,所以 A、B 均假; 2n ? 1 表示全 体奇数, 4k ? 1 也表示奇数,故 M ? N 且 B 假,只有 C 真,选 C。此法扣住了概 念之间矛盾对立的逻辑关系。 当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令 k=0,±1,±2,±3,然 后观察两个集合的关系就知道答案了。 )

【练习 7】 、当 x ???4,0? 时, a ? ? x 2 ? 4 x ? x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能的 值是( A、5 ) B、
5 3

4 3

C、 ?

5 3

D、 ?5

(提示:若选项 A 正确,则 B、C、D 也正确;若选项 B 正确,则 C、D 也正 确;若选项 C 正确,则 D 也正确。选 D) 【练习 8】(01 广东河南 10)对于抛物线 y2 ? 4x 上任意一点 Q,点 P(a, 、 0)都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是( A、 ? ??,0? B、 (??, 2] ) D、 (0, 2)

C、 [0, 2]

(提示:用逻辑排除法。画出草图,知 a<0 符合条件,则排除 C、D; 又取 a ? 1 ,则 P 是焦点,记点 Q 到准线的距离为 d,则由抛物线定义知道,此 时 a<d<|PQ|,即表明 a ? 1 符合条件,排除 A,选 B。另外,很多资料上解此题 是用的直接法,照录如下,供“不放心”的读者比较——
13

设点 Q 的坐标为 (
2 2 y0 ( y0 ?16 ? 8a) ? 0 ,

2 y0 y2 2 ,y0 ), 由 P Q ? a , 得 y0 ? ( 0 ? a) 2 ? a 2, 整 理 得 4 4

2 2 y0 y0 ∵ y ? 0 ,∴ y ? 16 ?8 a ?0 ,即 a ? 2 ? 恒成立,而 2 ? 的最小值是 2,∴ 8 8

2 0

2 0

a ? 2 ,选 B)

【练习 9】(07 全国卷Ⅰ理 12)函数 f ( x) ? cos 2 x ? cos 2 的一个单调增区间是 、 ( )
? 2? ?
? 3 ? ?3

x 2

A、 ? , ?

B、 ? , ? ? ? 6 2
? ?

? ?

? C、 ? 0, ? ? ?
? 3?

D、 ? ? , ? ? ? 6 6
? ?

? ?

(提示: “标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的, 选 A。建议你用代入验证法进行筛选:因为函数是连续的,选项里面的各个端 点值其实是可以取到的,由 f (? ) ? f ( ) ,显然直接排除 D,在 A、B、C 中只
6

?

?

要计算两个即可,因为 B 中代入 会出现 算 A,有 f ( ) ? f (
3

?

2? ) ,符合,选 A) 3

? 6

6

? ,所以最好只算 A、C、现在就验 12

四、等价转化 解题的本质就是转化,能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化,要 通过必要的训练,达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题 中这一点显得尤其重要。 【例题】(05 辽宁 12)一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任 、 意 a1 ?? 0,1? ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列满足 an?1 ? an (n ? N ? ) ,则该函数的图 象是( )

14

A、

B、

C、

D、

【解析】 问题等价于对函数 y ? f ( x) 图象上任一点 ( x, y ) 都满足 y ? x , 只能选 A。 【练习 1】 t ? sin ? ? cos ? ,且 sin3 ? + cos3 ? ? 0 ,则 t 的取值范围是( 、设 A、[- 2 ,0) C、 (-1,0) ? (1, 2 ] B、[ ? 2, 2 ] D、 (- 3 ,0) ? ( 3,??) )

(提示:因为 sin3 ? + cos3 ? =(sin ? + cos ? ) (sin2 ? - sin ? cos ? + cos2 ? ) , 而 sin2 ? - sin ? cos ? + cos2 ? >0 恒成立,故 sin3 ? + cos3 ? ? 0 ? t<0,选 A。 另解:由 sin3 ? + cos3 ? ? 0 知 ? 非锐角,而我们知道只有 ? 为锐角或者直角时
t ? sin ? ? cos ? ? 2 ,所以排除 B、C、D,选 A)

【练习 2】 F1 , F2 是椭圆 ? y 2 ? 1的左、 、 右焦点, P 在椭圆上运动, PF1 ?PF2 的 点 则 最大值是( A、4 ) B、5 C、1 D、2

x2 4

?????????

(提示:设动点 P 的坐标是 ( 2cos ? ,sin ? ) ,由 F1 , F2 是椭圆的左、右焦点得
F1 (? 3,0)
???? ???? ? PF1 ? PF2 ? |


??
( ? ?

F2 ( 3,0)


o


? s

? 2

2 ?| 4cos2 ? ? 3 ? sin?? | c

选 这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求 ?| 3cos2 ? ? 2 |? 2 , D。 最值的问题。特别提醒:下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——
???? ???? ? ???? ???? | PF | ? | PF | ? 1 2 PF1 ? PF2 ? ? a2 ? 4 ) 2
15

【练习 3】 、若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则( A、 0 ? a ? b ? 1 B、 0 ? b ? a ? 1

) 。 D、 b ? a ? 1

C、 a ? b ? 1

(提示:利用换底公式等价转化。
log a 2 ? logb 2 ? 0 ? lg 2 lg 2 ? ? 0 ? lg b ? lg a ? 0 ∴ 0 ? b ? a ? 1 ,选 B) lg a lg b

c 【练习 4】 a,,, R ,? 、 bd

且 d ? c , a ? b ? c ? d , a ? d ? b ? c ,则(



A、 d ? b ? a ? c C、 b ? d ? c ? a

B、 b ? c ? d ? a D、 b ? d ? a ? c

(提示:此题条件较多,又以符号语言出现, 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化” , 如图 ,用线段代表 a, b, c, d , 立马知道选 C。当然 这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化” 分别用数字 1,4, , 2,3 代表 a, b, c, d , 容易知道选 C。也许你认为对策一的转化并不等价,是的, 但是作为选择题,可以事先把条件“ a, b, c, d ? R ”收严一些变为“ a, b, c, d ? R ” 。 【练习 5】 、已知 ? ? 0, 若函数 f ( x) ? sin 则 ? 的取值范围是(
2? A、 ? 0, ? ? ? 3? ?
?

?x
2

sin

? ??x
2

在 ?? ?

, 上单调递增, ? 4 3 ? ?

?? ?


2?

3? B、 ? 0, ? ?
1 2

C、 ? 0, 2?
?? ?

D、 ?2,???

(提示: 化简得 f ( x) ? sin ? x ,∵ sin x 在 ?? ? ∴ ? ? ?x ?
2

, 上递增, ? 2 2 ? ?

?

?
2

??

? ? ?? ? ?x? ,而 f ( x) 在 ?? ? 4 3 , ? 上单调递增 2? 2? ? ?

3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ?? , ? ? 0 ? ? ? 2 ,又 ? ? 0, ∴选 B) ? 4 3 ? ? 2? 2? ?
16

【练习 6】 、把 10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同盒子中, 使盒子里球的个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是( A、 C63 B、 C62 C、 C93 D、 C92
1 2



(提示:首先在编号为 1,2,3 的三个盒子中分别放入 0,1,2 个小球, 则余下的 7 个球只要用隔板法分成 3 堆即可,有 C62 种,选 B;如果你认为难以 想到在三个盒子中分别放入只 0,1,2 个小球,而更容易想到在三个盒子中分 别放入只 1,2,3 个小球,那也好办:你将余下的 4 个球加上虚拟的(或曰借 来的)3 个小球,在排成一列的 7 球 6 空中插入 2 块隔板,也与本问题等价。 ) 【练习 7】 、方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12 的正整数解的组数是( A、24 B、 72 C、144 D、165 )

(提示:问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆,故在排成一列的 12 球
3 11 空中插入 3 块隔板即可,答案为 C11 ? 165 ,选 D)

【练习 8】 、从 1,2,3,?,10 中每次取出 3 个互不相邻的数,共有的取 法数是( A、35 ) B、56 C、84 D、120

(提示:逆向思维,问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的 7 个数的 8 个空中,那么问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数,为
3 C8 ? 56 ,选 B)

【练习 9】(理科)已知 lim 、 x ?1 A、4 B、-5

ax 2 ? bx ? 1 ? 3 ,则 b = x ?1





C、-4

D、5

(提示:逆向思维,分母( x ? 1 )一定是存在于分子的一个因式,那么一 定 有 ax2 ? bx ?1 ? ( x ?1)(ax ?1) ? ax2 ? (1? a) x ?1 , ∴ 必 然 有 b ? ?(1 ? a) , 且
17

lim

ax 2 ? bx ? 1 ? lim(ax ? 1) ,∴ a ?1 ? 1 ? 3 ? a ? 4, ∴ b ? ?5 ,选 B) x ?1 x ?1 x ?1

【练习 10】 、异面直线 m, n 所成的角为 60? ,l2 过空间一点 O 的直线 l 与 m, n 所成的角等于 60? , 则这样的直线有( A、1 B、2 )条 C、3 D、4

l1

?

(提示:把异面直线 m, n 平移到过点 O 的位置,记他们所确定的平面为 ? ,则 问题等价于过点 O 有多少条直线与 m, n 所成的角等于 60? ,如图,恰有 3 条,选 C) 【 练 习 11 】 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 ? x ?1 ? x ? 2? , 那 么 不 等 式 、
2 a( x ? 1 )? b ( x? 1 ) ? ?c

的解集为( 2 x a

) D、 ? x x ? ?2, or x ? 1?

A、 ? x 0 ? x ? 3?

B、 ? x x ? 0, or x ? 3? C、 ? x ?2 ? x ? 1?

(提示:把不等式 a( x2 ?1) ? b( x ?1) ? c ? 2ax 化为 a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? c ? 0 ,其结构与 原不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 相同,则只须令 ?1 ? x ?1 ? 2 ,得 0 ? x ? 3 ,选 A) 五、巧用定义 定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【例题】 某销售公司完善管理机制以后, 、 其销售额每季度平均比上季度增 长 7%,那么经过 x 季度增长到原来的 y 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( )

18

A、

B、

C、

D、

1 【解析】 、由题设知, y ? (1 ? 0.07) x ,∵1 ?0.07 ? ,∴这是一个递增的指数函

数,其中 x ? 0 ,所以选 D。 【练习 1】 、已知对于任意 x, y ? R ,都有 f ( x ) ? f (y ) ? 2f (
f (0) ? 0 ,则 f (x) 是(
x? y x? y )f ( ),且 2 2

) C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数

A、奇函数

B、偶函数

(提示:令 y ? 0 ,则由 f (0) ? 0 得 f (0) ? 1 ;又令 y ? ? x ,代入条件式可得
f (? x) ? f ( x) ,因此 f (x) 是偶函数,选 B)

【练习 2】 、点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点,过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切, 则圆心 Q 的轨迹是( A、圆 B、椭圆 ) C、圆或线段 D、线段

(提示:设⊙P 的半径为 R,P、M 为两定点,那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆,选 B)

【练习 3】 、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1) ,F 为右焦点,椭圆上有 4 3

一点 M,使|MP|+2|MF|最小,则点 M 为( A、 (
2 6, ? 1) 3

) D、 (?

2 6, ? 1) 3 c 1 (提示:在椭圆中, a ? 2, b ? 3 ,则 c ? 1, e ? ? ,设点 M 到右准线的距离 a 2

B、 (1, ? )

3 2

C、 (1, ? )

3 2

为 |MN| , 则 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ,
| M P | 2 |M F | |M P | ? ? ?

| MF | 1 ? ?| MN |? 2 | MF | , 从 而 | MN | 2

|M N | ,这样,过点 P 作右准线的垂直射线与椭圆的交点即
19

为所求 M 点,知易 M (

2 6, ? 1) ,故选 A) 3

x2 y 2 【练习 4】 、设 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲 a b
???? 2 ? PF2 线右支上任意一点,若 ????? 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率 e 的取值范 PF1

围是(

) B、 (1,3] C、 ?3, ?? ? D、 ?1, 2?

A、[2,3]

???? 2 ? PF2 (2a ? PF1 ) 2 4a 2 4a 2 ? ? PF1 ? 4a ? 8a ,当且仅当 (提示: ????? ? ? PF1 ,即 PF1 PF1 PF1 PF1

PF ? 2 a, PF2 ? 4a 时取等于号,又 PF1 ? PF2 ? F1F2 ,得 6a ? 2c ,∴ 1 ? e ? 3 ,选 1

B)

【练习 5】 、已知 P 为抛物线 y2 ? 4x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d , 对于给定点 A(4,5) ,|PA|+d 的最小值是( A、4 B、 34 C、 17 ?1 D、 34 ?1 )

(提示: d 比 P 到准线的距离(即|PF|)少 1,∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而 A 点在抛物线外, ∴|PA|+d 的最小值为|AF|-1= 34 ?1 ,选 D) 【练习 6】 、函数 y ? f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) ? A、关于点(2, 3)对称 C、关于直线 y=3 对称 (提示:注意到 f ?1 ( x) ?
1? 2x ,则 y ? f ( x) 的图象( x?3

) 。

B、关于点(-2, -3)对称 D、关于直线 x = -2 对称

1? 2x 的图象是双曲线,其对称中心的横坐标是-3, x?3

由反函数的定义,知 y ? f ( x) 图象的对称中心的纵坐标是-3,∴只能选 B)
20

【 练 习 7 】 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 R 上 的 增 函 数 , 那 么 a ? b ? 0 是 、
f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 的(

)条件。 C、充要 D、不充分不必要

A、充分不必要

B、必要不充分

(提示:由条件以及函数单调性的定义,有
?a ? ?b ? f (a) ? f (?b) 而这个过程并不 a?b ? 0 ? ? ? f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) , ?b ? ?a ? f (a) ? f (?b)

可逆,因此选 A) 【练习 8】 、点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F1PF2 的外 角平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是( A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 )

(提示:如图,易知 PQ ? PF2 ,M 是 F2Q 的中点, ∴OM 是 FQ 的中位线,∴ MO ? F1Q ? ( F1P ? PQ) ? ( F1P ? F2 P) ,由椭圆的定 1 义知, F1P ? F2 P =定值,∴ MO ? 定值(椭圆的长半轴长 a) ,∴选 A) 【练习 9】 、在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的是双曲线,则m的取值范围是( A、 (0,1) B、 1, ? ? ) (
2 2

1 2

1 2

1 2

) C、 (0,5)
2

D、 (5, ? ? )

( x ? 2 y ? 3)2 (提示:方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 可变形为 m ? 2 2 ,即 x ? y ? 2 y ?1
1 ? 得 m x 2 ? ( y ? 1) 2 5 , ∴ ? x ? 2y ? 3 m

x 2 ? ( y ? 1) 2 , 这表示双曲线上一点 ( x, y ) 到定点 (0, x ? 2y ? 3 5

-1)与定直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离之比为常数 e ?

5 ,又由 e ? 1 ,得到 0 ? m ? 5 , m

∴选 C。若用特值代验,右边展开式含有 xy 项,你无法判断) 六、直觉判断
21

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式,逻辑思维严格遵守概念和逻 辑规则,而直觉思维不受固定的逻辑规则约束,直接领悟事物本质,大大节约 思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位,而直觉思维又是思维 中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此, 作为选拔人才的高考命题人,很自然要考虑对直觉思维的考查。 【例题】 、已知 sin x ? cos x ? , ? ? x ? 2? ,则 tan x 的值为( A、 ?
4 3 1 5



B、 ? 或 ?

4 3

3 4

C、 ?

3 4

D、

4 3

【解析】 、由题目中出现的数字 3、4、5 是勾股数以及 x 的范围,直接意识 到 sin x ? ? , cos x ? ,从而得到 tan x ? ? ,选 C 。 【练习 1】 、如图,已知一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三角形中, 问 x 取什么值时,内接正三角形的面积最小( A、
a 2

3 5

4 5

3 4



B、

a 3

C、

a 4

D、

3 a 2

(提示:显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小,选 A。 ) 【练习 2】(课本题改编)测量某个零件直径的尺寸,得到 10 个数据: 、
x1 , x2 , x3 ,? x10 , 如 果 用 x 作 为 该 零 件 直 径 的 近 似 值 , 当 x 取 什 么 值 时 ,

( x ? x1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ( x ? x3 )2 ? ?? ( x ? x10 )2 最小?(



A、 x1 ,因为第一次测量最可靠 C、
x1 ? x10 ,因为这两次测量最可靠 2

B、 x10 ,因为最后一次测量最可靠 D、
x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x10 10

(提示:若直觉好,直接选 D。若直觉欠好,可以用退化策略,取两个数 尝试便可以得到答案了。 ) 【练习 3】 、若 (1? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a7 x7 ,则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ??? | a7 |? ( )
22

A、-1

B、1

C、0

D、 37

(提示:直觉法,系数取绝对值以后,其和会相当大,选 D。或者退化判 断法将 7 次改为 1 次;还有一个绝妙的主意:干脆把问题转化为:已知
7 2 (1? 2x ) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? a x,求 a0 ? a1 ? a2 ?? ? a7 ,这与原问题完全等价,此 ? 7 7

时令 x ? 1 得解。 ) 【练习 4】 、已知 a、b 是不相等的两个正数,如果设 p ? (a ? )(b ? ) ,
q ? ( ab ?
a?b 2 2 1 2 ? ) ,那么数值最大的一个是( ) ,r ? ( 2 a?b ab

1 a

1 b



A、 p

B、 q

C、 r

D、与 a、b 的值有关。

(提示:显然 p、q、r 都趋向于正无穷大,无法比较大小,选 D。要注意, 这里似乎是考核均值不等式,其实根本不具备条件——缺乏定值条件! ) 【练习 5】(98 高考)向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果注水量 V 、 与水深 h 的函数关系如下列左图,那么水瓶的形状是( ) 。

O

A

B

C

D

(提示: 抓住特殊位置进行直觉思维, 可以取 OH 的中点, 当高 H 为一半时, 其体积过半,只有 B 符合,选 B)
23

【练习 6】(07 江西理 7 文 11)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自 、 不同的爱好选择了形状不同、 内空高度相等、 杯口半径相等的圆口酒杯, 如图, 盛满酒好他们约定:先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为
h1 , h2 , h3 , h4 , 则它们的大小关系正确的是(



A、 h2 ? h1 ? h4

B、 h1 ? h2 ? h3

C、 h3 ? h2 ? h4

D、 h2 ? h4 ? h1

(提示:选 A) 【练习 7】 、 年高考) (01 过点 A (1, 、(-1, 且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 -1) B 1) 上的圆的方程是( A、 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 C、 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ) B、 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 D、 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4

(提示:显然只有点(1,1)在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,选 C) 【练习 8】 、 全国理科) (97 函数 y ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小正周期是 ( A、
? 2
3

?



B、 ?

C、 2?

D、 4?

(提示: 因为总有 a sin ? x ? b cos ? x ? A sin(? x ? ? ) , 所以函数 y 的周期只与 ? 有关,这里 ? ? 2 ,所以选 B)
? x ? 0, ? 【练习 9】(97 年高考)不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( 、 ?3 ? x ? 2 ? x ?


24

A、 ?x | 0 ? x ? 2? C、 ? x | 0 ? x ? 6?

B、 ?x | 0 ? x ? 2.5? D、 ?x | 0 ? x ? 3?

(提示:直接解肯定是错误的策略;四个选项左端都是 0,只有右端的值 不同,在这四个值中会是哪一个呢?它必定是方程 证:2 不是,3 不是, 2.5 也不是,所以选 C)
3? x 3? x ?| | 的根! ,代入验 3? x 3? x

【练习 10】 、△ABC 中,cosAcosBcosC 的最大值是( A、
3 3 8



B、

1 8

C、1

D、

1 2

(提示:本题选自某一著名的数学期刊,作者提供了下列 “标准”解法, 特抄录如下供读者比较: 设 y=cosAcosBcosC,则 2y=[cos(A+B)+ cos(A-B)] cosC, ∴cos2C- cos (A-B) cosC+2y=0, 构造一元二次方程 x2- cos (A-B) x+2y=0, 则 cosC 是一元二次方程的根,由 cosC 是实数知:△= cos2(A-B)-8y≥0, 即 8y≤cos2(A-B)≤1,∴ y ? ,故应选 B。 这就是“经典”的小题大作!事实上,由于三个角 A、B、C 的地位完全平 等,直觉告诉我们:最大值必定在某一特殊角度取得,故只要令 A=B=C=60゜ 即得答案 B,这就是直觉法的威力,这也正是命题人的意图所在。 )
1 8

【练习 11】(07 浙江文 8)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 、 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为( A、0.216 B、0.36 ) C、0.432 D、0.648

(提示:先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概
25

1 率为 0.6×0.6=0.36,②甲:乙=2:1,其概率为 [C2 0.6? 0.4]? 0.6 ? 0.288,所以

甲获胜的概率为 0.36+0.288=0.648,选 D。 现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2 人获胜的概率之和为 1, 而甲获胜的概率比乙大,应该超过 0.5,只有选 D。 ) 【练习 12】 ns sc ? 2 ? ? 、i o ? A、1 B、2
?
4

,则 tan ? ? cot ? ? ( C、-1 D、-2



(提示:显然 ? ? 七、趋势判断

,选 B)

趋势判断法,包括极限判断法,连同估值法,大致可以归于直觉判断法一 类。具体来讲,顾名思义,趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果,要 求化静为动,在运动中寻找规律,因此是一种较高层次的思维方法。 【例题】(06 年全国卷Ⅰ,11)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm) 、 的 5 根细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角 形的最大面积为多少? A、8 5 cm2 B、6 10 cm2 C、3 55 cm2 D、20 cm2

【解析】 、此三角形的周长是定值 20,当其高或底趋向于零时其形状趋向 于一条直线,其面积趋向于零,可知,只有当三角形的形状趋向于最“饱满” 时也就是形状接近于正三角形时面积最大,故三边长应该为 7、7、6,因此易 知最大面积为 6 10 cm2,选 B。 ) 【练习 1】 、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是 ( ) A、 (
n?2 ? ,? ) n

B、 (

n ?1 ? ,? ) n

C、 (0, )
2

?

D、 (

n ? 2 n ?1 ?, ?) n n

(提示:进行极限分析,当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时,相邻
26

两侧面所成二面角 ? ? ? ,且 ? ? ? ;当锥体 h ? ?? 且底面正多边形相对固定不 变时,正 n 棱锥形状趋近于正 n 棱柱, ? ?
n?2 n?2 ? , 且? ? ? , 选 A) n n

【练习 2】 、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为 S,记 ? ? 则 ? 一定满足( A、 2 ? ? ? 4 ) B、 3 ? ? ? 4 C、 2.5 ? ? ? 4.5 D、 3.5 ? ? ? 5.5
对面

?S
i ?1

4

i

S



(提示:进行极限分析,当某一顶点 A 无限趋近于对面时,S=S

,不妨

设 S=S1,则 S2+S3+S4 ? S1 那么 ? ? 2 ,选项中只有 A 符合,选 A。当然,我们也 可以进行特殊化处理: 当四面体四个面的面积相等时,? ? 4 , 凭直觉知道选 A)

【练习 3】 、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ? ,侧面与底面 所成角为 ? ,则 2cos ? ? cos 2? 的值是( A、1 B、
1 2

) D、-1

C、0

(提示:进行极限分析,当四棱锥的高无限增大时, ? ? 90? , ? ? 90? , 那么
2cos ? ? cos 2? ? 2cos90? ? cos180? ? ?1 ,选 D)

【练习 4】 、在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 c-a 等 于 AC 边上的高,那么 sin A、1 B、
1 2 C?A C?A ? cos 的值是( 2 2 1 C、 D、-1 3



(提示:进行极限分析, ? ? 0? 时,点 C ? ? ,此时高 h ? 0, c ? a ,那么
? C ? 180? ,A ? 0 ,所以 sin

C?A C?A ? cos ? sin 90? ? cos 0? ? 1,选 A。 ) 2 2

【练习 5】 、若 0 ? ? ? ? ? ,sin ? ? cos ? ? a,sin ? ? cos ? ? b, 则(
4

?



A、 a ? b

B、 a ? b

C、 ab ? 1

D、 ab ? 2
27

(提示: 进行极限分析, ? ? 0 时,a ? 1 ; ? ? 当 当 选 A)

?
4

时, ? 2 , 从而 b ? a , b

【练习 6】 、双曲线 x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F, 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点,则直 线 PF 的斜率的变化范围是( A、 (??, 0) B、 (??, ?1) ? (1, ??) D、 (1, ??) )

C、 (??,0) ? (1, ??)

(提示:进行极限分析,当 P ? ? 时,PF 的斜率 k ? 0 ;当 PF ? x 时,斜率 不存在,即 k ? ?? 或 k ? ?? ;当 P 在无穷远处时,PF 的斜率 k ? 1 。选 C。 ) 【练习 7】(06 辽宁文 11)与方程 y ? e2 x ? 2ex ? 1( x ? 0) 的曲线关于直线 y ? x 、 对称的曲线方程为( A、 y ? ln(1 ? x ) C、 y ? ? ln(1 ? x ) ) B、 y ? ln(1 ? x ) D、 y ? ? ln(1 ? x )

(提示:用趋势判断法:显然已知曲线方程可以化为 y ? (ex ?1)2 ( x ? 0) ,是 个增函数。再令 x ? ??, 那么 y ? ??, 那么根据反函数的定义,在正确选项中当
y ? ?? 时应该有 x ? ??, 只有

A 符合。当然也可以用定义法解决,直接求出反

函数与选项比较之。 ) 【练习 8】 、若 sin ? ? cos ? ? 1 ,则对任意实数 n, sinn ? ? cosn ? ? ( A、1 B、区间(0,1) C、
1 2n?1



D、不能确定

(提示:用估值法,由条件 sin ? ? cos ? ? 1 完全可以估计到 sin ? ,cos? 中必定有 一个的值是 1,另一个等于 0,则选 A。另外,当 n=1,2 时,答案也是 1)
28

【练习 9】 、已知 c ? 1 ,且 x ? c ? 1? c , y ? c ? c ?1 ,则 x, y 之间的大小关 系是( ) B、 x ? y C、 x ? y D、与 c 的值有关

A、 x ? y

(提示:此题解法较多,如分子有理化法,代值验证法,单调性法,但是 用趋势判断法也不错:当 c ? 1 时, x ? 2 ?1 ;当 x ??? 时, x ? 0 ,可见函数
t ? 1 ? t 递减,∴选 B)

八、估值判断 有些问题, 属于比较大小或者确定位臵的问题, 我们只要对数值进行估算, 或者对位臵进行估计,就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。 【例题】 、已知 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根, x2 是方程 x ? 10x ? 3 的根,则 x1 ? x2 ? ( ) A、6 B、3 C、2 D、1

【解析】 、我们首先可以用图象法来解:如图,在同一 坐标系中作出四个函数, y ? 10x , y ? lg x , y ? 3 ? x ,
y ? x 的图象,设 y ? 3 ? x 与 y ? lg x 的图象交于点 A,其

横坐标为 x1 ; y ? 10x 与 y ? 3 ? x 的图象交于点 C,其横坐标 为 x2 ; y ? 3 ? x 与 y ? x 的图象交于点 B,其横坐标为 。因为 y ? 10x 与 y ? lg x 为 反函数,点 A 与点 B 关于直线 y ? x 对称,所以 x1 ? x2 ? 2× =3,选 B。 此属于数形结合法,也算不错,但非最好。现在用估计法来解它:因为 x1 是 方程 x ? lg x ? 3 的根,所以 2 ? x1 ? 3, x2 是方程 x ? 10x ? 3 的根,所以 0 ? x2 ? 1, 所以
2 ? x1 ? x2 ? 4, 选 B。
29

3 2

3 2

【练习 1】 、用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数, 其中偶数共有( A、24 个 ) B、30 个 C、40 个 D、60 个

( 提示:如果用直接法可以分两步:先排个位,在两个偶数中任取一个有
1 2 C2 种方法;第二步在剩下的 4 个数字中任取两个排在十位与百位有 A4 种,由 1 乘法原理,共有 C2 A42 =24 个,选 B。用估计法:五个数字可以组成 A53 ? 60 个三

位数,其中偶数不到一半,选 B。 ) 【练习 2】 农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成, 、 2003 年某地农 民人均收入为 3150 元,其中工资性收入为 1800 元,其它收入 1350 元。预计 该地区农民自 2004 年起工资性收入将以每年 6%的年增长率增长,其它收入每 年增加 160 元,根据以上数据,2008 年该地区农民人均收入介于( A、 (4200,4400) )元

B、 (4400,4600)C、 (4600,4800)D、 (4800,5000)

( 提 示 : 由 条 件 知 该 地 区 农 民 工 资 性 收 入 自 2004 年 起 构 成 以
a1 ? 1800, q ? 1 ? 6% 的 等 比 数 列 , 所 以

2008

年 工 资 性 收 入 为

a6 ? 1 8 0 0 ( 15 ?

0 . 0 6 ?) ?

? 1 8 0 0 元;其它收入构成以 1350 为首项,公 ? ? 1 5 0 . 0 6 ) ( 2 3 4 0

差为 160 的等差数列,所以所以 2008 年其它收入为 1350+160×5=2150 元, 所 以 2008 年该地区农民人均收入约为 2340+2150=4490 元,选 B。 ) 【练习 3】 、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的 一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( A、
16 ? 9



B、 ?

8 3

C、 4?

D、

64 ? 9

(提示:用估计法,设球半径 R,△ABC 外接圆半径为

r?

2 3 , 3
30

则 S 球= 4? R 2 ? 4? r 2 ?

16 ? ? 5? ,选 D) 3

【练习 4】 、如图,在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,
EF ? 3 ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则 2

该多面体的体积为( A、
9 2

) C、6 D、
15 2

B、5

(提示:该多面体的体积比较难求,可连接 BE、CF,问题转化为四棱锥 E-ABCD 与三棱锥 E-BCF 的体积之和,而 VE? ABCD =6,所以只能选 D) 【练习 5】 在直角坐标平面上, 、 已知 A -1, 、 3, , C 在直线 y ? 2 x ? 2 ( 0) B ( 0) 点 上,若∠ACB > 90? ,则点 C 的纵坐标的取值范围是( A、 (??, C、 (?
2 5 2 5 4 5 4 5 ,1 ? ) )?( , ??) B、 (1 ? 5 5 5 5



4 5 4 5 , 0) ? (0, ) 5 5

D、 (?

4 5 4 5 , ) 5 5

(提示: 如图, N 在直线 y ? 2 x ? 2 上, M、 且∠AMB=∠ANB= 90? , 要使∠ACB >
90? ,点

C 应该在 M、N 之间,故点 C 的纵坐标应该属于某一开区间,而点 C 的

纵坐标是可以为负值的,选 D)

【练习 6】 、已知三棱锥 P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是 60? ,底面三 角形三边长分别是 7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为( A、12 5 B、 24 5 C、 6 5 D、18 5 )

(提示: 你可以先求出 ? ABC 的面积为12 5 , 再利用射影面积公式求出侧面 面积为 24 5 ;你也可以先求出 ? ABC 的面积为12 5 ,之后求出 P 在底面的射影
31

到个侧面的距离,都是三棱锥 P-ABC 的高的一半,再利用等体积法求得结果, 但好象都不如用估值法:假设底面三角形三边长都是 8,则面积为
3 2 ? 8 ? 16 3 ,这个面积当然比原来大了一点点,再利用射影面积公式求出侧 4

面面积为 32 3 ,四个选项中只有 24 5 与之最接近,选 B) 【练习 7】(07 海南、宁夏理 11 文 12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某 、 次测试中个射箭 20 次,三人测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4

S1 , S2 , S3 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(



A、 S3 ? S1 ? S2

B、 S2 ? S1 ? S3

C、 S1 ? S2 ? S3

D、 S2 ? S3 ? S1

(提示:固然可以用直接法算出答案来,标准答案正是这样做的,但是显然时 间会花得多。你可以用估计法:他们的期望值相同,离开期望值比较近的数据 越多,则方差——等价于标准差会越小!所以选 B。这当然也可以看作是直觉 法)

【练习 8】(07 全国Ⅱ理 12)设 F 为抛物线 y2 ? 4x 的焦点,A、B、C 为该抛物 、 线上的三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC 等于( A、9 B、6 C、4 D、3
??? ??? ??? ? ? ? ?
??? ? ??? ? ??? ?



(提示:很明显(直觉)三点 A、B、C 在该抛物线上的图
32

形完全可能如右边所示(数形结合) ,可以估计(估值法) 到, FB ? FC 稍大于 MN (通径,长为 4) , ∴ FA ? FB ? FC ? 6 ,选 B。 当然也可以用定义法:由 FA ? FB ? FC ? 0 可知 xA ? xB ? xC ? 3 ,由抛物线定义 有 FA ? xA ? 1, FB ? xB ? 1, FC ? xC ? 1 ,所以 FA ? FB ? FC =6) 【练习 9】(07 福建理 12)如图,三行三列的方 、 个数 aij (i ? 1, 2,3, j ? 1, 2,3) ,从中任取三个数,则至 数位于同行或同列的概率是( )
? a11 ? ? a21 ?a ? 31 a12 a22 a32 a13 ? ? a23 ? a33 ? ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

阵中有 9 少有两个

A、

3 7

B、

4 7

C、

1 14

D、

13 14

(提示:用估值法, 至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也 不同列,这种情况仅有 6 种,在总共 C93 种取法数中所占比例很小,∴选 D) 【练习 10】 (07 湖北理 9)连续投掷两次骰子的点数为 m, n ,记向量 b=(m,n) 与向量 a=(1,-1)的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? ? 的概率是( ) ? ?
? 2?

A、

5 12

B、

1 2

C、

7 12

D、

5 6

(提示:用估值法,画个草图,立刻发现在
?AOB 范围内(含在

OB 上)的向量 b 的个数

超过一半些许,选 C,完全没有必要计算) 【练习 11】 (05 年四川)若 a ? A、 a ? b ? c ( 提 示: 注 意到 B、 c ? b ? a
ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( 2 3 5



C、 c ? a ? b

D、 b ? a ? c

ln 2 ln 4 ? , 可 知不 能 够用单 调 性法 去 判断。 问 题等 价 于 2 4

33

a?

lg 2 lg 3 lg 5 ,b ? ,c ? 的时候比较 a、b、c 的大小,∵lg2=0.3010,lg3=0.4771, 2 3 5

lg5=0.6990,∴ a=0.1505,b=0.1590, c=0.1398,选 B。 当然,直接用作差比较法也是可以的。 )

九、直接解答 并不是所有的选择题都要用间接法求解,一般来讲,高考卷的前 5、6 道选 择题本身就属于容易题,用直接法求解往往更容易;另外,有些选择题也许没 有间接解答的方法, 你别无选择; 或者虽然存在间接解法, 但你一下子找不到, 那么就必须果断地用直接解答的方法,以免欲速不达。当然要记得一个原则, 用直接法也要尽可能的优化你的思路,力争小题不大作。 【例题】 (07 重庆文 12)已知以 F1 (?2,0), F1 (2,0) 为焦点的椭圆与直线 、
x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(



A、 3 2

B、 2 6

C、 2 7

D、 4 2
x2 y2 ? 2 ? 1 ,与直线方程联立消 a2 a ? 4

【解析】 、设长轴长为 2a ,则椭圆方程为

去 x 得 (4a2 ?12) y2 ? 8 3(a2 ? 4) y ? (16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 ,由条件知 ? ? 0 ,即 , , 192(a2 ? 4)2 ?16(a2 ? 3)(16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 ,得 a ? 0 (舍) a ? 2 (舍) a ? 7 ∴ 2a ? 2 7 ,选 C 。 【练习 1】 、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如右,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009) =( ) A、0 B、 2 C、2+ 2 D、2- 2
T 2 2? ? ?x ? ,∴ f ( x) ? 2 sin , T 4 4

(提示:直接法。由图知,A=2, ? 6 ? 2 ? 4 ,? ?

由图象关于点(4,0)以及直线 x ? 2, x ? 4 对称知: f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? 0 ,由
34

2009=251×8+1 知, f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009) =0+ f (1) ? 2 sin = 2 ,选 B)
4

?

【练习 3】 、正方体 AC1 中,E 为棱 AB 的中点,则二面角 C- A1E -B 的正切值为 ( ) A、
5 2

B、 5

C、 3

D、2

(提示:用直接法。取 C1D1 的中点 F,连接 AF、CF、CE。过点 B 做 A1E 的延 长线的垂线于 M,连接 CM,由 CB ? 面 ABB1A1,得 CM ? AE,所以 ?CMB 就是二面 角 C-A1E-B 的平面角,现在设 CB=2,则 BM ? EB ?sin ?BEM ? 1? 中, tan ?CMB ?
CB ? 5 ,选 B) BM

2 ,在 Rt△CMB 5

x2 y 2 【练习 4】 、设 F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

的两个焦点,以 F1 为圆心,且过椭圆中心的圆与 椭圆的一个交点为 M,若直线 F2 M 与圆 F1 相切, 则该椭圆的离心率是( A、 2 ? 3 B、 3 ?1 ) C、
3 2

D、

2 2

(提示:用直接法。由已知可得 MF1 ? c ,又 MF1 ? MF2 ? 2a ,∴ MF2 ? 2a ? c ,
35

又 直 线 F2 M 与 圆 F1 相 切 , ∴ MF1 ? MF2 , ∴ M 12 ? M22F F ? ,解得 e ? c 2 ? ( 2a ? c2 ? ( 22 ) ) c

1

, F 22 F 即

c ? ?1 ? 3 ,∵ 0 ? e ? 1 ,∴ e ? 3 ?1 ,选 B) a

【练习 5】 、函数 f ( x) ? ax3 ? (a ?1) x2 ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对 称,则 f ( x) 在[-4,4]上的单调性是( A、增函数 C、减函数 )

B、 在[-4,0]上是增函数, [0,4]上是减函数 D、 在[-4,0]上是减函数, [0,4]上是增函数

(提示: f ( x) 的图象关于原点成中心对称, f ( x) 为奇函数,∴ a ? 1, b ? 0 , ∴ f ( x) ? x3 ? 48x ,易知 x ???4, 4? 上 f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 递减,选 B) 【 练 习 6 】、 ( x2 ? x ?1 x ?2) 8 ? a 0 a(1x ?1 ? a( 2x ?) ? ?a (10x?) )( ? ) 1 2 ? 1 =( a1 ? a2 ? ? ? a1 0 A、-3 ) B、3 C、2 D、-2
1 0

, 则

(提示:令 x ? 1 得 a0 ? 3 ,令 x ? 2 可得 a1 ? a2 ? ?? a10 ? ?a0 ? ?3 ,选 A) 【练习 7】(06 重庆文 10)若 ? , ? ?(0, ) , cos(? ? ) ? 、
2

?

?

2

? 1 3 ,sin( ? ? ) ? ? , 2 2 2

则 cos(? ? ? ) ? ( A、 ?
3 2

) B、 ?
?
1 2

C、
?

1 2

D、
?

3 2

(提示:∵ ? , ? ? (0, ) ,∴ ? ? ? ?
2 4 2 3

?
2

?
4

,∴ ? ?

?
2

??

?
6

;同理 ? ? ? ? ,
2 6

?

?

∴ ? ? ? ? 0 (舍)或 ? ? ? ? ? ,所以选 B) 【练习 8】(06 全国Ⅰ理 8)抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距 、 离的最小值是( ) A、
4 3

B、

7 5

C、

8 5

D、3

(提示:设直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 与 y ? ? x2 相切,则联立方程知 3x2 ? 4x ? m ? 0 ,

36

令 ? ? 0 ,有 m ? ,∴两平行线之间的距离 d ?

4 3

4 ?8 ? (? ) 3 3 ?4
2 2

?

4 ,选 A) 3

【练习 9】(06 山东理 8)设 p : x2 ? x ? 20 ? 0, q : 、 A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件

1 ? x2 ? 0, 则 p 是 q 的( x ?2



D、既不充分也不必要条件

(提示:分别解出 p: x ? 5 或 x ? ?4 ;q: ?1 ? x ? 1 或 x ? ?2 或 x ? 2 ,则显然 p 是 q 的充分不必要条件,选 A。另外,建议解出 p 以后不要再解 q,以 p 中 的特殊值代入即可作出判断)

【练习 10】(广东 05 理 10)已知数列 ?xn ? 满足 x2 ? 、
n ? 3, 4,? ,若 lim xn ? 2 ,则 x1 =(
n ???

x1 1 , xn ? ( xn ?1 ? xn ?2 ) , 2 2

) D、5

A、

3 2

B、3
1 2

C、4

( 提 示 : 由 条 件 xn ? ( xn ?1 ? xn ?2 ) 有 2xn ? xn?1 ? xn?2 ? xn ? xn?1 ? xn?2 ? xn , ∴
x3 ? x2 ? x1 ? x, x4 ? x3 ? x2 ? x,? xn?1 ? xn?2 ? xn?3 ? xn?,1 xn ? xn?1 ? xn?2 ? xn , 累 加 得 3 4 xn ? x2 ? x1 ? x2 ? xn ? xn?1 ,代入 x2 ?
n ?? n ?? n ??

x1 得 2xn ? xn?1 ? 2x1 ,两边同取极限得, 2

lim 2 xn ? lim xn ?1 ? lim 2 x1 ,即 2 ? 2 ? 2 ? 2 x1 ? x1 ? 3 ,选 B)

十、现场操作 又叫做原始操作法, 有别于直接法, 是指通过现场可以利用的实物如三 一 角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案 的方法;二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤,从而发现规律,归 纳出答案的方法。
37

【例题】(据 93 年全国高考题改编)如图 ABCD 、 是正方形,E 是 AB 的中点,将△DAE 和△CBE 分别 沿虚线 DE 和 CE 折起,使 AE 和 BE 重合于 P,则面 PCD 和面 ECD 所成的二面角为( A、 15 C、 45 B、30 D、60 )度。

【解析】 、你当然可以用三垂线定理来解,但不如现场操作更快:用正方形 纸片折叠出三棱锥 E-PCD,不难看出 PE⊥面 PCD,设二面角大小为 ? ,则由射
3 DC 2 S?PCD 3 4 影面积公式有 cos ? ? , ? ? 30? ,选 B。 ? ? 1 S?ECD 2 DC 2 2

【练习 1】已知 ( 2 ?1)n ? 2an ? bn (n ? N? ) ,则 bn 的值(



A、必为奇数 B、必为偶数 C、与 n 的奇偶性相反 D、与 n 的奇偶性相同

(提示:原始操作:令 n=1、2,再结合逻辑排除法,知选 A;也可以展开 看)

3 2 【练习 2】 如果 f ( x) 的定义域为 R, f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , f)( g ?l 且 1lg f (2) ? lg3 ? lg5 ,则 f (2008) =(

?



) D、-lg3-lg5

A、1

B、-1

C、 l g 2 ? l g 3

(提示:2008 是个很大的数,所以立即意识到这应该是一个周期函数的问 题! 关键是求出周期值。 现在进行现场操作: (1) f =lg3-lg2,(2) f =lg3+lg5, f(3)=f(2)-f(1)=?=1,f(4)= f(3)-f(2)=?lg2-lg3,f(5)= f (4)- f(3)=?-lg5-lg3,f(6)=f(5)- f(4)=?-1,f(7)=f(6)38

f(5)=?lg3-lg2= f(1) ,所以周期是 6。 f (2008) =f(334×6+4)= f(4)= lg2-lg3,选 C。当然你如果演算能力好,可以这样做:
f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x)

=

? f ( x ?1) ? ?? f ( x ? 2) ? f ( x ? 3)?

=

?? f ( x ? 3) ? f ( x ? 4) ? f ( x ? 3)? ? f ( x ? 4) ,所以周期是 6。其实凡属于抽象函数、抽

象数列、抽象不等式问题,解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已) 【练习 3】 、如图所示是某城市的网格状道路,中 间是公园,公园四周有路,园内无公路。某人驾车从 城市的西南角的 A 处要到达东北角的 A 处,最短的 路径有多少条?(据加拿大数学竞赛题改编) A、210 B、110 C、24 D、206

(提示:原始操作:先假设已经到达了与 B 共线的各交叉点,标注上此时 的走法数(都是 1) ;再退回至离 B 最近的对角顶点处,标注上此时的走法数 是 2;??,这样步步回退,直到 A 处,就知道答案了!这有点类似于杨晖三
6 角的规律。当然也可以用公式法:先求出没有公园时的走法数 C10 ,再求出经 6 过公园中心的走法数 C53 ? C53 ,所以答案是 C10 - C53 ? C53 =110,选 B)

【练习 4】 、如上图所示是一个长方体 骨架,一只蚂蚁在点 M 处得到信息:N 处 有糖!为了尽快沿着骨架爬行到 N 处,该 蚂蚁可走的最短路径有( A、10 条 B、20 C、30 ) D、40

(提示:原始操作:假设从点 N 处逆着 往点 M 方向退回来,则在所经过的交点处的 走法数都容易写出,如图。所以从点 M 处出
39

发时一共有 4+4+12=20 种走法。选 B)

【练习 5】 、有编号为 1、2、3、4 的四个小球放入有同样编号的四个盒子 中,每盒一球,则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有( A、9 B、16 C、25 D、36 )

(提示:这道高考题是典型错位排列问题,思维清晰的时候,你可能这样 考虑:完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球,应该用乘法原理,1 号盒 可以选 2、3、4 号球,有 3 种选择;2 号盒可以选 1、3、4 号球,也有 3 种选 择;此时 3、4 号盒都只有唯一选择,3×3×1×1=9,因此答案是 9。也可用 现场操作之法破解,如图,每一列对应一种放法,一共有 9 种,选 A)

球的编号 1 号盒 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2 号盒 1 3 4 1 4 4 3 3 1 3 号盒 4 4 1 4 1 2 1 2 2 4 号盒 3 1 3 2 2 1 2 1 3

【练习 6】 、如图 A、B、C 是固定在桌面上的三根立柱,其中 A 柱上有三个 大小不同的圆片,下面的直径总比上面的大,现将三个圆片移动到 B 柱上,要 求每次只移动一片(叫移动一次) ,被移动的圆片只能放入 A、B、C 三个柱子 之一,且大圆片不能叠在小圆片的上面,那么完成这件事情至少要移动的次数 是( ) A、3 B、5 C、7 D、9
40

(提示:现场操作,选 C)

【练习 7】 、如左图,正方体容器 AC ' 中,棱长为 1,E,F 分别是所在棱的 中点,G 是面 ABB' A' 的中心,在 E、F、G 三处各开有一小孔,则最大盛水量是 ( ) A、
5 6

B、

6 7

C、

7 8

D、

11 12

(提示:你可以看着图现场想象一下,怎样才能使盛水量最大呢?你首先 难免考虑由 E、F、G 确定一个水平面,如中图,经计算发现盛水量是 ,此时 DD/着地;难道不考虑只有点 D 着地的情形吗??使水平面如右图那样呢?计 算得盛水量是
11 ,原来点 F 并不在水平面内!选 D) 12 7 8

【练习 8】 、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是 a,现用一张正方形的包装 纸将其完成包住(不能裁剪但可以折叠) ,那么包装纸的边长最小应该是 ( )
41

A、 ( 2 ? 6)a C、 (1? 3)a

B、 D、

2? 6 a 2 1? 3 a 2
P1

P2

P3

(提示:现场用纸做一个正四棱锥,
P4

先如图放样,其实不待你做成就知 道思路了——这已经相当于把正四 棱锥展开了,那么包装纸的边长就是正方形 PP2 P3 P4 的边长,选 B) 1 【练习 9】 、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是 ? 和 ? ,则 ? ? ? 的范 围是( A、 (0, ]
2

) B、 ( , ? )
2

?

?

? C、 ?0, ? ? ?
? 2?

?? D、 ?0, ? ?
? 2?

(提示:你可以拿一本书竖立在桌面上,拿一支笔代表直线去比划,会发现当
? , ? 中有一个角等于
? ? 的时候,另一个角等于 0, ? ? ? 可以取到 ;当直线与 2 2

二面角的棱重合时, ? ? ? 可以取到 0,所以选 C)

【练习 10】(05 全国)不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的 、 平面共有( A、3 )个。 B、4 C、6 D、7

(提示: 先画一个三棱锥, 然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间, 发现四个顶点有被平面分成 2+2 或者 1+3 两类情形,分别有 3,4 种可能,如 图。选 D)

42

【练习 11】(07 高考模拟)若一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 、 a3 <a2,则称这样的三位数为凸数(如 343、275、120 等) ,那么所有凸数个 数为( A.240 ) B.204 C.729 D.920

( 提示:进行原始操作以发现规律:第二位数字不可能为 1,若为 2,则 左边有 1,右边有 0、1 可选,此时有 1×2 个凸数;若为 3,则左边有 1、2, 右边有 0、1、2 可选,此时有 2×3 个凸数;若为 4,则左边有 1、2、3,右边 有 0、1、2、3 可选,此时有 3×4 个凸数;??若为 9,则??此时有 8×9 个凸数,所以一共有 1×2+2×3+3×4+??+8×9=240 个凸数,选 A) 结 语

以上就 10 类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述, 凡所选用之 115 道例题和习题,基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大 者,意在解放思想,开阔视野,提高能力,服务读者。需要说明的是,以上各 种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的, 因此分类方面也只能是相对 合理,不能穷究。事实上,在分别熟悉以上方法以后,学生要学会联合采用多 种方法协同作战,以期收到最大实效。下面以一首小诗总结全文—— 人生选择,选择人生,用兵之道,奇正相生,数学解题,其理相同。迂回 曲径,直捣黄龙,审时度势,天佑功成。

43


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