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2018版高考数学(理)(人教)复习 -第八章-立体几何与空间向量8.7_图文

§8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 课时作业 深度剖析 基础知识 自主学习 知识梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一 非零 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量, ? n· a =0 , n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 ? ? ? b=0. ?n · 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)? v1∥v2 . (2) 设直线l 的方向向量为 v ,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2 ,则 l∥α或l?α? 存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2 . (3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l?α? v⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β? u1 ∥u2 . 3.用向量证明空间中的垂直关系 v2 =0 . (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2? v1⊥v2 ? v1· (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α? v∥u . u2=0 . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β? u1⊥u2 ? u1· 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ ) (5)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.( × ) (6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × ) 考点自测 1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是 A.(-1,1,1) 3 3 3 C.(- 3 ,- 3 ,- 3 ) 答案 解析 B.(1,-1,1) 3 3 3 D.( 3 , 3 ,- 3 ) 2.直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则 有 答案 解析 A.l∥α B.l⊥α C.l与α斜交 由a=-n知,n∥a,则有l⊥α,故选B. D.l?α或l∥α 3. 平面 α 的法向量为 (1,2 ,- 2) ,平面 β 的法向量为 ( - 2 ,- 4 , k) ,若 α∥β,则k等于 答案 A.2 B.-4 解析 C.4 D.-2 ∵α∥β,∴两平面法向量平行, -2 -4 k ∴ 1 = 2 = ,∴k=4. -2 4.(教材改编)设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3, α⊥β ;当v=(4,-4,-10)时,α与 -2,2)时,α与β的位置关系为________ α∥β β的位置关系为________. 答案 解析 当v=(3,-2,2)时,u· v=(-2,2,5)· (3,-2,2)=0?α⊥β. 当v=(4,-4,-10)时,v=-2u?α∥β. 5.(教材改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, O 是底面正方形 ABCD 的中心, M 是 D1D 的中点, N 是 垂直 A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________. 答案 解析 → → → 以 A 为原点, 分别以AB, AD, AA1所在直线为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1, 1 1 1 1 则 A(0,0,0),M(0,1,2),O(2,2,0),N(2,0,1), 1 1 → → AM· ON=(0,1,2)· (0,-2,1)=0,∴ON 与 AM 垂直. 题型分类 深度剖析 题型一 利用空间向量证明平行问题 例1 (2016· 重 庆 模 拟 ) 如 图 所 示 , 平 面 PAD⊥ 平 面 ABCD, ABCD为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA = AD = 2 , E , F , G 分别是线段 PA , PD , CD 的中点 . 求证:PB∥平面EFG. 证明 引申探究 本例中条件不变,证明平面EFG∥平面PBC. 证明 → → ∵EF=(0,1,0),BC=(0,2,0), → → ∴BC=2EF,∴BC∥EF. 又∵EF?平面PBC,BC?平面PBC, ∴EF∥平面PBC, 同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF=F,EF?平面EFG,GF?平面EFG, ∴平面EFG∥平面PBC. 思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运 用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的 数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面, 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线 在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 跟踪训练1 (2016· 北京海淀区模拟 )正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N 证明 分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD. 题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直 例2 如图所示,正三棱柱 ( 底面为正三角形的直三棱柱 )ABC—A1B1C1 证明 的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD. 命题点2 证面面垂直 例3 (2017· 武汉月考 ) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD⊥ 底面 2 ABCD,且PA=PD= AD,设E,F分别为PC,BD 2 的中

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