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高中计数原理复习_图文

第一节
基础梳理

两个基本计数原理

1. 分类计数原理(加法原理)
完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法,…,在第n类方式中有mn种

不同的方法,那么完成这件事共有N= m1 ? m2 ? ... ? mn 种不同
的方法. 2. 分步计数原理(乘法原理)

完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,
做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有

N=

m1 ? m2 ? ...? mn

种不同的方法.

第二节
基础梳理
排列与排列数

排列组合
组合与组合数

定 义

1. 排列的概念:从n个不同的元素中取 1. 组合的概念:一般地, 出m(m≤n)个元 从n个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列 素, ,叫做从n m(m≤n)个不同元 个不同元素中取出m个元素的一个排列. 素 并成一组 ,叫做从n个 2. 排列数的概念:从n个不同元素中取 不同元素中取出m个不同元 素的一个组合. 出m(m≤n)个元素 的 所有排列的个数 ,叫做从n个不 2. 组合数的概念:从n个不 同元素中取出m个元素的排列数,用符 同元素中取出m(m≤n)个元 号Amn表示. 素的 所有组合的个数 , 3. n个不同元素全部取出的一个排列, 叫做从n个不同元素中取出m 叫做n个不同元素的一个全排列,即 , 个元素的组合数,用符号Cmn n n 表示. A A 阶乘 nn的 n 称为 ,通常用 n!表示.

典例分析
题型一 排除法

【例1】从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同
的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有种.

分析 逆向思考,“这3人中至少有1名女生”的否定为“这 3人中没有女生”.
3 3 ,合 种,减去只选派男生的方案数 A4 A7 3 3 理的选派方案共有 A7 - A4 =186(种).

解 全部方案有

学后反思 关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便.
即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数.同时要注意: “至少一个”的否定为“一个没有”;

“至多一个”的否定为“至少两个”;
“至少N个”的否定为“至多N-1个”; “至多N个”的否定为“至少N+1个”.

举一反三
1. (2009· 全国Ⅱ改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门, 则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种.
2 2 2 解析: 间接法:C4 ? C4 ? C4 ? 30 (种).

答案: 30

题型二

基本排列问题

【例2】从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、

文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则
不同的选法共有种(用数字作答). 分析 先选甲、乙以外的人担任文娱委员,然后再选其他委员. 解先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任 学习委员和体育委员, A1 A2 =3×4×3=36(种).
3 4

学后反思 解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排
列问题,主要方法是将这些特殊元素排在其他位置,或将 其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决.

举一反三
2. (2008· 全国改编)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现

有4种不同的花供选种,要求在每块地里种1种花,且相邻的2
块种不同的花,则不同的种法总数为 .

N ? (r ?1)n ? (r ?1)(?1) n
r为颜色数,n为环分成的块数,N为涂色方法数 此题代公式解决为:N=3^4+3=84种
2 种种法;种三种花有2 3 种 解析: 分三类:种两种花有2 C4 A4 4 种种法.共有 2 +2 3 + 4 =84(种). 种法;种四种花有 A4 A4 A4 A4

答案: 84

题型三

有限制条件的排列

【例3】有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形 各有多少种不同的排法?

(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男、女生分别排在一起; (4)男女相间. 分析 这是一个排列问题,一般情况下,我们会从受到限制的

特殊元素开始考虑,有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题,
常用“捆绑法”;对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元 素后考虑);对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接

法”或“排除法”(特殊元素先考虑).

解 (1)方法一(元素分析法):先排甲有6种,其余有A88种,
故共有6
8 920(种)排法. =241 A8

3 方法二(位置分析法):中间和两端有 A8 种排法,包括甲在内
6 的其余6人有 A6 种排法,故共有 A83 ? A6 =336×720=241920(种)排

6

法.
9 -3 8 =6 8 =241920(种). 方法三(间接法): A9 A8 A8 2 7 (2)先排甲、乙,再排其余7人,共有 A2 A7 =10 080(种)排法.

2 4 5 (3)(捆绑法)A2 A4 A5 =5 760(种).
4 (4)(插空法)先排4名男生有 A4 (种)方法,再将5名女生插空,

有A55种方法,故共有

4 880 5 =2 (种)排法. A4 A5

学后反思 本题集排列的多种类型于一题,充分体现了元素分 析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位 置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、插空 法等常见的解题思路.

举一反三
3. (2007· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人

参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共
有种.

2 解析: 星期五有2人参加,则从5人中选2人的组合数为 C5 ,

星期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列,有 共有 C 2 ? A2 =60(种).
5 3

A32

种,则

答案: 60 题型四 基本组合问题

【例4】(14分)有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1名参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

分析 (1)分步.(2)可分类也可用间接法.(3)可分类也
可用间接法.(4)分类.
3 解 (1)第一步:选3名男运动员,有 C6 种选法.
2 种选法. 第二步:选2名女运动员,有 C4

共有 C 3 ? C 4 =120(种)选法………………………………3′
6 6

(2)方法一:“至少有1名女运动员”包括以下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为:
1 4 2 3 3 2 4 1 C4 C6 ? C4 C6 ? C4 C6 ? C4 C6 ? 264 (种)………………..6′

方法二:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.

5 从10人中任选5人有 C 5 种选法,其中全是男运动员的选法有C6

10

种……………………………………………………………..4′ 所以“至少有1名女运动员”的选法为
5 =246(种)………………………………………..6′ C C 6
5 10

(3)方法一(可分类求解): “只有男队长”的选法为 C84 为 ………8′

C8 ;“只有女队长”的选法
3 C8

4

“男、女队长都入选”的选法为 C84 C83 所以共有2 + 方法二(间接法): 从10人中任选5人有
5 5 其中不选队长的方法有 C10 C8

.

=196(种)选法…………………………..10′
5 C10 5 种选法 …………………………….8′ C 8

种.所以“至少有1名队长”的选法



-

=196(种)…………………………………………10′

4 (4)当有女队长时,其他人选任意,共有 C9 种选法.不选 4 女队长时,必选男队长,共有 C8 种选法.其中不含女运动员

的选法有 C 4 种,所以不选女队长时的选法共有
5

C

4 8

C
+

4 种选法………………………………………13′ 5

所以既有队长又有女运动员的选法共有

C94

C84 - C54

=191(种)…………………………14′

学后反思 解组合题时,常遇到至多、至少问题,可用直

接法分类求解,也可用间接法求解以减少运算量.当限制条
件较多时,要恰当分类,逐一满足.

举一反三
4. (2009· 辽宁改编)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组 成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队 方案共有种.
1 2 解析: 直接法:一男两女,有 C5 C4 =5×6=30(种);两男 2 1 一女,有 C5 C4 =10×4=40(种),共计70种.

间接法:任意选取C39=84(种),其中都是男医生
3 3 有C5 =10(种),都是女医生有 C4 =4(种),于是符合条

件的有84-10-4=70(种). 答案: 70

易错警示
【例】有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球,排成一 排,共有多少种不同的排列方法? 错解
8 A 因为是8个小球的全排列,所以共有 8

种方法.

错解分析 错解中没有考虑3个红色小球是完全相同的,5个白 色小球也是完全相同的,同色球之间互换位置是同一种排法. 正解 8个小球排好后对应着8个位置,题中的排法相当于

在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,由
于这3个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样 共有 C 3 =56(种)排法.
8

考点演练
10. (2009· 湖北改编)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同

的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到
同一个班,求不同分法的种数.

解析: 用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班
2 的种数是 C4 3 A3

,顺序有

种,而甲、乙被分在同一个班有A33种,所以不

同分法有C 2 A3 ? A3 ? 30 (种). 4 3 3

11. (1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本, 共有多少种不同的送法? (2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有 多少种不同的送法? 解析: (1)从5本不同书中选出3本分别是送给3名同学,对应 于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同的送法的 种数是
3 A5

=5×4×3=60.

(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5种不同的选 购方法,因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是 5×5×5=125.

12. 某学习小组有8个同学,从男生中选2人,女生中选1人参 加数学、物理、化学三种竞赛,要求每科均有1人参加,共有

180种不同的选法,那么该小组中男、女同学各有多少人?
解析: 设男生有x人,则女生有8-x人,依题意,
2 1 3 Cx ? C8 ? A ?x 3 ? 180



x ? x ? 1? ? ? 8 ? x ? ? 6 ? 180 ,即 x3 ? 9 x 2 ? 8 x ? 60 ? 0 , 2 x3 ? 5 x 2 ? 4 x 2 ? 20 x ? 12 x ? 60 ? 0,

∴ ∴

? ? ? x ? 5? ? x ? 4 x ? 12 ? ? 0
2

?

?

,即(x-5)(x-6)(x+2)=0,

x1 ? 5 , x2 ? 6

, x3 ? ?2(舍去).

故男生有5人,女生有3人,或男生有6人,女生有2人.


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