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2018-2019学年最新高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案:第二讲第3节直线的参数方程-含答案


第 2 课时

双曲线、抛物线的参数方程

1.双曲线的参数方程
? ?x=asecφ , x2 y2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是? ,规定参 a b ?y=btan φ ?

π 3π 数 φ 的取值范围为φ ∈[0,2π )且 φ≠ ,φ ≠ . 2 2
? ?x=btan φ , y2 x2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是? . a b ? ?y=asecφ

2.抛物线的参数方程
?x=2pt2, ? (1)抛物线 y =2px 的参数方程为? ,t∈R. ?y=2pt ?
2

(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. [问题思考] 1.在双曲线的参数方程中,φ 的几何意义是什么? 提示: 参数 φ 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转角(称为点 M 的离心角), 而不是 OM 的旋转角. 2.如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置? 提示:如果 x 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 x 轴上; 如果 y 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 y 轴上.

?x=tan α , 3.若抛物线的参数方程表示为? 则参数 α 的几何意义是什么? 2p ?y=tan α .
2

2p

提示:参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M,以射线 OM 为终边的角.

在双曲线 x2-y2=1 上求一点 P,使 P 到直线 y=x 的距离为 2. [精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用,解答本题需要先求出双曲线的参数方 程,设出 P 点的坐标,建立方程求解. |secφ-tan φ| = 2 2

设 P 的坐标为(secφ,tan φ),由 P 到直线 x-y=0 的距离为 2得 sin φ 1 得| - |=2,|1-sin φ|=2|cos φ| cos φ cos φ 平方得 1-2sin φ+sin 2φ=4(1-sin 2φ), 即 5sin 2φ-2sin φ-3=0. 3 解得 sin φ=1 或 sin φ=- . 5 sin φ=1 时,cos φ=0(舍去). 3 4 sin φ=- 时,cos φ=± . 5 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为( ,- )或(- , ). 4 4 4 4 ————— —————————————

参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的, 因而曲线的参数方程具有消元的作 用,利用它可以简化某些问题的求解过程,特别是涉及到最值、定值等问题的计算时,用参 数方程可将代数问题转化为三角问题,然后利用三角知识处理.

1.求证:等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点. 证明:设双曲线为 x2-y2=a2,取顶点 A(a,0), 弦 B′B∥Ox,B(asec α,atan α),则 B′(-asec α,atan α). ∵kB′A= atan α ,kBA= , -asec α-a asec α-a atan α

∴kB′A·kBA=-1. ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.

连接原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明它是何曲线. [精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用.解答本题需要先求出抛物线 的参数方程并表示出 M、P 的坐标,然后借助中点坐标公式求解. 设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在抛物线的延长线上,且 M 为线段 OP 的中点,

? ? ?x=2t, ?x0=4t, 抛物线的参数方程为? 由中点坐标公式得? 2 2 ? ? ?y=2t , ?y0=4t ,
1 2 变形为 y0= x0 ,即 x2=4y.表示的为抛物线. 4 ————— —————————————

在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时, 常根据需要引入一个中间变量即参数 (将 x,y 表示成关于参数的函数),然后消去参数得普通方程.这种方法是参数法,而涉及 曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标

?x=2t2, ? 2.已知抛物线 C:? (t 为参数),设 O 为坐标原点,点 M 在抛物线 C 上,且点 ?y=2t ?

M 的纵坐标为 2,求点 M 到抛物线焦点的距离.

?x=2t2, ? 解:由? 得 y2=2x, ?y=2t ?
即抛物线的标准方程为 y2=2x. 又∵M 点的纵坐标为 2, ∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2). 1 又∵抛物线的准线方程为 x=- . 2 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|=2-(- )=2+ = . 2 2 2

5 即点 M 到抛物线焦点的距离为 . 2

?x=4secθ , ? 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线? (θ 为参数)的右顶点和右 ?y=3tan θ ?

焦点,求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离. [精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程,解答本题需要先将双曲线化为普通方 程并求得渐近线方程,然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可. x2 y2 ∵ - =1, 16 9 ∴右焦点(5,0),右顶点(4,0). x2 y2 设椭圆 2+ 2=1,∴a=5,c=4,b=3. a b x2 y2 ∴方程为 + =1. 25 9 设椭圆上一点 P(5cos θ,3sin θ), 双曲线一渐近线为 3x-4y=0, |3×5cos θ-12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d= 5 3| 41sin (θ-φ)| 5 (tan φ= ). 5 4 3 41 . 5 —————————————



∴dmax=

—————

对于同一个方程,确定的参数不同, 所表示的曲线就不同,当题目条件中出现多个字 母时,一定要注明什么是参数,什么是常量,这一点尤其重要.

5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ , 3 . ( 广东高考 ) 已知两曲线参数方程分别为 ? (0≤ θ ≤ π ) 和 ? ?y=sin θ ? ?y=t (t∈R),它们的交点坐标为______________.

? ?x= 5cos θ, x2 解析:由? (0≤θ≤π)得 +y2=1(y≥0), 5 ? ?y=sin θ
52 ? ?x=4t , 5 由? (t∈R)得 x= y2. 4 ? ?y=t x2 2 +y =1, 5 联立方程可得 则 5y4+16y2-16=0, 5 x= y2 4

? ? ?

4 5 解得 y2= 或 y2=-4(舍去),则 x= y2=1. 5 4 2 5 又 y≥0,所以其交点坐标为(1, ). 5 2 5 答案:(1, ) 5

本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化. 天津高考以抛物线的参 数方程为载体考查抛物线定义的应用,属低档题. [考题印证]
?x=2pt2, ? (天津高考)已知抛物线的参数方程为? (t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线为 ?y=2pt, ?

l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线, 垂足为 E.若|EF|=|MF|, 点 M 的横坐标是 3, 则 p=________. [命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用. p p [解析] 由题意知,抛物线的普通方程为 y2=2px(p>0),焦点 F( ,0),准线 x=- , 2 2 设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|, 所以△MEF 是正三角形, 在 Rt△EFA p 中,|EF|=2|FA|,即 3+ =2p,得 p=2. 2 答案:2

一、选择题

1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是(
?x=|t|, ? A.? ? ?y=t ?x=cos t, ? B.? 2 ? ?y=cos t

)

x=tan t, ? ? C.? 1+cos 2t y= ? ? 1-cos 2t

x=tan t, ? ? D.? 1-cos 2t y= ? ? 1+cos 2t

解析:选 D 注意参数范围,可利用排除法.普通方程 x2-y=0 中的 x∈R,y≥0.A 中 2cos2t 1 1 x=|t|≥0,B 中 x=cos t∈[-1,1],故排除 A 和 B.而 C 中 y= =cot2t= 2 = 2,即 x2y 2sin2t tan t x =1,故排除 C.

?x= 3sec θ , 2.下列双曲线中,与双曲线? (θ 为参数)的离心率和渐近线都相同的是 ?y=tan θ
( ) y2 x2 A. - =1 3 9 y2 C. -x2=1 3 y2 x2 B. - =-1 3 9 y2 D. -x2=-1 3

3(sin 2θ+cos2θ) 3 解析:选 B 由 x= 3sec θ得,x2= 2 = cos θ cos2θ =3tan 2θ+3, 又∵y=tan θ, x2 ∴x2=3y2+3,即 -y2=1. 3 经验证可知,选项 B 合适.
?x=2t2, ? 3.过点 M(2,4)且与抛物线? 只有一个公共点的直线有( ?y=4t ?

)条(

)

A.0 C.2

B.1 D.3

?x=2t2 ? 解析:选 C 由? 得 y2=8x. ? ?y=4t
∴点 M(2,4)在抛物线上.

∴过点 M(2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有 2 条.
?x=2t-2 t, ? 4.方程? (t 为参数)表示的曲线是( -t t ? ?y=2 +2


)

A.双曲线 C.双曲线下支

B.双曲线的上支 D.圆

解析:选 B 将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,得: x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4, 即 y2-x2=4. 又注意到 2t>0,2t+2-t≥2 2t·2-t=2,即 y≥2.

可见与以上参数方程等价的普通方程为: y2-x2=4(y≥2). 显然它表示焦点在 y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支. 二、填空题
?x=t2, ? 5.(陕西高考)圆锥曲线? (t 为参数)的焦点坐标是________. ?y=2t ?

解析:代入法消参,得到圆锥曲线的方程为 y2=4x,则焦点坐标为(1,0). 答案:(1,0)
?x=2t2, ? 6.已知抛物线 C:? (t 为参数)设 O 为坐标原点,点 M 在 C 上运动(点 M 与 O ? ?y=2t

不重合),P(x,y)是线段 OM 的中点,则点 P 的轨迹普通方程为________. 解析:抛物线的普通方程为 y2=2x,设点 P(x,y),点 M 为(x1,y1)(x1≠0),则 x1=2x, y1=2y. ∵点 M 在抛物线上,且点 M 与 O 不重合, ∴4y2=4x?y2=x.(x≠0) 答案:y2=x(x≠0)

?x=2 3tan α , 7.双曲线? (α 为参数)的两焦点坐标是________. ?y=6sec α ? ?x=2 3tan α, 解析:双曲线? (α 为参数)的标准方程为 ?y=6sec α ?
y2 x2 - =1,焦点在 y 轴上,c2=a2+b2=48. 36 12 ∴焦点坐标为(0,±4 3). 答案:(0,±4 3)

?x=t, 8.(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为? (t 为 ?y= t ?x= 2cos θ , 参数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. ?y= 2sin θ ? ? ?x=t, ?x= 2cos θ, 解析:由? 得 y= x,又由? ?y= t, ?y= 2sin θ, ? ?
得 x2+y2=2.

? ? ?y= x, ?x=1, 由? 得? ?x2+y2=2, ? ?y=1, ?
即曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 答案:(1,1) 三、解答题 x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),A、B 是双曲线同支上相异两点,线段 AB 的垂直 a b 平分线与 x 轴相交于点 P(x0,0),求证:|x0|> a2+b2 . a

a 证明:设 A、B 坐标分别为(asec α,btan α),(asec β,btan β),则中点为 M( (sec α 2 b +sec β), (tan α+tan β)),于是线段 AB 中垂线方程为 2 b y- (tan α+tan β) 2 a(sec α-sec β) a =- [x- (sec α+sec β)]. 2 b(tan α-tan β)

a2+b2 将 P(x0,0)代入上式,∴x0= (sec α+sec β). 2a ∵A、B 是双曲线同支上的不同两点, ∴|sec α+sec β|>2. a2+b2 . a

∴|x0|>

10.过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 M、N 两点,求线段 MN 的中点的轨迹 方程.
2 ? ?x=8t , 解:设抛物线的参数方程为? (t 为参数), ?y=8t ? 2 可设 M(8t2 1,8t1),N(8t2,8t2),

8t2-8t1 1 则 kMN= 2 = . 2 8t2-8t1 t1+t2 又设 MN 的中点为 P(x,y), 8t +8t ? ?x= 2 , 则? ∴k 8t +8t ? ?y= 2 .
2 1 2 2 1 2

AP=

. 2 4(t2 1+t2)-1

4(t1+t2)

1 由 kMN=kAP 知 t1·t2=- , 8
2 ?x=4(t1 +t2 2), ? 又? ? ?y=4(t1+t2),

x 1 2 则 y2=16(t2 1+t2+2t1t2)=16( - )=4(x-1). 4 4 ∴所求轨迹方程为 y2=4(x-1). 11.已知圆 O1:x2+(y-2)2=1 上一点 P 与双曲线 x2-y2=1 上一点 Q,求 P、Q 两点 距离的最小值. 解:设 Q(sec θ,tan θ),|O1P|=1, 又|O1Q|2=sec2θ+(tan θ-2)2

=(tan2θ+1)+(tan2θ-4tan θ+4) =2tan2θ-4tan θ+5 =2(tan θ-1)2+3. π 当 tan θ=1,即 θ= 时,|O1Q|2 取最小值 3, 4 此时有|O1Q|min= 3. 又|PQ|≥|O1Q|-|O1P| ∴|PQ|min= 3-1.


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