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1.1集合的概念和运算


苏州市第三中学 2011 年高三数学第一轮复习教学案(第一模块 代数(上) 第一章 函数) 编写人: 陆冬林 审核人: 徐丽萍 总编号:001

1.1 集合的概念及运算
一、复习要求
1. 课标要求(1)集合的含义与表示:了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言、 图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。 (2)集合的基本关系:理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集(不要求证明集合的相等关 系、包含关系) 。了解全集与空集的含义。 (3)集合间的基本运算:理解两个集合的并集与交集的含义;会求两个简单集合的并集与交集。理解给定合 的一个子集的补集的含义;会求给定子集的补集。会用 Venn 图表示集合的关系及运算 2.考纲要求:集合及其表示 A;子集 B; 交集、并集为 B 级。

二、知识梳理 1.集合的元素具有三个特性 , , ;集合的表示方法 有 , , 。 ;如果 a 不是集合 A 的元 2.集合与元素的关系:如果 a 是集合 A 的元素,则可表示为 素,则可表示为 .集合与集合的关系用符号 表示. 3.子集:若集合 A 中 _______都是集合 B 的元素,就说集合 A 包含于集合 B(或集合 B 包含集合 A) ,记作 . 个,真子集有 个,非空真子集 4.若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 有 个. ,整数集 ,有理数集 ,自然数集 , 5.特殊集合的表示:实数集 正整数集 ,复数集 。 6.交集:由 的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记作 A∩B,即 A∩B . = 7.并集:由 的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B,即 A∪B . = 8.补集:集合 A 是集合 S 的子集,由 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集, 记作 CS A ,即 CS A = 9.A∩A= . ,A∩ ? = , A ∪ CU A = , CU ( A ∩ B ) = ,A∪A= ,A∪ ? = . A∩B=A ? ;

A ∩ CU A = CU ( A ∪ B) = 三、基础训练

__________ CU (CU A) = ,A∪B=A ?

1.下列各种对象的全体,可以构成集合的是 (1)某班身高超过 1.8cm 的女生; (2)比较聪明的学生; (3)本讲义中的难题目; (4)使 | x 2 ? 3x + 2 | 最小的 x 值 2.集合中的元素的特性是
1



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3.用适当的符号填空:
π
Q ; {3.14}

Q;N

N ? ; {x | x = 2k + 1, k ∈ Z }

{x | x = 2k ? 1, k ∈ Z }

4.用描述法表示集合: (1)由直线 y = x + 1 上所有点的坐标组成的集合; (2) {0, ?1, ?4, ?9, ?16, ?25, ?36, ?49} ; 5.集合 A= {a, b, c} 的子集个数为 6.若 A I B = B ,则 A B;若 A U B = B ,则 A B, A I B
AU B ;

7.已知集合 A= {1,3, a} ,B= {1, a 2 ? a + 1} ,且 B ? A ,则 a =

8.设集合 M={x|x=

k 1 k 1 + ,k∈Z},N={x|x= + ,k∈Z},则 M、N 的关系 2 4 4 2

四、例题精选
题型一 集合中元素的特性 例 1.集合中元素的特性:已知集合 A = {a + 2, 2a 2 + a}, 若 3 ∈ A ,求 a 的值

题型二 集合间的特殊关系 例 2.已知集合 A = {x | x 2 ? 2 x ? 8 ≤ 0, x ∈ R}, B = {x | x 2 ? (2m ? 3) x + m 2 ? 3m ≤ 0, x ∈ R, m ∈ R} 。 (1)若 A I B = [2, 4] ,求实数 m 的取值范围; (2)设全集为 R,若 A 豤CR B ,求实数 m 的取值范围.

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题型三 集合的运算性质 例 3.已知集合 M = {a, 0} , N = {x | x 2 ? 3x < 0, x ∈ Z } ,而且 M I N = {1} ,记 P = M U N ,写出集合 P 的 所有的子集。

例 4 (1)已知集合 A={x|-2≤x≤5} ,B={x| m+1≤x≤2m-1} ,且 A∪B=A,求实数 m 的取值 范围. (2)已知集合 A={x| a-3< x< a+3} ,B={x | x<-1 或 x>2} ,若 A∪B=R,求实数 a 的取值 范围.

例 5 (1)已知 A={x |

x ?5 < ?1},若 ? AB={x | x+4 < ?x},求集合 B. 2

(2)若全集为 U=R,A={x| x2 >4} B = {x | ,

x?3 < 0} ,求 ? UA, ? UB. x +1

五、深化拓展 1.已知集合 P={x|x2-2x-3=0},S={x|ax+2=0},若 S ? P,求实数 a 值?

3

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2.已知集合 A={-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B ? A,求实数 m.

3.已知集合 A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}. (1)若 A 是空集,求 m 的取值范围;? (2)若 A 中只有一个元素,求 m 的值;? (3)若 A 中至多只有一个元素,求 m 的取值范围.

4.设 A = {x | x 2 + 4 x = 0}, B = { x | x 2 + 2( a + 1) x + a 2 ? 1 = 0} . (1) 若 A I B = B ,求 a 的值; (2) 若 A U B = B ,求 a 的值.

5.已知两个正整数集合 A={a1,a2,a3,a4}, B = {a1 , a2 , a3 , a4 }, 其中a1 < a2 < a3 < a4 ,
2 2 2 2

若A ∩ B = {a1 , a4 }, 且a1 + a4 = 10, 且A U B的所有元素之和是124, 求集合A 、B.

6.集合 P = x x ? 25 < 0 , Q = x x = 2n ? 1, n ∈ z ,若 S ? P 且 S ? Q ,则 S 的子集个数
2

{

}

{

}

最多为



4

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7. M = ? x x ∈ N ,

? ?

6 6 ? ? ? ∈ N ? , Q = ?x x = , t ∈ N , x ∈ N ? ,求 M I Q . 1+ x 1+ t ? ? ?

8.对于任意两个集合 X 与 Y,定义 X ? Y = x x ∈ X且x ? Y , X?Y = ( X ? Y ) U (Y ? X ) .设

{

}

1 ? ? A = ? y y = 2 , x ∈ R且x ≠ 0? , B = {y y = ?2 cos x, x ∈ R},则 A?B = x ? ?



9. 三个非空集合 M = x x ? 8 x + k < 0 ,N = x x ? 4 x + 3 < 0 ,P = x x ? 10 x + 16 < 0 满足:
2 2 2

{

}

{

}

{

}

若 a ∈ M ,则 a ∈ N U P ,求实数 k 的取值范围.

六、感受高考 1. (09 福建卷)已知全集 U=R,集合 A = {x | x 2 ? 2 x > 0} ,则 ? A = U , 2. (08 四川卷)集合 A={-1,0,1} A 的子集中,含有 0 的子集共有 . 个.

3. 09 江苏卷)已知集合 A = x log 2 x ≤ 2 , B = ( ?∞, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (

{

}

(c, +∞) ,其中 c =


x?a < 0 的解集为 P,不等式 | x ? 1|≤ 1 的解集为 Q. x +1

4. 07 北京卷)记关于 x 的不等式 (

(1)若 a=3,求 P; (2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

5. 09 湖北卷)已知 P = {a | a = (1, 0) + m(0,1), m ∈ R}, Q = {b | b = (1,1) + n( ?1,1), n ∈ R} 是两个 (

向量集合,则 P I Q =


5

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6. (09 安徽卷)若集合 A = {x || 2 x ? 1|< 3}, B = {x |

2x + 1 < 0} ,则 A∩B= 3? x

七、方法点拨 1.对集合的认识,关键在于化简给定的集合,确定集合的元素,并真正认识集合中元素的属性,特 别要注意代表元素的形式. 2.利用相等集合的定义解题时,特别要注意集合中元素的互异性,对计算的结果要加以检验. 3.空集 φ 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
4.若 A = {a1 , a2 ,L an } ,则 A 的子集个数为 2n ,真子集个数为 2n -1,非空子集个数为 2n -1,非空

真子集个数为 2n -2. 5.注意集合的包含关系与集合的运算的关系,如 A∩B=A ? A ? B;A∪B=A ? B ? A;

八、巩固练习 1.用列举法写出集合 A = { y | y = x 2 ? 2, x ∈ Z ,| x |≤ 3} =



2.已知集合 P = {x | x 2 ? 5 x + 6 = 0} ,则 P 的所有子集是

. . .

3.已知集合 M = {a ? 3, 2a ? 1, a 2 ? 4} ,且 ?3 ∈ M ,则实数 a 的取值所组成的集合是
4.已知集合 A={1,3,a} B={1, a ? a + 1 } , ,且 A ? B ,则实数 a=
2

5.已知 A = x x ? 2 x ? 3 < 0 , B = x x < a , 若 A ? B , 则实数 a 的取值范围是 /
2

{

}

{

}

. .

6.已知集合 M = {x | x 2 < 4}, N = {x | x 2 ? 2 x ? 3 < 0} ,则集合 M I N =

7.已知集合 A={x|x-m<0},B={y|y=x2+2x,x∈N},若 A∩B=Φ,则实数 m 的范围为 8.满足 {1, 2} ? A ? {1, 2,3, 4,5} 的集合 A 的个数为





9.若 A = {x | ?5 < x < 5} , B = {x | ?7 < x < a} , C = {x | b < x < 2} ≠ ? , A I B = C ,则 a= ,b= . 10.已知 A= { y | y = x ? 2 x ? 1, x ∈ R} , B = {x | ?2 ≤ x < 8} ,则 A∪B=
2



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11.设全集 I = {2,3, a 2 + 2a ? 3} , A = {2,| a + 1|} , ?I A = {5} , M = {x | x = log 2 | a |} ,求集合 M 的所有 子集.

12. 已 知 集 合 A = {x x < ?1, 或x > 3} , 若 x1 , x 2 是 二 次 方 程 x 2 + ax + b = 0 的 两 个 实 数 根 , 集 合

B = {x x1 ≤ x ≤ x 2 } ,满足 A I B = {x 3 < x ≤ 4} , A U B = R ,求实数 a,b 的值.

13.某学校艺术班有 100 名学生,其中学舞蹈的学生 67 人,学唱歌的学生 45 人,而学乐器的学生既 不能学舞蹈,又不能学唱歌,人数是 21 人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人?

14.已知集合 A = {x | 0 < ax + 2 ≤ 6}, B = {x | ?1 < 2 x ≤ 4} 。 (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2) A, B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,请说明理由

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15.已知集合 A= ?x |

? ?

6 2 ? ≥ 1, x ∈ R ?, B= x | x ? 2x ? m < 0 , x +1 ?

{

}

(1)当 m=3 时,求 A I (?R B ) ; (2)若 A I B = { x | ?1 < x < 4} ,求实数 m 的值.

16 .设集合 A = {x |

1 2 2 ≤ 2? x ≤ 4} , B = x x ? 3mx + 2m ? m ? 1 < 0 . 32

{

}

(1)当 x ∈ Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (2)若 B= φ ,求 m 的取值范围; (3)若 A ? B ,求 m 的取值范围.

课后反思: 九、 课后反思 (1)本节课我回顾了那些知识:

(2)还有哪些问题需要继续探究:
8


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