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苏教版必修4高中数学2.4《向量的数量积》word练习(含解析)

2.4 向量的数量积 前面我们学习过向量的加减法,实数与向量的乘法,知道 a+b,a-b,λ a(λ ∈R)仍 是向量,大家自然要问:两个向量是否可以相乘?相乘后的结果是什么?是向量还是数? 1.已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ ,我们把数量________叫做 a 与 b 的数 量积,记作____________,即________________. 答案:|a||b|cos θ a?b a?b=|a||b|cos θ 2.两非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ,a 在 b 方向上的投影为________,b 在 a 方向上的 投 影 是 ________ , a?b 的 几 何 意 义 为 __________________________________________________________. 当 θ 为________时,b 在 a 上投影为正;当 θ 为________时,b 在 a 上的投影为负; 当 θ 为________时,b 在 a 上的投影为零. 答案:|a|cos θ 锐角 钝角 90° 3.a,b 同向时,a?b=______,当 a 与 b 反向时,a?b=________,特别地 a?a= ________. 答案:|a||b| -|a||b| |a| 2 |b|cos θ a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的积 4.|a?b|与|a|?|b|的大小关系是________. 答案:|a?b|≤|a|?|b| 5.向量数量积的运算律为 a?b=________;(λ a)?b=________=________;(a+ b)?c=________. 答案:b?a λ (a?b) a?(λ b) a?c+b?c 6.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a?b=________. 答案:x1x2+y1y2 7.如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么|a| =________________________________________, 这是平面内两点间的距离公式. 答案: (x1-x2) +(y1-y2) 2 2 8.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?________. 答案:x1x2+y1y2=0 9.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a、b 的夹角为 θ ,则有 cos θ =________________. 答案: x1x2+y1y2 2 2 2 x +y1 ? x2+y2 2 1 数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b, 它们的夹角是 θ , 我们把|a||b|cos θ 叫做向量 a 和 b 的数 量积(或内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos θ (0≤θ ≤π ). 其中|a|cos θ (|b|cos θ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. π π 特别提示:(1)当 0≤θ < 时,cos θ >0,从而 a?b>0;当 <0≤π 时,cos θ < 2 2 π 0,从而 a?b<0;当 θ = 时,cos θ =0,从而 a?b=0. 2 (2)数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.这个投影值可正可负也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数. 数量积的性质及运算律 1.数量积的重要性质. 设 a 与 b 都是非零向量,e 是单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角. (1)e?a=a?e=|a|cos θ (2)a⊥b?a?b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a?b=|a|?|b|; 当 a 与 b 反向时,a?b=-|a|?|b|; 特别地,a?a=|a| 或|a|= a?a= a ,a?a 也可记作 a . (4)|a?b|≤|a|?|b|. 2.数量积的运算律. 已知 a,b,c 和实数 λ ,则向量的数量积满足下列运算律: (1)a?b=b?a(交换律); (2)(λ a)?b=a?(λ b)=λ (a?b)=λ a?b(数乘结合律); (3)(a+b)?c=a?c+b?c(分配律). 说明:(1)当 a≠0 时,由 a?b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为任一与 a 垂直的 非零向量 b,都有 a?b=0. (2)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bc? a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即 2 2 2 ; a?b=b?c 不 能推出 a=c.由图很容易看出,虽然 a?b=b?c ,但 a≠c. (3)对于实数 a、 b、 c, 有(a?b)c=a(b?c); 但对于向量 a、 b、 c 而言, (a?b)c=a(b?c) 未必成立.这是因为(a?b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b?c)表示一个与 a 共线的向 量,而 c 与 a 不一定共线,所以(a?b)c=a(b?c)未必成立. 向量的模 设 a=(x,y),|a| =a?a=(x,y)?(x,y)=x +y ,故|a|= x +y ,即向量的长度 → (模)等于它的坐标平方和的算术平方根.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1), → 2 2 |AB|= (x2-x1) +(y2-y1) .即得平面上两点间的距离公式, 与解析几何中的距离公式 完全一致. 向量的夹角 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其夹角为 θ ,则 a?b=x1x2+y1y2 或 a?b=|a||b|cos θ 2 2 2 2 2 = x1+y1 2 2 2 x2 故 cos θ = 2+y2cos θ , x1x2+y1y2 , 当 θ =90°时,

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