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《导数及其应用》知识点总结


《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [x1, x2 ] 上的平均变化率为:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1

2. 导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上有定义, x0 ? (a, b) ,若 ? x 无限趋近于 0 时,比值

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于一个常数 A,则称函数 f (x) 在 x ? x0 处可导, ? ?x ?x

并称该常数 A 为函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 。函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (2)求平均变 化率:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (3)取极限,当 ? x 无限趋近与 0 时, 无限趋 ?x ?x

近与一个常数 A,则 f ?( x0 ) ? A . 4. 导数的几何意义: 函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。由此, 可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出 y ? f ( x) 在 x0 处的导数,即为曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 。 当点 P( x0 , y0 ) 不在 y ? f ( x) 上时,求经过点 P 的 y ? f ( x) 的切线方程,可设切点坐标, 由切点坐标得到切线方程,再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线 y ? f ( x) 在点
( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行与 y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为 x ? x0 。

5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 S (t ) ,则 V ? S ?(t ) 表示瞬时速度, a ? v?(t ) 表 示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1) (kx ? b)? ? k (k, b 为常数); (3) ( x)? ? 1 ; (5) ( x3 )? ? 3x2 ; (2) C ? ? 0 (C 为常数); (4) ( x 2 )? ? 2 x ; (6) ( 1 )? ? ? 12 ; x x
1

(7) ( x )? ? 1 ; 2 x (9) (a x )? ? a x ln a(a ? 0, a ? 1) ; (11) (e x )? ? e x ; (13) (sin x)? ? cos x ; 2. 函数的和、差、积、商的导数: (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ; (2) [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) (C 为常数) ;

(8) ( xα )? ? αxα ?1 (α 为常数) ; (10) (log a x)? ? 1 log a e ? 1 (a ? 0, a ? 1) ; x x ln a (12) (ln x)? ? 1 ; x (14) (cos x)? ? ? sin x 。

(3) [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ; f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? ( g ( x) ? 0) 。 (4) [ g ( x) g 2 ( x) 3. 简单复合函数的导数:
? ? ? ? ? 若 y ? f (u ), u ? ax ? b ,则 yx ? yu ? ux ,即 yx ? yu ? a 。

三、导数的应用 1. 求函数的单调性: 利用导数求函数单调性的基本方法:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数; (2)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数; (3)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数 y ? f ( x) 的定义域;②求导数 f ?( x) ; ③解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集 在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围) : 设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构 成区间); (2) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构 成区间); (3) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数,则 f ?( x) ? 0 恒成立。 2. 求函数的极值: 设函数 y ? f ( x) 在 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或
f ( x) ? f ( x0 ) ) ,则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极小值(或极大值) 。

可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:

2

(1)确定函数 f ( x) 的定义域; (2)求导数 f ?( x) ; (3)求方程 f ?( x) ? 0 的全部实根,
x1 ? x2 ? ? ? xn ,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x 变化时, f ?( x) 和 f ( x) 值的

变化情况: x
f ?( x) f ( x)

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )



xn

( xn , ??)

正负 单调性

0

正负 单调性

0

正负 单调性

(4)检查 f ?( x) 的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值: 如果函数 f ( x) 在定义域 I 内存在 x0 , 使得对任意的 x ? I , 总有 f ( x) ? f ( x0 ) , 则称 f ( x0 ) 为函数在定义域上的最大值。 函数在定义域内的极值不一定唯一, 但在定义域内的最值是唯 一的。 求函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值的步骤: (1)求 f ( x) 在区间 (a, b) 上的极值; (2)将第一步中求得的极值与 f (a), f (b) 比较,得到 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值与最 小值。 4. 解决不等式的有关问题: (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

f ( x)( x ? A) 的值域是 [a, b] 时,
不等式 f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x)max ? 0 ,即 b ? 0 ; 不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x ) min ? 0 ,即 a ? 0 。

f ( x)( x ? A) 的值域是 ( a, b) 时,
不等式 f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 b ? 0 ; 不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 a ? 0 。 (2)证明不等式 f ( x) ? 0 可转化为证明 f ( x)max ? 0 ,或利用函数 f ( x) 的单调性,转化为 证明 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 。 5. 导数在实际生活中的应用: 实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最 值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。

3


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