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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


汕头市金山中学 2015-2016 学年度第二学期期中考试 高二文科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
2 1、已知集合 A ? {x x ? 5 x ? 6 ? 0} , B ? {x x ? 0} ,则 A ? B ? (



A. [2,3]

(0, ? ?) B.

C. (0,2) ? (3, ? ?)

D.(0,2] ? [3, ? ?) )

2、已 知复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?1 ? 3i B. 1 ? 3i C. 1 ? 3i

4 - 2i 的共轭 复数是( .. z
D. ?1 ? 3i

3、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0, 1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )

4、已知曲线 y ? x ? ax ? 1 在点 ? -1 ,a ? 2? 处切线的斜率为 8, a= (
4 2



(A) 9
2 2

(B) 6

(C) -9

(D) -6

5、圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 与 2tx ? y ? 2 ? 2t ? 0(t ? R) 的位置关系为 A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 ,类比

6、设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则

这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r,四面体 S﹣ ABC 的体积为 V,则 r=( )

1

7、在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC ? 1 则 BC= ( A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23



8、已知 A, B, C 点在球 O 的球面上, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 .球心 O 到平面 ABC 的距离 为 1,则球 O 的表面积为( A. 12? 9、已知双曲线 B. 16? ) C. 36? D. 20? 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与

双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2] B. (1,2) C.[2,+∞) D. (2,+∞) 10、已知 F 是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,直线 y ? kx ? 1 与该抛物线交于第一象限内的点 A, B ,若

AF ? 3FB ,则 k 的值是 (
A. 3 B.



3 2

C.

3 3

D.

2 3 3

11、已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图像过点 (1, 0) , f '( x) 为函数 f ( x ) 的导函数, e 为自然对数 的底数,若 x ? 0 , xf '( x) ? 1 下恒成立,则不等式 f ( x) ? ln x 的解集为 A. (0, ]

1 e

B. (0,1]

C. (0, e]

D. (1, e] )

12、直线 y ? a 分别与曲线 y ? 2( x ? 1) , y ? x ? ln x 交于 A,B,则 | AB | 的最小值为(

A.3

B.2

C.

3 2 4

D.

3 2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ?
3 2 2

?

?

1 x ,则该双曲线的标准方程为 2



14、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x=1 处有极值 10.则 a ? b ? ________. 15、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 2sinCcosB=2sinA+sinB,△ABC 的面积 为 S=

3 c,则 ab 的最小值为_______. 12

16、如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:

2

根据以上排列规律,数阵中第 n (n ? 3) 行的从左至右的第 3 个数是



三、解答题: (本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、某产品的广告费用支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下的对应数据:

x /百万
元 y /百万

2

4

5 60

6 50

8 70

30 40 元 (1)求 y 与 x 之间的回归直线方程;
2 2 2 2 2

(参考数据:2 +4 +5 +6 +8 =145,2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380) (2)试预测广告费用支出为 1 千万元时,销售额是多少?

附:线性回归方程 y ? b x ? a 中, b ?

?

?

?

?

a ? y - b x ,其中 , 为样本平均值

?

?

?

18 、已知 {an } 是各项为正数的等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a1 ? b1 ? 1, b2 ? b3 ? 2a3 ,

a5 ? 3b2 ? 7
(1)求 {an } 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn , n ? N ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

19 、 如 图 , 在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , O 是 AC 的 中 点 , A1O⊥ 平 面 ABC ,

?BCA ? 90 ? , AA1 ? AC ? BC .
(1)求证: AC1⊥平面 A1BC; (2)若 AA1= 2,求点 C 到平面 A1 ABB 1 的距离。

3

20、已知 F1, F2 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过椭圆右焦点 F2 斜率为 k a 2 b2

(k ? 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、 F 两点,?EFF1 的周长为 8, 且椭圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 相切。 (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设 A 为椭圆的右顶点, 直线 AE,AF 分别交直线 x ? 4 于点 M ,N , 线段 MN 的中点为 P , 记直线 PF2 的斜率为 k ? ,求证 k ? k ? 为定值.

3 2 21、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2(a ? R) , f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数。

(1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若对一切的实数 x ,有 f ?( x ) ? x ?

3 成立,求 a 的取值范围; 4

(3)当 a ? 0 时,在曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) (x1 ? x2 ) ,使得曲线在

A , B 两点处的切线均与直线 x ? 2 交于同一点?若存在,求出交点纵坐标的最大值;若不存在,请
说明理由.

4

汕头市金山中学 2015-2016 学年度第二学期期中考试高二文科数学答案 一、 选择题 ABADC CAACD BD 二、 填空题 13、

x2 ? y2 ? 1 4

14、-7

15、

1 3

16 、

n2 ? n ? 6 2

三、解答题

答:当广告费用支出为 1 千万元时,销售额约是 82.5 百万元. 18、解: (1)设 {an } 的公比为 q, {bn } 的公差为 d,由题意 q ? 0 ,

?2q 2 ? 3d ? 2, 由已知,有 ? 4 ? q ? 3d ? 10,
消去 d 得 q 4 ? 2q 2 ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 , 所以 {an } 的通项公式为 an ? 2
n?1

, n ? N? ,

{bn } 的通项公式为 bn ? 2n ?1, n ? N? .
(2)由(1)有 cn ? ? 2n ?1? 2
n?1

,设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,则

Sn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5 ? 22 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1, 2Sn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n ,
两式相减得 ?Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2n ?1? ? 2 ? ? ? 2n ? 3? ? 2 ? 3,
2 3 n n n

5

所以 Sn ? ? 2n ? 3? 2 ? 3
n

19、解: (1)因为 A1O⊥平面 ABC ,所以 BC ? A1O . 又 BC ? AC ,所以 BC ? A1 AC1C ,所以 BC ? AC1 . 2分

因为 AA 1C1C 是菱形,所以 AC 1 ? AC ,所以四边形 AA 1 ? A 1C . 所以 AC1 ? 平面 A1BC . 6分

(2)设三棱锥 C ? A1 AB 的高为 h. 由(1)可知,三棱锥 A ? A1BC 的高为 因为 VC ? A1 AB

1 AC1 ? 3 . 2 1 1 ? VA? A1BC ,即 ? S ?A1 AB ? h ? S ?A1BC ? 3 . 3 3
10 分

在△A1AB 中,AB= A1B=2 2 ,AA1=2,所以 S△A1AB= 7 . 在△A1BC 中, BC=A1C=2,∠BCA1=90?,所以 S△A1BC=

1 BC·A1C=2. 2

所以 h ?

2 21 . 7

12 分
2 2

的周长为8,?4a ? 8,?a ? 4且b ? 3 20、解: (1)由题意 得?焦点?EFF 1
所求椭圆 C 的方程为 x ? y ? 1 .
2 2

3分

4

3

4分

(2)设过点 F2 ?1,0? 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) , 设点 E ( x1 , y1 ) ,点 F ( x2 , y 2 ) 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C : 5分

x2 y2 ? ?1 4 3
6分

整理得 : (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 因为点 F2 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ? 0 恒成立,

8k 2 且 x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3
直线 AE 的方程为: y ?

4k 2 ? 12 x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3

7分

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为: y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2

6

令 x ? 4 ,得点 M ? 4,

? ?

? 2 y2 ? 2 y1 ? ? , N ? 4, x ? 2 ? , x1 ? 2 ? ? 2 ?
9分

所以点 P 的坐标 ? 4,

? ?

y1 y ? ? 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?

y1 y ? 2 ?0 x ? 2 x2 ? 2 y 1 y 直线 PF2 的斜率为 k'? 1 ? ( 1 ? 2 ) 4 ?1 3 x1 ? 2 x2 ? 2
? 1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
11 分

将 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 代入上式得: , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

1 k'? ? 3

2k ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ?? 2 2 4k ? 12 8k k ?2 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3
? ? 2a ? ? 2a ? ? ,? a ? R, 当 a ? 0 时, f ( x) 的减区间为 ? 0, 3 ? ; 3 ? ? ?
? 2a ? ,0? ; ? 3 ?
3 , 4
当 a ? 0 时, f ( x ) 无减区间。 4分

所以 k ? k ' 为定值 ?1 21、解: (1) f ?( x) ? 3x ? x ?

当 a ? 0 时, f ( x ) 的减区间为 ?

(2)由条件得: 3 x ? 2ax ? x ?
2

当 x ? 0 时,得 3 x ? ? 2a ? 1? x ?
2

3 3 3 ? 0 ,即 3 x ? ? 3, ? 2a ? 1 恒成立,因为 3 x ? 4 4x 4x
6分

(当 x ?

1 时等号成立),所以 2a ? 1 ? 3 ,即 a ? 1 ; 2
2

当 x ? 0 时,得 3 x ? ? 2a ? 1? x ?

3 3 3 ? 1 ? 2a 恒成立,因为 3 x ? ?3, ? 0 ,即 3 x ? 4x 4x 4

(当 x ? ?

1 时等号成立),所以 1 ? 2a ? 3 ,即 a ? ?1 ; 2

当 x ? 0 时, a ? R ;

7

综上所述, a 的取值范围是 ? ?1,1? (3)设切线与直线 x ? 2 的公共点为 P ? 2, t ? ,当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x ,
2

9分

则 f ? ? x1 ? ? 3x1 ,因此以点 A 为切点的切线方程为 y ? x1 ? 2 ? 3x1 ? x ? x1 ? .
2 3 2

3 2 因为点 P ? 2, t ? 在切线上,所以 t ? x1 ? 2 ? 3x1 ? 2 ? x1 ? ,即 2 x1 ? 6 x1 ? t ? 2 ? 0 .
3 2

同理可得方程 2 x2 ? 6 x2 ? t ? 2 ? 0 .
3 2

11 分

设 g ? x ? ? 2x ? 6x ? t ? 2 ,则原问题等价于函数 g ? x ? 至少有两个不同的零点.
3 2

因为 g? ? x ? ? 6x ?12x ? 6 ? x ? 2? x ,
2

当 x ? 0 或 x ? 2 时, g? ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增,当 0 ? x ? 2 时, g? ? x ? ? 0, g ? x ? 递减。 因此, g ? x ? 在 x ? 0 处取得极大值 g ? 0? ? t ? 2 ,在 x ? 2 处取得极小值 g ? 2? ? t ?10 若要满足 g ? x ? 至少有两个不同的零点,则需满足 ? 故存在,且交点纵坐标的最大值为 10.

?t ? 2 ? 0 ,解得 2 ? t ? 10 ?t ? 10 ? 0

8


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