泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
命题人:朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜 审题人:吴卫东 唐咸胜 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. )
2 1.已知集合 A ? x x ≤ 1 ,集合 B ? ??2, ?1,0,1,2? ,则 A ? B ?
?
?
▲
.
2.如图,在复平面内,点 A 对应的复数为 z1 ,若 则 z2 ? ▲ .
z2 ? i ( i 为虚数单位) , z1
3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 ▲ .
x2 ? y 2 ? 1的实轴长为 2
(第 2 题)
Read a, b i ?1 While i ? 2 a ? a?b b ? a ?b i ? i ?1 End While Print a
(第 5 题)
4.某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人,那么 n ? ▲ .
5.执行如图所示的伪代码,当输入 a , b 的值分别为 1,3 时,最后输出的 a 的值为 ▲ .
6.甲乙两人下棋,若甲获胜的的概率为 1 ,甲乙下成和棋的概率为 2 ,则乙不输棋的概
5
5
率为
▲
.
2 2 7.已知直线 y ? kx(k ? 0) 与圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1 相交于 A, B 两点,若 AB ?
2 5, 5
则k ?
▲
.
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8.若命题“存在 x ? R, ax2 ? 4 x ? a ≤ 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是 9.如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O 为 BD 1 的中点,三棱锥
D1
▲
.
C1
O ? ABD 的体积为 V1 ,四棱锥 O ? ADD1 A1 的体积为 V2 ,则
的值为 ▲ .
V1 V2
A1 D
O
B1 C
A
(第 9 题)
B
10. 已知公差为 2 的等差数列 {an } 及公比为 2 的等比数列 {bn } 满足 a1 ? b1 ? 0, a2 ? b2 ? 0 , 则 a3 ? b3 的取值范围是 ▲ .
x
11.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? ln
x ,记 an ? f (n ? 5) ,则数列 4
{an } 的前 8 项和为
▲
.
12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A, B 分别为 x 轴, y 轴上一点,且 AB ? 2 ,若点
??? ? ??? ? ??? ? P(2, 5) ,则 AP ? BP ? OP 的取值范围是
▲
.
13.若正实数 x, y 满足 (2 xy ?1)2 ? (5 y ? 2)( y ? 2) ,则 x ?
1 的最大值为 2y
▲
.
14.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ? cos x cos( π ? x ) (其中 A 为常数, ? ? (? π, 0) ) ,若
2
6
2
实数 x1 , x2 , x3 满足:① x1 ? x2 ? x3 ,② x3 ? x1 ? 2π ,③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 ? 的 值为 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B 的对边分别为 a , b ,向量 m ? (cos A,sin B), n ? (cos B,sin A) . (1)若 a cos A ? b cos B ,求证: m / / n ; (2)若 m ? n , a ? b ,求 tan
A? B 的值. 2
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16. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC ? ?BAC ? 90? , PA ? PB ,点 D , F 分别 为 BC , AB 的中点. (1)求证:直线 DF / / 平面 PAC ; P (2)求证: PF ? AD .
A
F
B
D C
17. (本题满分 14 分) 一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成, AB ? 1 米,如图所 示.小球从 A 点出发以 ?v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后,经弹射器以 6v 的速度沿 与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内,落点记为 F .设 ?AOE ? ? 弧度,小球从 A 到 F 所需时间为 T . (1)试将 T 表示为 ? 的函数 T (? ) ,并写出定义域; (2)求时间 T 最短时 cos ? 的值.
A E O
B
F D
18. (本题满分 16 分) 已知数列 {an },{bn } 满足 2Sn ? (an ? 2)bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.
C
2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3 (2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式; a (3)在(2)的条件下,设 cn ? n ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其 bn
(1)若数列 {an } 是首项为 他两项之积.
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19. (本题满分 16 分)
x2 ? y 2 ? 1, A 4 为椭圆右顶点. 过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B, C 两点, 直线 AB 与圆 O 的 6 另一交点为 P ,直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ,其中 D ( ? , 0) .设直线 AB, AC 的斜 5 率分别为 k1 , k2 .
如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 , 椭圆 C : (1)求 k1k2 的值; (2) 记直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC , 是否存在常数 ? , 使得 kPQ ? ?kBC ?若存在, 求 ? 值;若不存在,说明理由; (3)求证:直线 AC 必过点 Q .
y P B
D
O
A x
C Q
20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ?
4
(1) 若 a ? 0 ,求证:
1 2 x , x ? (0, ??) , g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? . 2
(ⅰ) f ? x ? 在 f ?( x ) 的单调减区间上也单调递减; (ⅱ) g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点;
(2) 若 a ? 1 ,记 g ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ,求证: 4 ? x1 ? x2 ? a ? 4 .
高三数学参考答案
一、填空题 1. ?1,0,1? ;
?
2. ?2 ? i ;
3. 2 2 ;
4. 200 ;
5. 5 ;
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共4页
6. ;
4 5
7. ;
1 2
8.(2, ??) ;
9. ;
1 2
10.(??, ?2) ;
11. ?16 ; 二、解答题
12. [7,11] ;
13.
3 2 ?1 ; 2
14. ?
2? . 3
15. 证明: (1)因为 a cos A ? b cos B , 所以 sin A cos A ? sin B cos B ,所以 m / / n .
?????7 分
(2)因为 m ? n ,所以 cos A cos B ? sin A sin B ? 0 ,即 cos( A ? B) ? 0 , 因为 a ? b ,所以 A ? B ,又 A, B ? (0, ? ) ,所以 A ? B ? (0, ? ) ,则 A ? B ?
?
2
,?12 分
A? B ? ? tan ? 1 . 2 4 16. 证明(1)∵点 D , F 分别为 BC , AB 的中点, ∴ DF / / AC , 又∵ DF ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , ∴直线 DF / / 平面 PAC . ?????6 分 (2)∵ ?PAC ? ?BAC ? 90? , ∴ AC ? AB , AC ? AP ,
所以 tan 又∵ AB ? AP ? A , AB, AP 在平面 PAB 内, ∴ AC ? 平面 PAB , ?????8 分 ∵ PF ? 平面 PAB ,∴ AC ? PF , ∵ PA ? PB , F 为 AB 的中点,∴ PF ? AB ,
?????14 分
P
A
F
B
D C
∵ AC ? PF , PF ? AB , AC ? AB ? A , AC , AB 在平面 ABC 内, ∴ PF ? 平面 ABC , ∵ AD ? 平面 ABC ,∴ AD ? PF . ?????12 分 ?????14 分
17. 解: (1)过 O 作 OG ? BC 于 G ,则 OG ? 1 ,
OF ?
OG 1 1 ? , EF ? 1 ? ,? AE ? ? , sin ? sin ? sin ?
A E O D
B
所以 T (? ) ?
? π 3π AE EF ? 1 1 ? ? ? ? , ? ? [ , ] .??7 分 4 4 5v 6v 5v 6v sin ? 6v
G F C
(写错定义域扣 1 分)
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(2) T (? ) ?
?
5v
?
1 1 ? , 6v sin ? 6v
T ?(? ) ?
1 cos ? 6sin 2 ? ? 5cos ? (2cos ? ? 3)(3cos ? ? 2) ? ? ?? ,????9 分 2 2 5v 6v sin ? 30v sin ? 30v sin 2 ?
2 π 3π ], ,?0 ? [ , 3 4 4 ? ? ( ,?0 ) 4 T ?(? )
记 cos ? 0 ?
?0
0
(? 0 ,
3? ) 4 +
T (? )
故当 cos ? ?
?
?
????14 分
2 时,时间 T 最短. 3 2 1 n ?1 1 n 18. 解: (1)因为 an ? (? ) ? ?2(? ) , 3 3 3 2 1 [(1 ? (? ) n ] 3 ? 1 [(1 ? (? 1 ) n ] , Sn ? 3 1 2 3 1 ? (? ) 3 1 1 ? (? ) n 2Sn 1 3 所以 bn ? ? ? . an ? 2 ?2(? 1 ) n ? 2 2 3
(2)若 bn ? n ,则 2Sn ? nan ? 2n ,∴ 2Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 两式相减得 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 2 ,即 nan ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 当 n ? 2 时, (n ? 1)an?1 ? (n ? 2)an ? 2 , 两式相减得 (n ?1)an?1 ? (n ?1)an?1 ? 2(n ?1)an ,即 an?1 ? an?1 ? 2an , 又由 2S1 ? a1 ? 2 , 2S2 ? 2a2 ? 4 得 a1 ? 2 , a2 ? 3 , 所以数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 3 ? 2 ? 1 的等差数列, 故数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 1 .
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????2 分
????4 分
????8 分
????10 分
(3)由(2)得 cn ?
n ?1 , n
对于给定的 n ? N * ,若存在 k , t ? n, k , t ? N * ,使得 cn ? ck ? ct ,
n ?1 k ?1 t ?1 ? ? , n k t 1 1 1 1 1 1 1 n(k ? 1) 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? ,则 t ? , n k t n k t kt k ?n 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ,
只需 ∴对数列 {cn } 中的任意一项 cn ?
????12 分
n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 ,都存在 cn ?1 ? 和 cn2 ? 2 n ? 使得 n n ?1 n 2 ? 2n
????16 分
cn ? cn?1 ? cn2 ?2n .
19.解: (1)设 B( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 ) ,
x0 2 ? y0 2 ? 1 4
1 2 x0 y0 y0 y0 1 4 ? ? 2 ? 2 ?? . 所以 k1k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 4
2
1?
????4 分
(2)联立 ?
? y ? k1 ( x ? 2) ?x ? y ? 4
2 2
得 (1 ? k12 ) x2 ? 4k12 x ? 4(k12 ?1) ? 0 ,
2(k12 ? 1) ?4k1 解得 xP ? , , yP ? k1 ( xP ? 2) ? 2 1 ? k1 1 ? k12
? y ? k1 ( x ? 2) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 得 (1 ? 4k1 ) x ?16k1 x ? 4(4k1 ?1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
解得 xB ?
2(4k12 ? 1) ?4k1 , , yB ? k1 ( xB ? 2) ? 2 1 ? 4k1 1 ? 4k12
yB ?2k ? 2 1 , k PQ xB 4k1 ? 1
?4k1 yP 1 ? k12 ?5k ? ? ? 2 1 , 2 6 2(k1 ? 1) 6 4k1 ? 1 xP ? ? 5 1 ? k12 5
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????8 分
所以 k BC ?
5 5 5 k BC ,故存在常数 ? ? ,使得 k PQ ? k BC . 2 2 2 6 8 (3)当直线 PQ 与 x 轴垂直时, Q ( ? , ? ) , 5 5 8 ? 5 ? 1 ? k ,所以直线 AC 必过点 Q . 则 k AQ ? 2 6 ? ?2 2 5
所以 k PQ ? 当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,直线 PQ 方程为: y ?
????10 分
?5k1 6 (x ? ) , 2 4k1 ? 1 5
?5k1 6 ? ?2(16k12 ? 1) 16k1 ? y ? 4k 2 ? 1 ( x ? 5 ) 联立 ? ,解得 xQ ? , , yQ ? 1 2 16k1 ? 1 16k12 ? 1 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
所以 k AQ
16k1 16k12 ? 1 1 ? ?? ? k2 , 故直线 AC 必过点 Q . 2 ?2(16k1 ? 1) 4k1 ?2 16k12 ? 1
????16 分
(不考虑直线 PQ 与 x 轴垂直情形扣 1 分) 20. 证: (1)因为 f ? x ? ? ax ?
4
1 2 x ? x ? 0 ? ,所以 f ?( x) ? 4ax3 ? x , 2
3 2 由 (4ax ? x)? ? 12ax ?1 ? 0 得 f ?( x ) 的递减区间为 (0,
1 ), 2 3a
????2 分
当 x ? (0,
1 ) 时, f ?( x) ? 4ax3 ? x ? x(4ax2 ?1) ? 0 , 2 3a
????4 分
所以 f ? x ? 在 f ?( x ) 的递减区间上也递减. (2)解 1: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4
1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 1 3 2 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ? 3ax ? 8ax ? , 2 2
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共4页
因为 a ? 0 ,且 ? ?(0) ? ?
1 ? 0 ,所以 ? ?( x ) 必有两个异号的零点,记正零点为 x0 ,则 2
x ? (0, x0 ) 时,? ?( x) ? 0 ,? ( x) 单调递减; x ? ( x0 , ??) 时,? ?( x) ? 0 ,? ( x) 单调递增,
若 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x0 ) ? 0 , 由 ? ?( x0 ) ? 3ax0 ? 8ax0 ?
2
????7 分
1 1 ? 0 得 3ax0 2 ? 8ax0 ? , 2 2 32 1 7 4 8 1 ax0 ? x0 ? ,又因为对称轴为 x ? , 所以 ? ( ) ? ? (0) ? ? ? 0 , 所以 ? ( x0 ) ? ? 9 3 9 3 3 2 8 7 32 1 7 ax0 ? ( x0 ? ) ? 0 , 所以 x0 ? ? ,所以 ? ( x0 ) ? ? 3 3 9 3 3 1 1 2 1 3 2 2 又 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ? ax ( x ? 8) ? x(ax ? 1) ? 1 , 2 2 2
设
1 ,8 中的较大数为 M ,则 ? (M ) ? 0 , a
故 a ? 0 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点. ????10 分
1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 3 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 , 2
解 2: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4
若 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点, 当 x ? 2 时, 由 ? ( x) ? 0 得 a ? 0 ,此时 ? ( x) ? ? 合题意;
3 2 当 x ? 2 时,由 ? ( x) ? ax ? 4ax ?
1 x ? 1 在 (0, ??) 上只有一个零点,不 2
1 1 x3 ? 4 x 2 x ?1 ? 0 得 ? , 2 2a x?2
????7 分
令 ?1 ( x) ?
x3 ? 4 x 2 8 ? x2 ? 2x ? 4 ? , x?2 x?2
5 7 2 x[( x ? ) 2 ? ] 2 4 ? 0, ( x ? 2) 2
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2 x( x 2 ? 5 x ? 8) ?( x ) ? ? 则 ?1 ( x ? 2) 2
当 x ? (0, 2) 时, ? ( x) 单调递增,且由 y ? x ? 2 x ? 4, y ? ?
2
8 值域知 x?2
; ,由 ? ( x) 值 域 为 ( 0 ?? , ) 当 x ? (2, ??) 时 , ?1 ( x) 单 调 递 增 , 且 ?1 ( 4 ) ? 0
8 2 y? x ?2 x ?4 , y ? ? 值域知 ? ( x) 值域为 (??, ??) ; x?2 1 1 ? 0 ,而 y ? 因为 a ? 0 ,所以 与 ?1 ( x) 有两个交点,所以 ?1 ( x) 在 (0, ??) 上 2a 2a
恰有两个零点. (3)解 1:由(2)知,对于 ? ( x) ? ax ? 4ax ?
3 2
????10 分
1 x ? 1 在 (0, ??) 上恰有两个零点 x1 , x2 , 2 1 1 1 不妨设 x1 ? x2 ,又因为 ? (0) ? 1 ? 0 ,? ( ) ? (6 ? 7 a ) ? 0 ,所以 0 ? x1 ? ,??12 分 2 8 2
又因为 ? (4) ? ?1 ? 0 , ? ( ) ?
9 1 9 (657 a ? 10) ? 0 ,所以 4 ? x2 ? , 2 8 2 1 9 所以 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 5 ? a ? 4 . 2 2
????16 分
解 2:由(2)知
1 x3 ? 4 x 2 ? , 2a x?2
1 2 7 1 1 ? ?1 ( ) , , ?1 (0) ? 0 ? ?1 ( x1 ) ? 12 2a 2
????12 分
因为 x ? [0, 2) 时, ?1 ( x) 单调递增, ? ( ) ? 所以 0 ? x1 ?
1 , 2 9 2
当 x ? (2, ??) 时, ?1 ( x) 单调递增, ?1 ( ) ? 所以 4 ? x2 ?
81 1 9 ? ?1 ( ) , , ?1 (4) ? 0 ? ?1 ( x2 ) ? 20 2a 2
9 , 2 1 9 ? ?5?a?4. 2 2
????16 分
所以 4 ? x1 ? x2 ?
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