泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学试题
(考试时间：120 分钟 总分：160 分)
命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜 审题人：吴卫东 唐咸胜 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上． ）
2 1．已知集合 A ? x x ≤ 1 ，集合 B ? ??2, ?1,0,1,2? ，则 A ? B ?
?
?
▲
．
2．如图，在复平面内，点 A 对应的复数为 z1 ，若 则 z2 ? ▲ ．
z2 ? i （ i 为虚数单位） ， z1
3．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ▲ ．
x2 ? y 2 ? 1的实轴长为 2
（第 2 题）
Read a, b i ?1 While i ? 2 a ? a?b b ? a ?b i ? i ?1 End While Print a
（第 5 题）
4．某校共有教师 200 人，男学生 800 人，女学生 600 人，现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为 100 人，那么 n ? ▲ ．
5．执行如图所示的伪代码，当输入 a , b 的值分别为 1,3 时，最后输出的 a 的值为 ▲ ．
6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为 1 ，甲乙下成和棋的概率为 2 ，则乙不输棋的概
5
5
率为
▲
．
2 2 7．已知直线 y ? kx(k ? 0) 与圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1 相交于 A, B 两点，若 AB ?
2 5， 5
则k ?
▲
．
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8．若命题“存在 x ? R, ax2 ? 4 x ? a ≤ 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 9．如图，长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中， O 为 BD 1 的中点，三棱锥
D1
▲
．
C1
O ? ABD 的体积为 V1 ，四棱锥 O ? ADD1 A1 的体积为 V2 ，则
的值为 ▲ ．
V1 V2
A1 D
O
B1 C
A
（第 9 题）
B
10． 已知公差为 2 的等差数列 {an } 及公比为 2 的等比数列 {bn } 满足 a1 ? b1 ? 0, a2 ? b2 ? 0 ， 则 a3 ? b3 的取值范围是 ▲ ．
x
11．设 f ( x ) 是 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x ) ? 2 ? ln
x ，记 an ? f (n ? 5) ，则数列 4
{an } 的前 8 项和为
▲
．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A, B 分别为 x 轴， y 轴上一点，且 AB ? 2 ，若点
??? ? ??? ? ??? ? P(2, 5) ，则 AP ? BP ? OP 的取值范围是
▲
．
13．若正实数 x, y 满足 (2 xy ?1)2 ? (5 y ? 2)( y ? 2) ，则 x ?
1 的最大值为 2y
▲
．
14．已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ? cos x cos( π ? x ) （其中 A 为常数， ? ? (? π, 0) ） ，若
2
6
2
实数 x1 , x2 , x3 满足：① x1 ? x2 ? x3 ，② x3 ? x1 ? 2π ，③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ，则 ? 的 值为 ▲ ． 二、解答题： （本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ） 15． （本题满分 14 分） 在 ?ABC 中，角 A, B 的对边分别为 a , b ，向量 m ? (cos A,sin B), n ? (cos B,sin A) ． （1）若 a cos A ? b cos B ，求证： m / / n ； （2）若 m ? n , a ? b ，求 tan
A? B 的值． 2
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16． （本题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P ? ABC 中， ?PAC ? ?BAC ? 90? ， PA ? PB ，点 D ， F 分别 为 BC ， AB 的中点． （1）求证：直线 DF / / 平面 PAC ； P （2）求证： PF ? AD ．
A
F
B
D C
17． （本题满分 14 分） 一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成， AB ? 1 米，如图所 示．小球从 A 点出发以 ?v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后，经弹射器以 6v 的速度沿 与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内，落点记为 F ．设 ?AOE ? ? 弧度，小球从 A 到 F 所需时间为 T ． （1）试将 T 表示为 ? 的函数 T (? ) ，并写出定义域； （2）求时间 T 最短时 cos ? 的值．
A E O
B
F D
18． （本题满分 16 分） 已知数列 {an },{bn } 满足 2Sn ? (an ? 2)bn ，其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和．
C
2 1 ，公比为 ? 的等比数列，求数列 {bn } 的通项公式； 3 3 （2）若 bn ? n ， a2 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式； a （3）在（2）的条件下，设 cn ? n ，求证：数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其 bn
（1）若数列 {an } 是首项为 他两项之积．
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19． （本题满分 16 分）
x2 ? y 2 ? 1， A 4 为椭圆右顶点． 过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B, C 两点， 直线 AB 与圆 O 的 6 另一交点为 P ，直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ，其中 D ( ? , 0) ．设直线 AB, AC 的斜 5 率分别为 k1 , k2 ．
如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ， 椭圆 C : （1）求 k1k2 的值； （2） 记直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC ， 是否存在常数 ? ， 使得 kPQ ? ?kBC ？若存在， 求 ? 值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线 AC 必过点 Q ．
y P B
D
O
A x
C Q
20． （本题满分 16 分） 已知函数 f ? x ? ? ax ?
4
（1） 若 a ? 0 ，求证：
1 2 x ， x ? (0, ??) ， g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ． 2
（ⅰ） f ? x ? 在 f ?( x ) 的单调减区间上也单调递减； （ⅱ） g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点；
（2） 若 a ? 1 ，记 g ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ，求证： 4 ? x1 ? x2 ? a ? 4 ．
高三数学参考答案
一、填空题 1． ?1,0,1? ；
?
2． ?2 ? i ；
3． 2 2 ；
4． 200 ；
5． 5 ；
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6． ；
4 5
7． ；
1 2
8．(2, ??) ；
9． ；
1 2
10．(??, ?2) ；
11． ?16 ； 二、解答题
12． [7,11] ；
13．
3 2 ?1 ； 2
14． ?
2? . 3
15. 证明： （1）因为 a cos A ? b cos B ， 所以 sin A cos A ? sin B cos B ，所以 m / / n .
?????7 分
（2）因为 m ? n ，所以 cos A cos B ? sin A sin B ? 0 ，即 cos( A ? B) ? 0 ， 因为 a ? b ，所以 A ? B ，又 A, B ? (0, ? ) ，所以 A ? B ? (0, ? ) ，则 A ? B ?
?
2
，?12 分
A? B ? ? tan ? 1 . 2 4 16. 证明（1）∵点 D ， F 分别为 BC ， AB 的中点， ∴ DF / / AC ， 又∵ DF ? 平面 PAC ， AC ? 平面 PAC ， ∴直线 DF / / 平面 PAC ． ?????6 分 （２）∵ ?PAC ? ?BAC ? 90? ， ∴ AC ? AB ， AC ? AP ，
所以 tan 又∵ AB ? AP ? A ， AB, AP 在平面 PAB 内， ∴ AC ? 平面 PAB ， ?????8 分 ∵ PF ? 平面 PAB ，∴ AC ? PF ， ∵ PA ? PB ， F 为 AB 的中点，∴ PF ? AB ，
?????14 分
P
A
F
B
D C
∵ AC ? PF ， PF ? AB ， AC ? AB ? A ， AC , AB 在平面 ABC 内， ∴ PF ? 平面 ABC ， ∵ AD ? 平面 ABC ，∴ AD ? PF ． ?????12 分 ?????14 分
17. 解： （1）过 O 作 OG ? BC 于 G ，则 OG ? 1 ，
OF ?
OG 1 1 ? ， EF ? 1 ? ，? AE ? ? ， sin ? sin ? sin ?
A E O D
B
所以 T (? ) ?
? π 3π AE EF ? 1 1 ? ? ? ? ， ? ? [ , ] ．??7 分 4 4 5v 6v 5v 6v sin ? 6v
G F C
（写错定义域扣 1 分）
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（2） T (? ) ?
?
5v
?
1 1 ? ， 6v sin ? 6v
T ?(? ) ?
1 cos ? 6sin 2 ? ? 5cos ? (2cos ? ? 3)(3cos ? ? 2) ? ? ?? ，????9 分 2 2 5v 6v sin ? 30v sin ? 30v sin 2 ?
2 π 3π ]， ，?0 ? [ , 3 4 4 ? ? ( ,?0 ) 4 T ?(? )
记 cos ? 0 ?
?0
0
(? 0 ,
3? ) 4 +
T (? )
故当 cos ? ?
?
?
????14 分
2 时，时间 T 最短． 3 2 1 n ?1 1 n 18. 解： （1）因为 an ? (? ) ? ?2(? ) ， 3 3 3 2 1 [(1 ? (? ) n ] 3 ? 1 [(1 ? (? 1 ) n ] ， Sn ? 3 1 2 3 1 ? (? ) 3 1 1 ? (? ) n 2Sn 1 3 所以 bn ? ? ? ． an ? 2 ?2(? 1 ) n ? 2 2 3
（2）若 bn ? n ，则 2Sn ? nan ? 2n ，∴ 2Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 ， 两式相减得 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 2 ，即 nan ? (n ? 1)an?1 ? 2 ， 当 n ? 2 时， (n ? 1)an?1 ? (n ? 2)an ? 2 ， 两式相减得 (n ?1)an?1 ? (n ?1)an?1 ? 2(n ?1)an ，即 an?1 ? an?1 ? 2an ， 又由 2S1 ? a1 ? 2 ， 2S2 ? 2a2 ? 4 得 a1 ? 2 ， a2 ? 3 ， 所以数列 {an } 是首项为 2 ，公差为 3 ? 2 ? 1 的等差数列， 故数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 1 ．
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????2 分
????4 分
????8 分
????10 分
（3）由（2）得 cn ?
n ?1 ， n
对于给定的 n ? N * ，若存在 k , t ? n, k , t ? N * ，使得 cn ? ck ? ct ，
n ?1 k ?1 t ?1 ? ? ， n k t 1 1 1 1 1 1 1 n(k ? 1) 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ，即 ? ? ? ，则 t ? ， n k t n k t kt k ?n 取 k ? n ? 1 ，则 t ? n(n ? 2) ，
只需 ∴对数列 {cn } 中的任意一项 cn ?
????12 分
n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 ，都存在 cn ?1 ? 和 cn2 ? 2 n ? 使得 n n ?1 n 2 ? 2n
????16 分
cn ? cn?1 ? cn2 ?2n ．
19．解： （1）设 B( x0 , y0 ) ，则 C (? x0 , ? y0 ) ，
x0 2 ? y0 2 ? 1 4
1 2 x0 y0 y0 y0 1 4 ? ? 2 ? 2 ?? ． 所以 k1k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 4
2
1?
????4 分
（2）联立 ?
? y ? k1 ( x ? 2) ?x ? y ? 4
2 2
得 (1 ? k12 ) x2 ? 4k12 x ? 4(k12 ?1) ? 0 ，
2(k12 ? 1) ?4k1 解得 xP ? ， , yP ? k1 ( xP ? 2) ? 2 1 ? k1 1 ? k12
? y ? k1 ( x ? 2) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 得 (1 ? 4k1 ) x ?16k1 x ? 4(4k1 ?1) ? 0 ， 2 ? ? y ?1 ?4
解得 xB ?
2(4k12 ? 1) ?4k1 ， , yB ? k1 ( xB ? 2) ? 2 1 ? 4k1 1 ? 4k12
yB ?2k ? 2 1 ， k PQ xB 4k1 ? 1
?4k1 yP 1 ? k12 ?5k ? ? ? 2 1 ， 2 6 2(k1 ? 1) 6 4k1 ? 1 xP ? ? 5 1 ? k12 5
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????8 分
所以 k BC ?
5 5 5 k BC ，故存在常数 ? ? ，使得 k PQ ? k BC ． 2 2 2 6 8 （3）当直线 PQ 与 x 轴垂直时， Q ( ? , ? ) ， 5 5 8 ? 5 ? 1 ? k ，所以直线 AC 必过点 Q ． 则 k AQ ? 2 6 ? ?2 2 5
所以 k PQ ? 当直线 PQ 与 x 轴不垂直时，直线 PQ 方程为： y ?
????10 分
?5k1 6 (x ? ) ， 2 4k1 ? 1 5
?5k1 6 ? ?2(16k12 ? 1) 16k1 ? y ? 4k 2 ? 1 ( x ? 5 ) 联立 ? ，解得 xQ ? ， , yQ ? 1 2 16k1 ? 1 16k12 ? 1 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
所以 k AQ
16k1 16k12 ? 1 1 ? ?? ? k2 ， 故直线 AC 必过点 Q ． 2 ?2(16k1 ? 1) 4k1 ?2 16k12 ? 1
????16 分
（不考虑直线 PQ 与 x 轴垂直情形扣 1 分） 20. 证： （1）因为 f ? x ? ? ax ?
4
1 2 x ? x ? 0 ? ，所以 f ?( x) ? 4ax3 ? x ， 2
3 2 由 (4ax ? x)? ? 12ax ?1 ? 0 得 f ?( x ) 的递减区间为 (0,
1 )， 2 3a
????2 分
当 x ? (0,
1 ) 时， f ?( x) ? 4ax3 ? x ? x(4ax2 ?1) ? 0 ， 2 3a
????4 分
所以 f ? x ? 在 f ?( x ) 的递减区间上也递减． （2）解 1： g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4
1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x ， 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ，由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 ， 2 2 1 1 3 2 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ，则 ? ?( x) ? 3ax ? 8ax ? ， 2 2
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因为 a ? 0 ，且 ? ?(0) ? ?
1 ? 0 ，所以 ? ?( x ) 必有两个异号的零点，记正零点为 x0 ，则 2
x ? (0, x0 ) 时，? ?( x) ? 0 ，? ( x) 单调递减； x ? ( x0 , ??) 时，? ?( x) ? 0 ，? ( x) 单调递增，
若 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点，则 ? ( x0 ) ? 0 ， 由 ? ?( x0 ) ? 3ax0 ? 8ax0 ?
2
????7 分
1 1 ? 0 得 3ax0 2 ? 8ax0 ? ， 2 2 32 1 7 4 8 1 ax0 ? x0 ? ，又因为对称轴为 x ? , 所以 ? ( ) ? ? (0) ? ? ? 0 ， 所以 ? ( x0 ) ? ? 9 3 9 3 3 2 8 7 32 1 7 ax0 ? ( x0 ? ) ? 0 ， 所以 x0 ? ? ，所以 ? ( x0 ) ? ? 3 3 9 3 3 1 1 2 1 3 2 2 又 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ? ax ( x ? 8) ? x(ax ? 1) ? 1 ， 2 2 2
设
1 ,8 中的较大数为 M ，则 ? (M ) ? 0 ， a
故 a ? 0 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点． ????10 分
1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x ， 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ，由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 ， 2 2 1 3 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ， 2
解 2： g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4
若 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点，则 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点， 当 x ? 2 时， 由 ? ( x) ? 0 得 a ? 0 ，此时 ? ( x) ? ? 合题意；
3 2 当 x ? 2 时，由 ? ( x) ? ax ? 4ax ?
1 x ? 1 在 (0, ??) 上只有一个零点，不 2
1 1 x3 ? 4 x 2 x ?1 ? 0 得 ? ， 2 2a x?2
????7 分
令 ?1 ( x) ?
x3 ? 4 x 2 8 ? x2 ? 2x ? 4 ? ， x?2 x?2
5 7 2 x[( x ? ) 2 ? ] 2 4 ? 0， ( x ? 2) 2
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2 x( x 2 ? 5 x ? 8) ?( x ) ? ? 则 ?1 ( x ? 2) 2
当 x ? (0, 2) 时， ? ( x) 单调递增，且由 y ? x ? 2 x ? 4, y ? ?
2
8 值域知 x?2
； ，由 ? ( x) 值 域 为 ( 0 ?? , ) 当 x ? (2, ??) 时 ， ?1 ( x) 单 调 递 增 ， 且 ?1 ( 4 ) ? 0
8 2 y? x ?2 x ?4 , y ? ? 值域知 ? ( x) 值域为 (??, ??) ； x?2 1 1 ? 0 ，而 y ? 因为 a ? 0 ，所以 与 ?1 ( x) 有两个交点，所以 ?1 ( x) 在 (0, ??) 上 2a 2a
恰有两个零点． （3）解 1：由（2）知，对于 ? ( x) ? ax ? 4ax ?
3 2
????10 分
1 x ? 1 在 (0, ??) 上恰有两个零点 x1 , x2 ， 2 1 1 1 不妨设 x1 ? x2 ，又因为 ? (0) ? 1 ? 0 ，? ( ) ? (6 ? 7 a ) ? 0 ，所以 0 ? x1 ? ，??12 分 2 8 2
又因为 ? (4) ? ?1 ? 0 ， ? ( ) ?
9 1 9 (657 a ? 10) ? 0 ，所以 4 ? x2 ? ， 2 8 2 1 9 所以 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 5 ? a ? 4 ． 2 2
????16 分
解 2：由（2）知
1 x3 ? 4 x 2 ? ， 2a x?2
1 2 7 1 1 ? ?1 ( ) ， ， ?1 (0) ? 0 ? ?1 ( x1 ) ? 12 2a 2
????12 分
因为 x ? [0, 2) 时， ?1 ( x) 单调递增， ? ( ) ? 所以 0 ? x1 ?
1 ， 2 9 2
当 x ? (2, ??) 时， ?1 ( x) 单调递增， ?1 ( ) ? 所以 4 ? x2 ?
81 1 9 ? ?1 ( ) ， ， ?1 (4) ? 0 ? ?1 ( x2 ) ? 20 2a 2
9 ， 2 1 9 ? ?5?a?4． 2 2
????16 分
所以 4 ? x1 ? x2 ?
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