tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江省温州八校2013届高三数学9月期初联考试卷 理 新人教A版

2012 学年第一学期“温州八校”期初联考

数学(理科)试卷

2012.9

选择题部分(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项符合题目要求.

1.设集合 A ={(x, y) | 4x ? y ? 6} , B ? {(x, y) | 3x ? 2y ? 7}, 则 A ? B ? ( ▲ )

A.{x ? 1或y ? 2} B.{(1, 2)}

C. {1, 2}

D. (1, 2)

2.已知复数 z1 ? m ? 2i, z2

? 3 ? 4i,若 z1 z2

为实数,则实数 m 的值为(





A. 2

B. -2

C. 3 2

D. ? 3 2

3.阅读右图的程序框图, 若输出 S 的值等于16 , 那么在程序框图中的判

断框内应填写的条件是( ▲ )

A. i ? 5 ?

B. i ? 6 ?

C. i ? 7 ?

D. i ? 8 ?

4.设 x ? R , 那么“ x ? 0 ”是“ x ? 3”的( ▲ )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条



5.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是 ( ▲ )

A.27

B.30

C.33

D.36

6.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f (n) 个区域,则

表达式为( ▲ )

A. n ?1

B. 2n

C. n2 ? n ? 2 2

7.已知随机变量 X 的分布列如右表,则 D( X ) =( ▲ ) X

A.0.4

B.1.2

C. 1.6

D.2

P

f (n) 的
D. n2 ? n ?1
013 0.2 0.2 y

8.设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 0 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为

(▲)

A. y2 ? 4x

B. y2 ? ?4x C. y2 ? 4x 或 y ? 0(x ? 0) D. y2 ? 4x 或 y ? 0

?x ? y ?1 9.设 x, y 满足约束条件 ??x ? 2 y ? ?2 ,若 x2 ? 4 y2 ? a 恒成立,则实数 a 的最大值为
??3x ? 2 y ? 3
(▲)

用心 爱心 专心

1

A. 53 2

B. 4 5

C.4

D.1

10.已知函数

f

(x)

?| lg(?x) |, x ? 0,

?

? ?

x3

?

6x

?

4,

x

?

0,

若关于

x

的函数

y

?

f

2 (x) ? bf

(x) ?1有

8 个不同

的零点, 则实数 b 的取值范围是( ▲ )

A. (2,??)

B.[2,??)

C. (2, 17 ) 4

D. (2, 17 ] 4

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢
笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11. (1? x)4 ? (1? x)4 的展开式中 x2 项的系数是 ▲

.

12.如图所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图,

则由图形中的数据,可知其中位数为



.

13.已知 A, B 是圆 C ( C 为圆心)上的两点,| AB |? 2 ,

则 AB ? AC =



14.设中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 ,且过点(5,4),
则其焦距为 ▲
15.在二面角? ? l ? ? 中,A?l, B ?l, AC ? ?, BD ? ? , 且 AC ? l, BD ? l, 已知 AB ? 1,

AC ? BD ? 2, CD ? 5 , 则二面角? ? l ? ? 的余弦值为 ▲

用心 爱心 专心

2

16.已知函数 f (x) ?|1? 3sin 2x |,若 f (2x ? a) ? f (2x ? a) 恒成立,则实数 a 的最小正
值为▲ 17.某停车场有一排编号为 1 至 7 的七个停车空位,现有 2 辆不同的货车与 2 辆不同的客车 同时停入,每个车位最多停一辆车,若同类车不停放在相邻的车位上,则共有 ▲ 种 不同的停车方案。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,已知 sin A ? 2 2 . 3
(Ⅰ)求 sin B ? C 的值; 2
(Ⅱ)若 a ? 2, S?ABC ? 2 , 求 b 的值.
19.(本题满分 14 分)等差数列?an? 的首项为 a1 ,公差 d ? ?1 ,前 n 项和为 Sn
(Ⅰ)若 S5 ? ?5 ,求 a1 的值;
(Ⅱ)若 Sn ? an 对任意正整数 n 均成立,求 a1 的取值范围。

20.(本题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形,且 PA ? AD ?1,

AB ? 2 , ?PAB ? 120?, ?PBC ? 90? ,

D

C

(Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由;

(Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

A

B

P

21.(本题满分

15 分)已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

?1 (a

?b

?

0) 上的动点到焦点距离的最小值

为 2 ?1。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点, P 为椭圆上一点, 且满足

OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点)。当| AB |? 2 5 时,求实数 t 的值. 3

用心 爱心 专心

3

22.(本题满分 15 分)已知函数 f (x) ? 4 ln x ? ax ? a ? 3 ( a ? 0 ) x
(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性;

(Ⅱ)当

a

? 1时,设

g(x)

?

2e x

?

4x

?

2a

,若存在

x1

,

x2

?[1 2

,2]

,使

f

( x1 )

?

g(x2 )



求实数 a 的取值范围。 (e 为自然对数的底数, e ? 2.71828?)

2012 学年第一学期“温州八校”期初联考 数学(理科)参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50分)

题号 1

















10

答案

B

D

A

A

B

C

C

C

B

D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分)

11.--4 12. 13

13. 2

14. 6 2

15. 1 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.(本题满分 14 分)

16. ?

17.440

(Ⅰ)在锐角 ?ABC 中,由 sin A ? 2 2 可得 cos A ? 1 , ………………………3 分

3

3

则 sin B ? C ? sin(? ? A) ? cos A

2

22

2

…………………………5 分

=6 3

…………………………7 分

(Ⅱ)由 S?ABC ? 2 得 bc ? 3 ,

…………………………10 分

又由余弦定理得 b2 ? c2 ? 6 ,可解得 b ? 3

…………………………14 分

用心 爱心 专心

4

19. (本题满分 14 分)

(Ⅰ)由条件得,

S5

?

5a1

?

5?4 2

d

?

?5,

………………………3 分

解得 a1 ? 1

………………………5 分

(Ⅱ)由 Sn

?

an

,代人得 ?

1 2

n2

?

(a1

?

1)n 2

?

a1

?1? n

………………………7 分

整理,变量分离得:

(n

?1)a1

?

1 2

n2

?

3 2

n

?1

?

1 2

(n

?1)(n

?

2)

………………9 分

当 n ?1 时,上式成立

…………………………10 分



n

?1

时,

a1

?

1 2

(n

?

2)

n ? 2 时,1 (n ? 2) 取到最小值 0 , 2

…………………………11 分 …………………………12 分

?a1 ? 0

…………………

………………… 14 分 20.(本小题满分14 分)

z

D

C

(I)平面 PAD ? 平面 PAB ; …………………1 分
证明:由题意得 AD ? AB 且 AD // BC

A

By

又 BC ? PB ,则 DA ? PB

…………………………3 分

则 DA ? 平面 PAB ,

………………5 分

P x

故平面 PAD ? 平面 PAB

………………7 分

(Ⅱ)解法 1:以点 A 为坐标原点,AB 所在的直线为y轴建立

空间直角坐标系如右图示,则 D(0,0,1) , C(0, 2,1) , P( 3 , ? 1 , 0) 可得 CP ? ( 3 , ? 5 , ?1) , 9

22

22



平面 ABCD 的单位法向量为 m ? (1,0,0) ,

……………………………………11 分

3

设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为? ,则 cos(? ?? ) ? m ?CP ?

2

?6

2

| m | ? | CP | 1? 3 ? 25 ?1 8

44

13 分

则 sin? ? 6 ,即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 6 ……………………………14 分

8

8

解法 2:由(I)知 DA ? 平面 PAB ,∵ AD ? 面 ABCD

∴平面 ABCD⊥平面 PAB,

…………………………9 分

在平面 PAB 内,过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,则 PE⊥平面 ABCD,连结 EC,

则∠PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角,

…………………………11 分

在 Rt△PEA 中,∵∠PAE=60°,PA=1,∴ PE ? 3 , 2
又 PB2 ? PA2 ? AB2 ? 2PA? AB cos120 ? 7

D

C

EA

B

用心 爱心 专心

5

P

∴ PC ? PB2 ? BC2 ? 2 2 …………………………13 分 3
在 Rt△PEC 中 sin? ? PE ? 2 ? 6 .………………14 分 PC 2 2 8
21.(本题满分 15 分)
解:(Ⅰ)由题意知 a ? c ? 2 ?1;
又因为 b ? 2 ? 1,所以 a2 ? 2 , b2 ?1. 1?1
故椭圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 . 2

………………2 分 ………………4 分 ………………5 分

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k(x ? 2) , A(x1, y1) , B(x2, y2 ), P(x, y) ,

? y ? k(x ? 2),



? ?

x

2

?? 2

?

y2

? 1.

得 (1? 2k 2 )x2

? 8k 2x ? 8k 2 ? 2 ? 0 .

……………………7 分

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ?1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ? 1 . 2

……………………9 分

x1 ? x2

8k 2 ? 1? 2k2

, x1

x2

?

8k 2 ? 1? 2k

2
2

.又由

|

AB |?

25 3

,得,

1?

k2

|

x1

?

x2

|?

25 3

……………………11 分

可得. k 2 ? 1 4

……………………12 分

又由 OA ? OB ? tOP ,得 (x1 ?

x2 ,

y1

?

y2 )

? t(x,

y) ,则 x

?

x1

? t

x2

?

8k 2 t(1? 2k 2 )



y

?

y1

? t

y2

?

1[k t

(

x1

?

x2 ) ? 4k] ?

?4k t(1? 2k 2 )



……………………13 分

故 (8k 2 )2 t 2 (1? 2k 2 )2

? 2 (?4k)2 t 2 (1? 2k 2 )2

? 2 ,即16k2

? t2(1? 2k2) .

……………………14 分

得, t 2 ? 8 ,即 t ? ? 2 6

3

3

22.(本题满分15分)

用心 爱心 专心

……………………15 分
6

解:(Ⅰ)

f

' ( x)

?

4 x

?

a

?

a?3 x2

?

?

ax2

?

4x ? x2

(a

?

3)



x

?

0



………………1分

令 h(x) ? ?ax2 ? 4x ? (a ? 3)

? 当 a ? 0 时, h(x) ? 4x ? 3 , f (x) 的减区间为 (0, 3] ,增区间为([ 3 ,??) 。……2分

4

4

? 当 a ? 0 时, ? ? ?4(a ?1)(a ? 4)

所以当 a ? 1时, ? ? 0, h(x) ? 0, f (x) 在区间 (0,??) 上单调递减。 ………………4分



0

?

a

? 1时,

?

?

0



x1

?

x2

?

4 a

?

0,

x1

?

x2

?

a

? a

3

?

0

2? x1 ?

? (a ?1)(a ? 4) a

? 0 , x2

?

2?

? (a ?1)(a ? 4) ?0
a

当 x ? (0, x1) 时, h(x) ? 0, f (x) 单调递减,

当 x ? (x1, x2 ) 时, h(x) ? 0, f (x) 单调递增,

当 x ?(x2, ? ?) 时, h(x) ? 0, f (x) 单调递减,

……………………7分

所以当 a ? 0 时, f (x) 的减区间为 (0, 3] ,增区间为([ 3 ,??) 。

4

4

当 a ? 1时, f (x) 的减区间为 (0,??) 。

当 0 ? a ?1时, f (x) 的减区间为 (0, 2 ? ? (a ?1)(a ? 4) ) , ( 2 ? ? (a ?1)(a ? 4) ,??)

a

a

增区间为 ( 2 ?

? (a ?1)(a ? 4) 2 ? ,

? (a ?1)(a ? 4) ) 。

a

a

……………………8分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f (x) 在[ 1 ,2] 上的最大值为 f (1) ? ?4 ln 2 ? 3 a ? 6 , ………10分

2

2

2

g ' (x) ? 2ex ? 4, 令 g ' (x) ? 0 ,得 x ? ln 2.

x ?[1 , ln 2) 时, g ' (x) ? 0 , g (x) 单调递减, 2
x ?(ln 2,2] 时, g ' (x) ? 0 , g (x) 单调递增,

……………………12分

所以 g(x) 在[ 1 ,2] 上的最小值为 g(ln 2) ? 4 ? 4ln 2 ? 2a , 2

……………………13分

用心 爱心 专心

7

由题意可知 ? 4 ln 2 ? 3 a ? 6 ? 4 ? 4ln 2 ? 2a ,解得 a ? 4 2
所以1? a ? 4


………………14分 ……………………15

用心 爱心 专心

8


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com