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浙江省温州八校2013届高三数学9月期初联考试卷 理 新人教A版

2012 学年第一学期“温州八校”期初联考
数学(理科)试卷 选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.设集合 A = {( x, y ) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x, y) | 3x ? 2 y ? 7}, 则 A ?B ? ( ▲ ) A. {x ? 1或y ? 2} B. {(1, 2)} C. {1, 2} D. (1, 2) 2012.9

2.已知复数 z1 ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i, 若 A. 2 B. -2

z1 为实数,则实数 m 的值为( ▲ ) z2

C.

3 2

D. ?

3 2

3.阅读右图的程序框图, 若输出 S 的值等于 16 , 那么在程序框图中的判 断框内应填写的条件是( ▲ ) A. i ? 5 ? B. i ? 6 ? C. i ? 7 ? D. i ? 8 ?

4.设 x ? R , 那么“ x ? 0 ”是“ x ? 3 ”的( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条 5. 如图是一个几何体的三视图, 则这个几何体的体积是 ( ▲ ) A.27 B.30 C.33 D.36 6.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f (n) 个区域,则 表达式为( ▲ ) A. n ? 1 B. 2n C.



f ( n) 的

n2 ? n ? 2 2
X P

D. n ? n ? 1
2

7. 已知随机变量 X 的分布列如右表, D(X ) = ▲ ) 则 ( A.0.4 B.1.2 C. 1.6
2 2

D.2

0 0.2

1 0.2

3 y

8.设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C : x ? y ? 2 x ? 0 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( ▲ ) A. y ? 4 x
2

B. y ? ?4 x
2

C. y ? 4 x 或 y ? 0( x ? 0)
2

D. y ? 4 x 或 y ? 0
2

?x ? y ? 1 ? 2 2 9.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? ?2 ,若 x ? 4 y ? a 恒成立,则实数 a 的最大值为 ?3x ? 2 y ? 3 ?
( ▲ )

用心 爱心 专心

1

A.

53 2

B.

4 5

C.4

D.1

10.已知函数 f ( x) ? ?

?| lg(? x) |, x ? 0,
3 ?x ? 6 x ? 4, x ? 0,

若关于 x 的函数 y ? f 2 ( x) ? bf ( x) ? 1 有 8 个不同

的零点, 则实数 b 的取值范围是( ▲ ) A. (2,??) B. [2,??) C. ( 2,

17 ) 4

D. ( 2,

17 ] 4

非选择题部分(共 100 分) 注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢 笔描黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中 x 2 项的系数是
4 4



.

12.如图所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图, 则由图形中的数据,可知其中位数为 ▲ .

13.已知 A, B 是圆 C ( C 为圆心)上的两点, | AB |? 2 , 则 AB ? AC =

??? ?

??? ??? ? ?



14.设中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 ,且过点(5,4) , 则其焦距为 ▲

15. 在二面角 ? ? l ? ? 中,A ? l , B ? l , AC ? ? , BD ? ? , 且 AC ? l , BD ? l , 已知 AB ? 1,

AC ? BD ? 2 , CD ? 5 , 则二面角 ? ? l ? ? 的余弦值为



用心 爱心 专心

2

16.已知函数 f ( x) ?| 1 ? 3 sin 2 x | ,若 f (2 x ? a) ? f (2 x ? a) 恒成立,则实数 a 的最小正 值为▲ 17. 某停车场有一排编号为 1 至 7 的七个停车空位, 现有 2 辆不同的货车与 2 辆不同的客车 同时停入,每个车位最多停一辆车,若同类车不停放在相邻的车位上,则共有 ▲ 种 不同的停车方案。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 本题满分 14 分) ( 在锐角 ?ABC 中, A, B, C 所对边分别为 a, b, c , 角 已知 sin A ? (Ⅰ)求 sin

2 2 . 3

B?C 的值; 2

(Ⅱ)若 a ? 2, S?ABC ? 2 , 求 b 的值. 19. (本题满分 14 分)等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差 d ? ?1,前 n 项和为 S n (Ⅰ)若 S5 ? ?5 ,求 a1 的值; (Ⅱ)若 S n ? an 对任意正整数 n 均成立,求 a1 的取值范围。

20. (本题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形,且 PA ? AD ? 1 ,

AB ? 2 , ?PAB ? 120? , ?PBC ? 90? ,
(Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

D

C

A

B

P

21. (本题满分 15 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的动点到焦点距离的最小值 a 2 b2

为 2 ? 1 。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点, P 为椭圆上一点, 且满足

OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点) | AB |? 。当

2 5 时,求实数 t 的值. 3
3

用心 爱心 专心

22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 4 ln x ? ax ? (Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性;

a?3 (a ? 0 ) x

(Ⅱ)当 a ? 1 时,设 g ( x) ? 2e x ? 4 x ? 2a ,若存在 x1 , x2 ? [ ,2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

1 2

? 求实数 a 的取值范围。 (e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 )

2012 学年第一学期“温州八校”期初联考 数学(理科)参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50分) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 A 5 B 6 C 7 C 8 C 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11.--4 12. 13 13. 2 14. 6 2 15.

1 2

16. ?

17.440

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.(本题满分 14 分) (Ⅰ)在锐角 ?ABC 中,由 sin A ? 则 sin

2 2 1 可得 cos A ? , 3 3

?????????3 分

B?C ? A A ? sin( ? ) ? cos 2 2 2 2

??????????5 分

=

6 3

??????????7 分

(Ⅱ)由 S ?ABC ?

2 得 bc ? 3 ,
3

??????????10 分 ??????????14 分
4

2 2 又由余弦定理得 b ? c ? 6 ,可解得 b ?

用心 爱心 专心

19. (本题满分 14 分) (Ⅰ)由条件得, S 5 ? 5a1 ? 解得 a1 ? 1 (Ⅱ)由 S n ? an ,代人得 ?

5? 4 d ? ?5, 2

?????????3 分 ?????????5 分

1 2 1 n ? (a1 ? )n ? a1 ? 1 ? n ?????????7 分 2 2 1 2 3 1 整理,变量分离得: (n ? 1)a1 ? n ? n ? 1 ? (n ? 1)( n ? 2) ??????9 分 2 2 2
当 n ? 1 时,上式成立 当 n ? 1 时, a1 ? ??????????10 分 ??????????11 分 ??????????12 分 ???????
z

1 (n ? 2) 2

1 n ? 2 时, ( n ? 2) 取到最小值 0 , 2

?a1 ? 0
??????? 14 分

D

C

20. (本小题满分14 分) (I)平面 PAD ? 平面 PAB ; ???????1 分 证明:由题意得 AD ? AB 且 AD // BC 又 BC ? PB ,则 DA ? PB ??????????3 分 则 DA ? 平面 PAB , ??????5 分 故平面 PAD ? 平面 PAB ??????7 分 (Ⅱ)解法 1:以点 A 为坐标原点,AB 所在的直线为y轴建立

A

B y

P

x

??? ? 空间直角坐标系如右图示,则 D(0, 0,1) , C (0, 2,1) , P( 3 , ? 1 , 0) 可得 CP ? ( 3 , ? 5 , ?1) , 9 2 2 2 2 分 ?? 平面 ABCD 的单位法向量为 m ? (1, 0, 0) , ??????????????11 分

?? ??? ? m 设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 ? ,则 cos( ? ? ) ? ??? ? CP ? ? ???? 2 | m | ? | CP |

?

3 6 2 ? 8 3 25 1? ? ?1 4 4

13 分

则 sin ? ? 6 ,即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 6 ???????????14 分 8 8 解法 2:由(I)知 DA ? 平面 PAB ,∵ AD ? 面 ABCD ∴平面 ABCD⊥平面 PAB, ??????????9 分 在平面 PAB 内,过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,则 PE⊥平面 ABCD,连结 EC, 则∠PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角, ??????????11 分 在 Rt△PEA 中,∵∠PAE=60°,PA=1,∴ PE ? 3 , 2 2 2 2 ? 又 PB ? PA ? AB ? 2PA ? AB cos120 ? 7
D C

E A
用心 爱心 专心

B
5

P

∴ PC ? PB2 ? BC 2 ? 2 2 ??????????13 分
3 PE 2 ? 6 .??????14 分 在 Rt△PEC 中 sin ? ? ? PC 2 2 8

21. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)由题意知 a ? c ? 2 ? 1 ; 又因为 b ? ??????2 分

2 ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , b 2 ? 1 . 1?1
x2 ? y 2 ? 1. 2

??????4 分

故椭圆 C 的方程为

??????5 分

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

????????7 分

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
x1 ? x2 ?

1 . 2

????????9 分

8k 2 8k 2 ? 2 2 5 , x1 ?x2 ? .又由 | AB |? ,得, 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3

1 ? k 2 | x1 ? x2 |?
可得. k ?
2

2 5 3

????????11 分 ????????12 分

1 4

又由 OA ? OB ? t OP ,得 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) ,则 x ?

x1 ? x2 8k 2 ? , t t (1 ? 2k 2 )
????????13 分

y?

y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

(8k 2 )2 (?4k )2 故 2 ?2 2 ? 2 ,即 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) . 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )
得, t ?
2

????????14 分

8 2 6 ,即 t ? ? 3 3

????????15 分

22. (本题满分15分)
用心 爱心 专心 6

解: (Ⅰ)

f ' ( x) ?

4 a ? 3 ? ax2 ? 4 x ? (a ? 3) , x ? 0 。 ??????1分 ?a? 2 ? x x x2

令 h( x) ? ?ax2 ? 4 x ? (a ? 3) ? 当 a ? 0 时, h( x) ? 4 x ? 3 , f (x ) 的减区间为 (0, ] ,增区间为( [ ,??) 。??2分

3 4

3 4

? 当 a ? 0 时, ? ? ?4(a ? 1)(a ? 4) 所以当 a ? 1 时, ? ? 0, h( x) ? 0, f (x ) 在区间 (0,??) 上单调递减。 ??????4分 当 0 ? a ? 1 时, ? ? 0 , x1 ? x2 ?

4 a?3 ? 0, x1 ? x2 ? ?0 a a

x1 ?

2 ? ? (a ? 1)(a ? 4) 2 ? ? (a ? 1)(a ? 4) ? 0 , x2 ? ?0 a a

当 x ? (0, x1 ) 时, h( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, h( x) ? 0, f ( x) 单调递增, 当 x ? ( x2, ? ?) 时, h( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 所以当 a ? 0 时, f (x ) 的减区间为 (0, ] ,增区间为( [ ,??) 。 当 a ? 1 时, f (x ) 的减区间为 (0,??) 。 ????????7分

3 4

3 4

当 0 ? a ? 1 时, f (x ) 的减区间为 (0,

2 ? ? (a ? 1)(a ? 4) 2 ? ? (a ? 1)(a ? 4) ) ,( ,??) a a
????????8分

增区间为 (

2 ? ? (a ? 1)(a ? 4) 2 ? ? (a ? 1)(a ? 4) , )。 a a

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f (x ) 在 [ ,2] 上的最大值为 f ( ) ? ?4 ln 2 ?

1 2

1 2

3 a ? 6 , ???10分 2

g ' ( x) ? 2e x ? 4, 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2.
1 x ? [ , ln 2) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 单调递减, 2

x ? (ln 2,2] 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 单调递增,
所以 g (x) 在 [ ,2] 上的最小值为 g (ln 2) ? 4 ? 4 ln 2 ? 2a ,

????????12分 ????????13分

1 2

用心 爱心 专心

7

由题意可知 ? 4 ln 2 ?

3 a ? 6 ? 4 ? 4 ln 2 ? 2a ,解得 a ? 4 2

??????14分

所以 1 ? a ? 4 分

????????15

用心 爱心 专心

8


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