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【高考数学学习数学必修五】高中数学必修五:3.3《二元一次不等式组与简单的线性规划问题(3)》课件


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
不等式

第三章 3.3 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题 第3课时 线性规划的应用

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

?

某加工厂用某原料由甲车间加工A产品,由乙车间加工B产品, 甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可生产出7kgA产品,

每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6h,
可生产出4kgB产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间 每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费 工时总和不得超过480h,你能为甲、乙两车间制定一个生产 计划,使每天的获利达到最大吗?

? ?

用图解法求最优解的步骤
(1)画.在直角坐标平面上画出可行域和直线 ax+by=0(目 标函数为z=ax+by);

?

(2)移.平行移动直线________,确定使z=ax+by取得最大 值或最小值的点;
(3)求.求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组) 及z的最大值或最小值; (4)答.给出正确答案. [答案] ax+by=0

?

? ?

? ? ?

线性规划的实际应用
常见的线性规划类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源 能使完成的任务最多,得到的效益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费 的人力、物力资源最少.此类问题常见的有:①物资调运; ②产品安排问题;③用料问题.

?

某公司计划 2012 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300min 的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广 告收费标准分别为 500 元/min 和 200 元/min,已知甲、乙两个 电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别 为 0.3 万元和 0.2 万元. 该公司要想获得最大收益, 应分配在甲 电视台________min 广告时间,乙电视台________min 广告时 间,获得的最大收益为________万元.
?

[答案] 100

200

70

?

[分析] 根据题意可设出该公司在甲、乙电视台做广告的时 间,依据做广告总时间不超过 300min,广告费不超过 9万元 及时间为非负数,列出不等式组,画出可行域,依据甲、乙 电视台为该公司所做的每分钟广告给公司带来的收益,得到 目标函数则可利用线性规划知识求解.

[ 解析]

设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分

别为 xmin 和 ymin,总收益为 z 元, ?x+y≤300 ? 由题意得约束条件为?500x+200y≤90 000 ?x≥0,y≥0 ? ,

目标函数为 z=3 000x+2 000y. ?x+y≤300 ? 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900 ?x≥0,y≥0 ? .

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如 3 z 图,把 z=3 000x+2 000y 变形为 y=-2x+2 000,得到斜率为 3 z -2,在 y 轴上的截距为2 000的一组平行直线. 观察图形可以看出, 当直线 z=3 000x+2 000y 经过可行域 z 上的点 M 时,截距2 000最大,即 z 最大.

? ?x+y=300 解方程组? ? ?5x+2y=900

,得点 M 的坐标为(100,200).

∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). ∴该公司在甲电视台做 100min 广告, 在乙电视台做 200min 广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

课堂典例探究

?

收益最大问题(利润、收入、产量等)

某工厂计划生产甲、 乙两种产品, 这两种产品都 需要两种原料.生产甲产品 1 工时需要 A 种原料 3kg,B 种原 料 1kg;生产乙产品 1 工时需要 A 种原料 2kg,B 种原料 2kg. 现有 A 种原料 1 200kg, B 种原料 800kg.如果生产甲产品每工时 的平均利润是 30 元,生产乙产品每工时的平均利润是 40 元, 问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大?最大 利润是多少?

[ 解析]

依题意可列表如下: 原料 A 数量 (kg) 3 2 1 200 原料 B 数量 (kg) 1 2 800 利润(元) 30 40

产品 生产甲种产品 1 工时 生产乙种产品 1 工时 限额数量

设计划生产甲种产品用 x 工时,生产乙种产品用 y 工时, 则获得利润总额为 t=30x+40y.①

其中 x、y 满足下列条件 ? ?3x+2y≤1 200 ?x+2y≤800 ? ?x≥0 ? ?y≥0



于是问题转化为,在 x、y 满足条件②的情况下,求 t=30x +40y 的最大值. 画出不等式组②表示的平面区域 OABC 如图.

问题又可以转化为,在不等式组②表示的平面区域内找一 点,把它的坐标代入式子 30x+40y 时,使该式取最大值. 令 30x+40y=0,则此方程表示通过原点的一条直线,记 为 l0.易知,在区域 OABC 内有 30x+40y≥0.考察这个区域内任 意一点 P(x,y)到 l0 的距离 |30x+40y| 30x+40y d= ,于是 30x+40y=50d, 2 2= 50 30 +40 这就是说,点 P(x,y)到直线 l0 的距离 d 越大,式子 30x+ 40y 的值也越大.因此,问题就转化为:在不等式组②表示的 平面区域内,找与直线 l0 距离最大的点.

为了在区域 OABC 内精确地找到这一点,我们平移直线 l0 到位置 l,使 l 通过平面区域 OABC,可见当 l 经过点 B 时,l 与 l0 的距离最大,∴d 最大.
? ?3x+2y=1 200 解方程组? ? ?x+2y=800



得点 B 的坐标(200,300),代入式子①,得 tmax=30×200+40×300=18 000. 答: 用 200 工时生产甲种产品, 用 300 工时生产乙种产品, 能获得最大利润 18 000 元.

[ 方法总结]

本例解答中, 我们将探求 t=30x+40y 的最大

值问题,转化为与 l0:3x+4y=0 平行的直线 l 经过可行域到直 3 t 线 l0 距离最大的问题. 这与将 t=30x+40y 变形为 y=-4x+40, t 当此直线在 y 轴上的截距40最大时,t 取最大值的思路是一致 的.

某厂计划生产甲、乙两种产品,甲产品售价 50 千元/件, 乙产品售价 30 千元/件,生产这两种产品需要 A、B 两种原料, 生产甲产品需要 A 种原料 4t/件,B 种原料 2t/件,生产乙产品 需要 A 种原料 3t/件, B 种原料 1t/件, 该厂能获得 A 种原料 120t, B 种原料 50t.问生产甲、乙两种产品各多少件时,能使销售总 收入最大?最大总收入为多少?

[ 解析]

设生产甲、乙两种产品分别为 x 件、y 件,总产值

为 z 千元,则 ? ?4x+3y≤120 ?2x+y≤50 ? ?x≥0 ? ?y≥0

,z=50x+30y.

画出不等式组表示的平面区域即可行域如图.

? ? ?

易知直线z=50x+30y过点(15,20)时,取得最大值.

zmax=50×15+30×20=1 350.
答:生产甲、乙两种产品分别为15件、20件,总收入最大是 1 350千元.

?

耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题

某公司租赁甲、 乙两种设备生产 A、 B 两类产品, 甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设 备每天能生产 A 类产品 6 件与 B 类产品 20 件.已知设备甲每 天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公 司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最 少为________元.
?

[答案] 2 300

[ 解析]

设甲、乙两种设备分别需要租用 x、y 天. ,

?5x+6y≥50 ? 根据题意得?10x+20y≥140 ?x∈Z,y∈Z ? 所需租赁费为 z=200x+300y.

作出可行域如图所示, 将 l0?2x+3y=0 向可行域平移, 因 1 2 5 为-2>-3>-6,所以当直线经过 M 点时,z 取最小值.
? ?5x+6y=50 由? ? ?x+2y=14

,得 M(4,5).

∴zmin=200×4+300×5=2 300(元). 即所需租赁费最少为 2 300 元.

某公司的仓库 A 存有货物 12t, 仓库 B 存有货物 8t.现按 7t、 8t 和 5t 把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店,从仓库 A 运货 物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为 8 元、6 元、9 元、从仓库 B 运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别 为 3 元、4 元、5 元.则应如何安排调运方案,才能使得从两个 仓库运货物到三个商店的总运费最少?

[ 解析]

设仓库 A 运给甲、乙商店的货物分别为 xt、yt.

则仓库 A 运给丙商店的货物为(12-x-y)t. 仓库 B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)t,(8-y)t, [5-(12-x-y)] t, 总运费为 z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x +y-7)=x-2y+126,

?12-x-y≥0 ? ?7-x≥0 ?8-y≥0 约束条件为? ?x+y-7≥0 ?x≥0 ? ?y≥0 作出可行域,如图所示.

? ?0≤x≤7 ?0≤y≤8 ,即? ?x+y≥7 ? ?x+y≤12



? ? ? ?

作直线l:x-2y=0,把直线l平行移动, 当直线过A(0,8)时,z=x-2y+126取得最小值,

zmin=0-2×8+126=110,
即x=0,y=8时,总运费最少.

?

即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为 0t、8t、4t,仓 库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为 7t、0t、1t,此时可 使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.

?

整数最优解不是边界点的问题

某人有楼房一幢,室内面积共计 180 m2,拟分 割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18 m2,可住 游客 5 名,每名旅客每天住宿费 40 元;小房间每间面积为 15 m2,可以住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元;装修大 房间每间需要 1 000 元,装修小房间每间需 600 元.如果他只 能筹款 8 000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房 间和小房间各多少间,能获得最大收益?

[ 解析] x、y 满足

设隔出大房间 x 间,小房间 y 间,收益为 z 元,则 ?6x+5y≤60 ? ,即?5x+3y≤40 ?x≥0,y≥0 ?

?18x+15y≤180 ? ?1 000x+600y≤8 000 ?x≥0,y≥0 ? z=200 x+150 y.



作出可行域,如图所示.

当直线 z=200x+150y 经过可行域上的点 M 时,z 最大.
? ?6x+5y=60 解方程组? ? ?5x+3y=40

,得点 M

?20 60? 的坐标为? 7 , 7 ?,由于 ? ?

点 B 的坐标不是整数,而最优解(x,y)是整点,所以可行域内 点
?20 60? M? 7 , 7 ?不是最优解. ? ?

经验证:经过可行域内的整点,且使 z=200x+150y 取得 最大值的整点是(0,12)和(3,8),此时 zmax=1 800 元. 答:应隔出小房间 12 间,或大房间 3 间、小房间 8 间, 可以获得最大利润.

?

要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,每 根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示: 规格类型
钢管类型 甲种钢管 乙种钢管

A规格 B规格 C规格
2 2 1 3 4 1

?

今需A、B、C三种规格的钢管各 13、16、18根,问各截这两 种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最 少.

[ 解析]

设需截甲种钢管 x 根,乙种钢管 y 根,则

? ?2x+2y≥13 ?x+3y≥16 ? ?4x+y≥18 ? ?x≥0 ? ?y≥0

,作出可行域如图:

目标函数为 z=x+y, 作出一组平行直线 x+y=t(t 为参数), 经过可行域内的点且和原点距离最近的直线必经过直线 4x+y 38 46 84 =18 和直线 x+3y=16 的交点 A(11, 直线方程为 x+y=11. 11), 38 46 38 46 由于 11 和 11 都不是整数,所以可行域内的点( 11 , 11 )不是最优 解.

84 ∵7<11<8,且 x+y=7 与可行域无公共点, ∴经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x+y= 8,经过的整点是 B(4,4),它是最优解. 综上所述知,应截取甲、乙两种钢管各 4 根可得所需三种 规格钢管且使所用根数最少.

已知一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根在-2 与-1 之间,另一个根在 1 与 2 之间,试图表示以 a、b 为坐标 的点(a,b)的存在范围.并求 a+b 的取值范围.
[ 错解] 令 f(x)=x2+ax+b.由题设 ? ?2a-b-4<0 ?a-b-1>0 ,∴? ?a+b+1<0 ? ?2a+b+4>0

? ?f?-2?>0 ?f?-1?<0 ? ?f?1?<0 ? ?f?2?>0



?

作出平面区域如图.

?

令t=a+b,则t是直线b=-a+t的纵截距,显然当直线b= -a+t与直线a+b+1=0重合时,t最大,tmax=-1.当直线 b =- a + t 经过点 (0 ,- 4) 时. t 最小, ∴ t min =- 4 , ∴ - 4≤t≤-1.
[辨析] 错解中忽视了点(a,b)的存在范围不包含边界. [ 正解] 令 f(x)=x2+ax+b.由题设

?

? ?f?-2?>0 ?f?-1?<0 ? ?f?1?<0 ? ?f?2?>0

? ?2a-b-4<0 ?a-b-1>0 ,∴? ?a+b+1<0 ? ?2a+b+4>0



?

作出平面区域如图.

?

令t=a+b,则t是直线b=-a+t的纵截距,显然当直线b= -a+t与直线a+b+1=0重合时,t最大,tmax=-1.当直线 b=-a+t经过点(0,-4)时.

?

t最小,∴tmin=-4,又∵点(a,b)的范围是如图阴影部分 且不含边界,∴-4<t<-1.

设出未知数,写出约束条件与目标 ? 线 ?转化—函数,将实际应用问题转化为数学 性? ? 上的线性规划问题 规? 划? ↓ 的? 应 ?求解—解这个线性规划问题 用? ↓ ? ?作答—根据应用题提出的问题作答

课时作业
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