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高考论坛新课标数学理一轮教师备课课件5.3等比数列

抓 住 2 个 基 础 知 识 点 挖 掘 1 大 技 法 第三节 等比数列 掌 握 4 个 核 心 考 向 课 堂 限 时 检 测 [ 考情展望 ] 1.运用基本量法求解等比数列问题 .2. 以等比数 列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定 .3.客观题以等 比数列的性质及基本量的运算为主,突出 “小而巧”的特点,解答 题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用. 一、等比数 证明{an}是等比数列的两种常用方法 an (1)定义法: 若 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*), 则{an} an-1 是等比数列. (2)中项公式法: 在数列{an}中, an≠0 且 a2 an+2(n∈N*), n+1=an· 则数列{an}是等比数列. 二、等比数列的性质 1. 对任意的正整数 m、 n、 p、 q, 若 m+n=p+q=2k, 则 am· an ap·aq =a2 =________ k. q 2.通项公式的推广:an=am_______ (m,n∈N*) 3.公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n n- m q ;当公比为-1 时, -Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为_____ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 不一定构成等比数列. ?1? 2 ? ?, 4. 若数列{an}, {bn}(项数相同)是等比数列, 则{λan}, { a n}, ?an? ?an? {an· bn},?b ?(λ≠0)仍是等比数列. ? n? n 等比数列的单调性 单调递增 单调递减 常数数列 摆动数列 a1>0,q>1 或者 a1<0,0<q<1 a1>0,0<q<1 或者 a1<0,q>1 a1≠0,q=1 q< 0 1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( 4 1 A.- 2 B.-2 ) 1 C. 2 D. 2 a5 1 1 3 【解析】 由题意知:q = = ,∴q= . a2 8 2 【答案】 D S5 2. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 8a2+a5=0, 则 =( S2 A.-11 C. 5 B.-8 D.11 ) 【解析】 8a2+a5=0,得 8a2=-a2q3,又 a2≠0,∴q=-2, S5 则 S5=11a1,S2=-a1,∴ =-11. S2 【答案】 A 3.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16, 则 log2a10=( A. 4 C. 6 ) B.5 D. 7 【解析】 由题意 a2 7=a3a11=16,且 a7>0,∴a7=4, ∴a10=a7· q3=4×23=25,从而 log2a10=5. 【答案】 B 4.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21, 则该数列的通项公式an=________. 【解析】 ∴an=4n-1. a1?1-q3? ∵S3=21,q=4,∴ =21,∴a1=1, 1- q 【答案】 4n-1 5.(2013· 大纲全国卷)已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- 4 ,则{an}的前 10 项和等于( 3 A.-6(1-3 -10 ) 1 B. (1-310) 9 D.3(1+3-10) ) C.3(1-3-10) an+1 1 【解析】 由 3an+1+an=0,得 a =- ,故数列{an}是公比 3 n 1 4 q=- 的等比数列. 又 a2=- , 可得 a1=4.所以 3 3 =3(1-3-10). ? ? 1?10? 4?1-?-3? ? ? ? ? ? S10= ? 1? 1-?-3? ? ? 【答案】 C 6.(2013·江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,?的第四项 等于( ) A.-24 C.12 【解析】 B.0 D.24 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0 ,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3, -6,-12,则第四项为-24. 【答案】 A 考向一 [090] 等比数列的基本运算 (1)(2013· 北京高考)若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40,则公比 q=______;前 n 项和 Sn=________. (2)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数 列. ①求{an}的公比 q;②若 a1-a3=3,求 Sn. 【思路点拨】 建立关于a1与公比q的方程,求出基本量 a1和公比,代入等比数列的通项公式与求和公式. 【尝试解答】 (1)设出等比数列的公比,利用已知条件建立 关于公比的方程求出公比,再利用前 n 项和公式求 Sn. 设等比数例{an}的首项为 a1,公比为 q,则: 由 a2+a4=20 得 a1q(1+q2)=20.① 由 a3+a5=40 得 a1q2(1+q2)=40.② 由①②解得 q=2,a1=2. a1?1-qn? 2?1-2n? + 故 Sn= = =2n 1-2. 1-q 1-2 【答案】 2,2n 1-2 + (2)①∵S1,S3,S2 成等差数列, ∴a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 1 由于 a1≠0,故 2q +q=0,又 q≠0,从而 q=- . 2 2 12 ②由已知可得 a1-a1(- ) =3,故 a1=4, 2 ? ? 1 ?n ? 4?1-?-2? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 8 ?1-?- ?n?. Sn= = ? 1? 3? ? 2? ? 1-?-2? ? ? 从而 规律方法 1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 基本问题,数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三 求二”,体现了方

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