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郑州市2018年高中毕业年级第一次质量预测文数试题

2018 年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学
一、 选择题
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 9 A 10 B 11 C 12 D

参考答案

二、填空题

13. 6;

14. 3;

15.100;

16. y ? ?

3 x. 3

三、解答题: 17.(1)?

a b c ? ? . sin A sin B sin C

??2 分

由已知可得, 2sin C cos B ? 2sin A ? sin B,

则有2sin C cos B ? 2sin (B ? C) ? sin B.
? 2sin B cos C ? sin B ? 0,
? B为三角形的内角
??4 分

1 ?sin B ? 0. ? cos C ? ? . 2 ?C ? 2? . 3

又 ? C为三角形的内角,

??6 分

(2)? S ?

1 3 1 ab sin C ? c,? c ? ab. ??8 分 2 2 2

又c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a2 ? b2 ? ab,
? a 2b 2 ? a 2 ? b2 ? ab ? 3ab. 4

??10 分

? ab ? 12.

??11 分 ??12 分

故 ab 的最小值为 12.

18. (1)按分层抽样男生应抽取 80 名,女生应抽取 20 名.

? x ? 80 ? (5 ? 10 ? 15 ? 47) ? 3 , y ? 20 ? (2 ? 3 ? 10 ? 2) ? 3.
抽取的 100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生,设为 A , B , C ;

b .从 5 名任意选 2 名, (A, C ) , (A,a) , (A, b) ( B, C ) , 两位女生设为 a , 总的基本事件有 (A, B) ,

( B, a) , ( B, b) , (C, a) , (C, b) , (a, b) ,共 10 个.
设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件 A ”. 则事件包含的基本事件有 (A,a) , (A, b) , ( B, a) , ( B, b) , (C, a) , (C, b) 共 6 个.

? P(A) ?

6 3 ? ..........6 分 10 5

(2) 2 ? 2 列联表如下表: 男生 体育达人 非体育达人 总计 则 k2 ? 50 30 80 女生 5 15 20 总计 55 45 100

n(ad? bc)2 100(50 ?15 ? 30 ? 5) 2 ? ? 9.091. (a ? b)(c? d)(a ? c)(b? d) 80 ? 20 ? 55 ? 45

? 9.091 ? 6.635 且 P(k 2 ? 6.635) ? 0.010 .
所以在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下 可以认为“是否为‘体育达人’与性别无关”. ...........12 分

19. (1)证明:连接 CD ,据题知 AD ? 4, BD ? 2.

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,??ACB ? 90? ,

? cos ?ABC ?

2 3 3 ? , 6 3

?CD2 ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 3 cos?ABC ? 8 ?CD ? 2 2.
?CD 2 ? AD 2 ? AC 2 ,则 CD ? AB ,
..........4 分 ..........6 分

又因为 平面 PAB ? 平面 ABC ,所以 CD ? 平面PAB,?CD ? PD,

因为 PD ? AC , AC , CD 都在平面 ABC 内,所以 PD ? 平面 ABC ;..........8 分 (2)? ?PAB ?

? , ? PD ? AD ? 4, ? PA ? 4 2, 4

?在Rt?PCD中,PC? PD2 ? CD2 ? 2 6,

??PAC是等腰三角形, ?可求得S?PAC =8 2, 设点B到平面PAC的距离为d ,

..........10 分

1 1 S ? PD ? S ?PAC ? d ? S ?ABC ? PD, ? d ? ?ABC 由VB?PAC ? VP? ABC, =3. 3 3 S?PAC
故点B到平面PAC的距离为3. ..........12分

). 20. (1) C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 可化为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,则 圆心C为(-1,1
2 2

p ?p ? ? F ? ,0 ? ,? CF ? ( ? 1)2 ? (0 ? 1)2 ? 17, 解得p ? 6. 2 ?2 ?
∴抛物线的方程为 y ? 12x. .………4 分
2

(2) 设直线l为:x ? my ? t (t ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

联立可得y 2 ? 12my ? 12t ? 0. ? y1 ? y2 ? 12m, y1 ?y2 ? ?12t, ………5 分 ?OA ? OB,? x1x2 ? y1 y2 ? 0, ………6 分
即(m2 ?1) y1 y2 ? mt ( y1 ? y2 ) ? t 2 ? 0.

整理可得t 2 ? 12t ? 0 ,? t ? 0,? t ? 12. ………8 分

?直线l的方程为:x ? my ? 12, 故直线l过定P(12,0). ………9 分 ?当CN ? l时,即动点M 经过圆心C(?1,1)时到动直线l的距离取得最大值.
当 CP ? l 时,即动点 M 经过圆心 C(-1,1)时到动直线 l 的距离取得最大值.

k MP ? kCP ?

1? 0 1 1 ? ? ,? m ? , ………11 分 1 ? 12 13 13 1 y ? 12, 即为13 x ? y ? 156 ? 0. ………12 分 13

此时直线l的方程为:x ?

21. (1)由已知可得 f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

? f ?( x ) ?

1 1 1? x ? a, ? f ?(1) ? 1 ? a ? 0, ? a ? 1. ? f ?( x ) ? ? 1 ? , x x x

令f ?( x) ? 0得0 ? x ? 1, 令f ?( x) ? 0得x ? 1, ? f ( x)的单调递增区间为(0, 1 ),单调递减区间为(1, +?).
x2 1 x2 1 ? 2 x ? ? k ( x ? 1) 可化为 ln x ? ? x ? ? k ( x ? 1) , (1) 不等式 f ( x ) ? 2 2 2 2 令g ( x) ? ln x ? x2 1 ? x ? ? k ( x ? 1), ( x ? 1), 2 2

令g ?( x ) ?

1 ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? x ?1? k ? , x x

? x ? 1, 令h( x) ? ? x2 ? (1 ? k ) x ? 1, h( x )的对称轴为x ?

1? k , 2

① 当

1? k ? 1时,即k ? ?1, 易知h( x)在(, 1 x0 )上单调递减, 2

? h( x) ? h(1) ? 1 ? k ,

1 x0 )上单调递减, ? g ( x) ? g (1) ? 0 , 若k ? 1, 则h( x) ? 0, ? g ?( x) ? 0, ? g( x)在(,

不适合题意.

(, 1 x0 )时g?( x) ? 0, 若-1 ? k ? 1, 则h(1) ? 0, ?必存在x0使得x ? ? g( x)在(, 1 x0 )上单调递增, ? g ( x) ? g (1) ? 0恒成立,适合题意.
② 当

1? k ? 1时,即k ? ?1, 易知必存在x0使得h( x)在(, 1 x0 )上单调递增, 2

1 x0 )上单调递增, ? h( x) ? h(1) ? 1 ? k ? 0, ? g ?( x) ? 0, ? g( x)在(,
? g ( x) ? g (1) ? 0恒成立,适合题意.
综上, k 的取值范围是 ( ??,1).

22.(1)直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t为参数). y ? t sin ? ?

……2 分

?? ?

8cos ? 2 2 2 2 ,? ? sin ? ? 8cos? , ? ? sin ? ? 8? cos? , 即y ? 8x. 2 sin ?

??5 分

? 2 x ? 1? t, ? ? ? 2 (t为参数), (2)当 ? ? 时,直线 l 的参数方程为: ? 4 ?y ? 2 t ? 2 ?
代入 y ? 8x 可得 t ? 8 2t ?16 ? 0,
2
2

……6 分

设A、B两点对应的参数分别为t1, t2 , 则 t1 ? t1 ? 8 2, t1 ? t2 ? ?16
? AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? 8 3.
??8 分

又点O到直线AB的距离d ? 1? sin

?
4

?

2 , 2

? S?AOB ?

1 1 2 AB ? d ? ? 8 3 ? ? 2 6. 2 2 2

??10 分

23.(本小题满分 10 分)

(1)由已知,可得 x ? 3 ? 2x ?1 ,
即 x ? 3 ? 2x ?1 .
2 2

??1 分

则有:3x2 ?10 x ? 8 ? 0,

2 ? x ? ? 或x ? 4. 3

??3 分

2 故所求不等式的解集为: (??, ? ) ? (4, ??). 3

??4 分

? ??4 x ? 5, x ? ?3, ? 1 ? (2)由已知,设h( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?7, ?3 ? x ? , 2 ? 1 ? 4 x ? 5, x ? . ? ? 2 ??6 分

当x ? ?3时,只需 ? 4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立,即ax ? ?4 x ? 9,
? x ? ?3 ? 0 ?a ? ?4 x ? 9 9 ? ?4 ? 恒成立. x x

9 ? a ? (?4 ? ) max ,? a ? ?1, x ??7 分 1 当 ? 3 ? x ? 时,只需7 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 3 ? 0恒成立. 2

?? 3a ? 3 ? 0 ?a ? ?1 ? 只需? 1 ,? ? ,? ?1 ? a ? 6. ??8 分 a ? 6 a ? 3 ? 0 ? ? ?2
1 当x ? 时,只需4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 4 x ? 1. 2 ?x ? ?4 ? 1 ? 0, 2 ?a ? 4x ?1 1 ? 4 ? 恒成立. x x

1 ? 4 ,且无限趋近于 4, x

? a ? 4.

??9 分

综上, a 的取值范围是 ( ?1, 4]. ??10 分


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