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高中数学人教A版必修1学案:1.2.1函数及其表示课堂导学案(含答案)

1.2.1 函数及其表示 课堂导学 三点剖析 一、函数的概念 【例 1】 下列对应是从集合 M 到集合 N 的函数的是( A.M=R,N=R,f:x→y= 1 x ?1 ) B.M=R,N=R+(正实数组成的集合),f:x→y= x C.M={x|x≥0},N=R,f:x→y2=x D.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=x2 思路分析:本题主要考查函数的定义. 解:A.对于 M 中的元素-1,N 中没有元素与之对应,故该对应不是从 M 到 N 的函 数.B.对于 M 中的元素-1,N 中没有元素与之对应,该对应 f:M→N 不是函数.C. 对于 M 中的任一元素如 x=4,通过对应法则 f:x→y2=x 得到 N 中有两个元素±2 与之对应,故 f:x→y2=x 不是从 M 到 N 的函数. 答案:D 温馨提示 判断一个对应法则是否构成函数,关键是看给出定义域内任一个值,通过给 出的对应法则,y 是否有且只有一个元素与之对应. 【例 2】 下列四组函数中,有相同图象的一组是( A.y=x-1,y= ( x ? 1) 2 2x2 ? 4 x2 ? 2 ) x ?1 x ?1 B.y= x ? 1 ,y= C.y=2,y= D.y=1,y=x0 解析:y=x-1 与 y= ( x ? 1) 2 =|x-1|的对应法则不同;y= x ? 1 的定义域为[1,+ ∞),y= x ?1 的定义域为(1,+∞),两函数的定义域不同;y=1 的定义域为 R, x ?1 2x2 ? 4 是两 x2 ? 2 1 y=x0 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两函数定义域不同;y=2 与 y= 相等的函数,所以图象相同.选 C. 答案:C 温馨提示 1.定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象,三要素中只要有 一项不同,两个函数就不相等.由于值域由定义域与对应关系所确定,所以判断 函数是否相等,只要判断定义域与对应关系是否相同即可. 2.判断对应法则是否相同, 可以化简以后再判断,但是求函数的定义域必须 通过原函数解析式去求. 二、求函数解析式、定义域 【例 3】如图,有一块半径为 R 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形 状,其下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,梯形周长 y 是否是腰长 x 的函数?如果是,写出函数关系式,并求出定义域. 思路分析: 判定两个变量是否构成函数,关键看两个变量之间的对应关系是否满 足函数定义.该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值,因此周长 y 是腰长 x 的函数.若要用腰长表示周长的关系式, 应知等腰梯形各边长, 下底长已知为 2R, 两腰长为 2x,因此只需用已知量(半径 R)和腰长 x 把上底表示出来,即可写出周 长与腰长的函数关系式. 解:由题意可知,每一个腰长 x 都能对应唯一的周长值 y,因此周长 y 是腰长 x 的函数. 如上图,AB=2R,C、D 在⊙O 的半圆周上,设腰长 AD=BC=x,作 DE⊥AE,垂足 为 E,连结 BD,那么∠ADB 是直角,由此 Rt△ADE∽Rt△ABD. ∴AD2=AE?AB,即 AE= x2 . 2R ∴CD=AB-2AE=2R- x2 . R ∴周长 y 满足关系式 y=2R+2x+(2Rx2 x2 )=- +2x+4R, R R 2 即周长 y 和腰长 x 间的函数关系式 y=- x2 +2x+4R. R ? ? x ? 0, ? 2 ?x ? 0, ∵ABCD 是圆内接梯形,∴AD>0,AE>0,CD>0,即 ? 解不等式组, ? 2R ? x2 2 R ? ? 0. ? R ? 得函数 y 的定义域为{x|0<x< 2 R}. 温馨提示 该题是实际应用问题,解题过程是从实际问题出发,利用函数概念的内涵, 判断是否构成函数关系,进而引进数学符号,建立函数关系式,再研究函数关系 式的定义域,并结合问题的实际意义作出回答.这个过程实际上就是建立数学模 型的最简单的情形. 【例 4】求下列函数的定义域. (1)y= 1 x?2 x ?1 ;(2)y= ;(3)y= + ? x + x?4. x?3 x?2 x?2 思路分析:具体函数即有具体解析式的函数的定义域是求使解析式有意义的 x 取值集合, 其求法通常是转化为求不等式组的解集,实际问题还要注意符合实际 意义. 解:要使函数解析式有意义, (1) ? x ? 2 ? 0, ? x ? 2 ? 0, x?2 ≥0 ? ? 或? ? ≥2 或 x<-2. x?2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 2 ? 0. 所以函数定义域为{x|x≥2 或 x<-2}(或(-∞,-2)∪[2,+∞]). ? x ? 1 ? 0, (2) ? ? x≥-1 且 x≠2, ? x ? 2 ? 0. 所以函数定义域为{x|x≥-1 且 x≠2}. ? x ? 3 ? 0, ? x ? ?3, ? ? (3) ?? x ? 0, ? ? x ? 0, ? -4≤x≤0 且 x≠-3, ? x ? 4 ? 0. ? x ? ?4. ? ? 所以函数定义域为{x|-4≤x≤0 且 x≠-3}. 3 温馨提示 1.当函数用解析式给出时, 求函数的定义域,要把所有制约自变量取值的条 件找出来,然后归结为解不等式(组)的问题,在解不等式时要细心,取交集时 可借助数轴,并且要注意端点值的取舍. 2.求函数定义域之前, 尽量不要对函数解析式作变形,以免引起定义域的变 化. 3.已和函数 f(x)的定义域为[a,b] ,则函数 f[g(x)]的定义域是指满足不 等式 a≤g(x)≤b 的取值范围;一般地,函数 f[g(x)]的定义域是[a,b],指 的是 x∈[a,b],要求 f(x)的定义域,就是求 x∈[a,b]时,g(x)的值域. 三、求函数的值域 【例 5】 已知函数 f(x)= (1)f( x2 ,求: 1 ? x2 b

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